专题04 不等式 专项训练-2027届高考数学一轮复习（新高考全国卷）

专题04　不等式 群哥高中数学辅导资料 专题04　不等式 一、核心知识 1．两实数比大小：；；（作差法，一切比较的基础）。 2．不等式性质：；，；，；（ 为正整数）。 3．倒数性质： 且 （同号取倒数才变向）。 4．一元二次不等式：化正后求根 ，开口向上时解集取“两根之外大于、两根之间小于”； 时解集为全体实数或空集 5．穿根法：因式分解后标根、从右上方引线，奇次因式穿、偶次因式不过；分式不等式移项通分后转化为整式不等式，分母不为零。 6．基本不等式：， 时 （当且仅当 取等）；变形 ；口诀“一正二定三相等”。 7．和定积最大、积定和最小：（定值）则 ；（定值）则 。 8．恒成立与有解： 恒成立 不超过 的最小值； 有解 不超过 的最大值（二次函数先看对称轴与区间的关系）。 9．三个二次的转化：不等式问题 对应方程的根 + 对应函数的图象，含参问题先定开口、再定根的大小关系。 二、题型精练 题型一　不等式的性质与比较大小 【方法与技巧】 比较大小的三板斧：作差看符号（配因式分解）、作商比 1（同正）、找中间量（0、1、 或同一个对数底）。 用性质变形时每一步都要有依据：乘负数翻转不等号、倒数关系要求同号，这两处是最常见的丢分点。 【例题精讲】 1．已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 同号，取倒数变向，得 ，A 正确；B 变向错误；C 应为 （负数绝对值大的平方大）；D 应为 。故选：B。 2．已知 ，则 与 的大小关系是　　　　 【答案】 【详解】作差：。由 得 ，，故差小于零，即 。故答案为：。 3．设 ，，，则 、、 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】；；。故 。中间量法：分别与 、 比较即可定序。故选：B。 【变式训练】 1．已知 ，则 与 的大小关系是　　　　 【答案】 【详解】由 得 （乘负数变向），两边加 5 得 。故答案为：。 2．下列命题中正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】B 【详解】由 知 ，两边同除 得 ，B 正确；A 在 时不成立；C 在 、 异号时不成立（如 ，）；D 应为 （两边同乘负数 变向）。故选：B。 3．已知 ，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【详解】作差：。由 得 ，，故 。故选：C。 4．比较大小： ___ （填“”“”或“”）　　　　 【答案】 【详解】，，借助中间量 1 比较得 。故答案为：。 5．有 克糖水，含 克糖（），再加入 克糖（），则糖水变甜了．用不等式表示这一现象为 ___ （填“”“”或“”）　　　　 【答案】 【详解】作差：。由 ， 得差为正，故 ，这就是著名的“糖水不等式”。故答案为：。 6．已知 ，则 ___ （填“”“”或“”）　　　　 【答案】 【详解】由 ，两边同除以负数 （变向），得 。故答案为：。 【巩固练习】 1．若 ，则下列各式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式两边加同一个数不变向，C 正确；A 需同号才成立；B 需 ；D 在 、 异号时不成立（如 ，）。故选：C。 2．比较大小： ___ （填“”“”或“”）　　　　 【答案】 【详解】，，故 。故答案为：。 3．已知 ，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C．不能确定 D． 【答案】D 【详解】作差：。由 得 ，，故差为正，。故选：D。 4．已知 ，，则 ___ （填“”“”或“”）　　　　 【答案】 【详解】由 与 ，根据性质“同向正数不等式可相乘”，得 。故答案为：。 5．某工厂去年的产量为 ，今年先增产 %，再减产 %，则今年的产量 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【详解】，先增后减同幅度，产量一定低于原产量。故选：C。 6．已知 ，则 ___ （填“”或“”）　　　　 【答案】 【详解】作差比较分母与分子：，故 ，即 ，当且仅当 时取等。故答案为：。 7．已知 ，给出下列不等式：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是（　　） A．②③ B．①② C．①④ D．③④ 【答案】B 【详解】①：，故 ，正确；②：，同乘负数 变向，得 ，正确；③：、 同号，取倒数应变向，应为 ，错误；④：，同除负数 变向，得 ，错误。综上①②正确。故选：B。 8．是否存在实数 ，使得 与 同时成立？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由．　　　　 【答案】存在， 【详解】由 得 ，即 ；此时 ，第二个不等式也成立。故存在，。故答案为：存在，。 题型二　一元二次、分式与高次不等式 【方法与技巧】 一元二次不等式三步走：化正、求根、按开口写区间； 时结合开口方向定“恒成立”还是“恒不成立”。 穿根法口诀“奇过偶不过”：从右上方往左下画线，奇次因式穿根、偶次因式弹回，端点能否取等单独检验。 分式不等式一律移项通分：，分母不为零是底线，绝不去分母。 【例题精讲】 1．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方程 的两根为 ，，开口向上取两根之间，故解集为 。故选：C。 2．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】等价于 且 ，解得 。分母为零的点必须挖去，分子为零的点可以取到。故选：A。 3．不等式 的解集为　　　　 【答案】 【详解】化为 ，两根为 ，开口向上取两根之外，解集为 。故答案为：。 【变式训练】 1．不等式 的解集为　　　　 【答案】 【详解】穿根法：在数轴上标根 、、，从右上方引线，三个奇次因式全部穿过，取正区间，得 。故答案为：。 2．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】化为 （两边同乘 变向），解得 。故选：A。 3．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】等价于 且 ，解得 或 。分母零点 3 只能挖去，分子零点 可以取。故选：B。 4．不等式 的解集为　　　　 【答案】 【详解】方程 的两根为 与 ，开口向上取两根之间（含端点），解集为 。故答案为：。 5．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】左边 ，穿根标 、、，从右上方引线取非正区间； 处分母为零挖去， 能取等。解集为 。故选：A。 6．已知 ，则关于 的不等式 的解集为　　　　 【答案】 【详解】两根为 与 ，由 知 ，开口向上取两根之间，解集为 。故答案为：。 【巩固练习】 1．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】移项通分：，等价于 ，即 或 。注意 的解直接除以 会丢掉，必须移项通分。故选：A。 2．不等式 的解集为　　　　 【答案】 【详解】； 时左边为 0 不满足； 时等价于 ，即 。偶次因式只起“弹回”作用，零点单独检验。故答案为：。 3．某商场销售一种商品，销售单价为 元（），所获利润 元．要使利润为正数，销售单价 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 即 ，方程两根为 6 与 8，故 。虽然题设允许 ，但 时利润不为正。故选：D。 4．不等式 的解集为　　　　 【答案】 【详解】： 时左边为 0 成立； 时等价于 ，解得 或 （ 已含于 ）。故解集为 。故答案为：。 5．已知 ，则关于 的不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】左边 ；由 知 ，开口向上取两根之间，解集为 。解含参二次不等式必须先比较两根大小。故选：D。 6．不等式 的解集为　　　　 【答案】 【详解】穿根法标根 、、（均为奇次因式的根，全穿），取非正区间并含端点，得 。故答案为：。 7．已知关于 的不等式 的解集为 ，则 （　　） A．2 B． C．5 D．1 【答案】A 【详解】由解集知 ，且 与 是方程 的两根。由韦达定理：，，得 ，，故 。故选：A。 8．是否存在实数 ，使得关于 的不等式 的解集恰为单元素集？若存在，求出 的值及该解集；若不存在，请说明理由．　　　　 【答案】存在， 【详解】解集为单元素集当且仅当抛物线与 轴恰有一个公共点，即 ，。 时解集为 ； 时解集为 。故存在，。故答案为：存在，。 题型三　基本不等式求最值 【方法与技巧】 基本不等式三条件“一正二定三相等”：和定积最大、积定和最小；凑不出定值就先配凑（添项、拆项、系数调整）。 取等条件必写必验：解方程取不到等号时，最值取不到，要改用函数单调性（如 型）。 “1”的代换：已知 ，求 的最值，乘以 再展开，均值不等式一步到位。 【例题精讲】 1．已知 ，则 的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】，当且仅当 时取等。故选：B。 2．已知 ，则 的最小值为（　　） A．4 B．5 C．3 D．6 【答案】B 【详解】配凑：，当且仅当 即 时取等。故选：B。 3．已知 ，，且 ，则 的最小值为　　　　 【答案】6 【详解】积定和最小：，当且仅当 时取等。故答案为：6。 【变式训练】 1．已知 ，则 的最大值为　　　　 【答案】 【详解】，当且仅当 时取等。故答案为：。 2．已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A．4 B． C．8 D．2 【答案】D 【详解】和定积最大（配凑系数）：，当且仅当 即 ， 时取等，故最大值为 2。故选：D。 3．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．2 B．1 C． D．4 【答案】D 【详解】“1”的代换：，当且仅当 时取等。故选：D。 4．已知 ，则 的最小值为　　　　 【答案】12 【详解】，当且仅当 即 时取等。故答案为：12。 5．已知 ，则 的最小值为（　　） A．9 B．6 C．3 D．12 【答案】A 【详解】，当且仅当 即 时取等。故选：A。 6．用一段长为 m 的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园面积的最大值为　　　　 【答案】81 m² 【详解】设边长为 、（m），，即 （和定）。，当且仅当 时取等，此时为正方形，面积最大 81 m²。故答案为：81 m²。 【巩固练习】 1．已知 ，则 的最大值为（　　） A．6 B． C． D．不存在 【答案】B 【详解】 时 ，即 ，当 时取等，故最大值为 。负数不能直接用均值不等式，先提出负号。故选：B。 2．已知 ，则 的最小值为　　　　 【答案】3 【详解】，当且仅当 即 时取等。故答案为：3。 3．已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C．9 D．4 【答案】D 【详解】“1”的代换：，当且仅当 即 ， 时取等。故选：D。 4．已知 ，，且 ，则 的最大值为　　　　 【答案】 【详解】，当且仅当 即 ， 时取等。故答案为：。 5．函数 的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】设 ，则 在 上单调递增，最小值为 。取等陷阱： 的取等条件 取不到，故均值不等式失效，必须用单调性。故选：B。 6．某学校打算用一段长 m 的篱笆围成一面靠墙的矩形菜园（墙足够长，不需要篱笆），则菜园面积的最大值为　　　　 【答案】162 m² 【详解】设垂直于墙的边长为 m，平行于墙的边长为 m（），面积 ，当且仅当 即边长为 m 与 m 时取等，最大面积 162 m²。故答案为：162 m²。 7．已知 ，则 的最小值为（　　） A．4 B． C．5 D．1 【答案】C 【详解】设 ， 在 上单调递减（对勾函数，最小值点 取不到），故 时取最小值 。取等条件 不在范围内，均值不等式不能用，须按对勾函数单调性处理。故选：C。 8．已知 ，，且 ，求 的最小值．　　　　 【答案】8 【详解】。设 ，则 ，两边平方得 ，即 。取等条件： 且 ，解得 ，，此时 ，等号可以取到，故最小值为 8。故答案为：8。 题型四　恒成立与有解问题 【方法与技巧】 恒成立转最值： 恒成立 不超过 的最小值； 恒成立 不小于 的最大值——参数与 分离是第一步。 有解（存在性）转最值： 有解 不超过 的最大值，注意与恒成立的方向刚好相反。 分离不了参数就上二次函数闭区间套路：对称轴与区间的位置关系分三类讨论，端点值代入比较。 【例题精讲】 1．若不等式 对任意 实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】需 ，解得 。恒成立问题开口向上时用判别式定号。故选：D。 2．若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值为（　　） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【详解】恒成立 不超过 的最小值； 时最小值为 （ 取等），故 ， 的最大值为 。故选：A。 3．若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是　　　　 【答案】 【详解】有解 的最大值； 在 上的最大值为 4，故 。注意与恒成立（用最小值）的方向区别。故答案为：。 【变式训练】 1．若不等式 对任意 实数 恒成立，则实数 的取值范围是　　　　 【答案】 【详解】 时 恒成立； 时需 且 ，即 。综上 。二次项系数含参的恒成立，必须先讨论 。故答案为：。 2．若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】恒成立 的最小值； 在 上单调递减，最小值为 ，故 。故选：D。 3．若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】有解 的最小值； 时 （ 取等），故 。故选：C。 4．若不等式 对任意 实数 恒成立，则实数 的取值范围是　　　　 【答案】 【详解】需 ，即 。故答案为：。 5．若关于 的不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分离参数： 对 恒成立 大于 的最大值 （ 时取到）。故选：A。 6．若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是　　　　 【答案】 【详解】有解 有解，即 不小于 的最小值； 在 上的最小值为 ，故 ，。故答案为：。 【巩固练习】 1．若关于 的不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分离参数：。设 ，在 上单调递减，故在 上最小值为 ，故 。故选：B。 2．若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是　　　　 【答案】 【详解】恒成立 的最小值； 时最小值为 2（ 取等），故 。故答案为：。 3．某工厂生产某种产品 件（）所获利润 （万元）．若对任意产量 , 都有 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】需 在 上的最小值大于 0，对称轴 ：若 ，最小值在 ， 得 矛盾；若 ，对称轴在区间内， 在抛物线两侧端点处取最小，比较得仍需 ，即 （此时 已含）；若 ，最小值在 ， 成立。综上 。故选：A。 4．若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是　　　　 【答案】 【详解】设 ，条件等价于存在 使 ，即 ；只需 不小于 的最小值 1。故 。故答案为：。 5．已知不等式：① 若对任意 ， 恒成立；② 若存在 ， 成立．则 ①② 中 的取值范围分别是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】C 【详解】 在 上的最大值为 4、最小值为 1。恒成立需 最大值 4；有解需 某个函数值，只需 最小值 1。恒成立看最小、有解看最大，方向别记反。故选：C。 6．若不等式 对任意 实数 恒成立，则实数 的取值范围是　　　　 【答案】 【详解】 时 不恒成立，舍； 时需 且 ，解得 。故答案为：。 7．若关于 的不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，分离参数得 对任意 恒成立，故 不超过 的最小值 1，即 。故选：A。 8．是否存在实数 ，使得关于 的不等式 对任意 实数 恒成立？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由．　　　　 【答案】存在， 【详解】恒成立需 ，即 ，解得 。此时抛物线开口向上且与 轴无交点，函数值恒正。故存在，。故答案为：存在，。 题型五　不等式与函数、三角、数列的交汇 【方法与技巧】 交汇题先“认归属”：函数背景用图象与单调性，三角背景先齐次化（），数列背景抓下标性质。 函数单调性定参：二次函数在区间上单调 对称轴在区间一侧，写出轴与区间的位置关系即可。 三角与基本不等式交汇： 齐次式化成 的分式，再用均值不等式或函数值域收口。 【例题精讲】 1．若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】开口向上，对称轴 ；在 上单调递增需对称轴在该区间右侧，即 ，解得 。故选：D。 2．已知 ，且 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】平方得 ，，故 为钝角，，，。联立解得 ，，。故选：C。 3．已知正项等比数列 满足 ，则 的最小值为　　　　 【答案】8 【详解】由等比数列性质 ，（正项）。，当且仅当 （即 ）时取等，最小值为 8。故答案为：8。 【变式训练】 1．已知 是定义在实数集上的偶函数，当 时 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 时 得 ； 为偶函数，解集关于原点对称，得 （ 时 不满足）。故选：C。 2．已知 ，则 的值为　　　　 【答案】 【详解】齐次式：。故答案为：。 3．已知等差数列 满足 ，，则其前 项和 取得最大值时 　　　　 【答案】7 【详解】 得 ，即 。 得 ，故 到 非负、 起为负， 在 时最大。故答案为：7。 4．若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】开口向上，对称轴 ，在 上递减需对称轴在该区间右侧：，即 。故选：B。 5．已知 ，，则 　　　　 【答案】 【详解】平方得 ，故 为钝角，。，。。故答案为：。 6．已知正项等差数列 的公差 ，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【详解】以 为中心：，。由 得 。故选：C。 【巩固练习】 1．已知函数 ，，则 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对勾函数： 在 上递减、在 上递增，最小值 ；最大值在端点处比较：，，最大值为 。故值域为 。故选：B。 2．已知 ，，则 　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 3．已知数列 的通项 ，则其前 项和 取得最大值时 的值为（　　） A．9 B．9 或 10 C．10 D．8 【答案】B 【详解】 当且仅当 ，， 时为负。故 在 与 时同时取得最大值。故选：B。 4．已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的取值范围是　　　　 【答案】 【详解】对称轴 ，最小值 。最小值取到需 ，即 。故答案为：。 5．函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，最小值为 。故选：D。 6．已知等比数列 中 ，则 的最小值为　　　　 【答案】4 【详解】等比数列性质：。，需 ；由 知 ，取 （）时可取等，最小值为 4。故答案为：4。 7．农业技术员发现某作物的种植密度 （千株/亩）与单株产量 （kg）近似满足 ，则每亩总产量 （kg）最大时的种植密度为（　　） A．2 千株/亩 B．6 千株/亩 C．4 千株/亩 D．8 千株/亩 【答案】C 【详解】，当且仅当 即 时取等，此时最大产量 16 kg/亩。种植密度为 4 千株/亩。故选：C。 8．是否存在实数 ，使得函数 在区间 上的最小值恰为 1？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由．　　　　 【答案】存在， 【详解】对称轴 。① 即 时， 在 上递增，最小值 ，满足；② 即 时，最小值 ，不满足；③ 即 时，最小值 ，不满足。故存在，。故答案为：存在，。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．下列不等式中一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A．当 时，，不恒成立（且 无意义），故 A 错；B． 等价于 ，即 或 ，取 （如 ）时不成立，故 B 错；C． 等价于 ，即 ，取 时不成立，故 C 错；D．，因 ，故 ，从而 恒成立，故 D 正确。故选：D。 2．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】等价于 ，即 ，解得 。故选：A。 3．已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A．8 B．6 C．9 D．4 【答案】C 【详解】，当且仅当 时取等。故选：C。 4．若关于 的不等式 对任意 实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． 或 B． C． D． 【答案】C 【详解】需 ，即 。故选：C。 5．已知 ，，则下列结论一定成立的是（　　） A． B．， C． D． 【答案】A 【详解】 知 、 异号；若 ，则 且 ，得 ，矛盾；故 ，，再由 得 ，即 A 正确。B 恰为被排除的情形，C、D 均与 矛盾，错误。故选：A。 6．已知 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 在 上单调递增，值域为 ，两端均取不到。故选：D。 7．若存在 ，使得 有解，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】有解 的最大值； 在 上的最小值为 ，故 。故选：D。 8．在等比数列 中，，（各项均为正），则 （　　） A．243 B．729 C．247 D．2187 【答案】B 【详解】，，。故选：B。 【多项选择题】 9．已知 ，，下列结论正确的是（　　） A． B．若 ，则 C．若 ，则 的最小值为 2 D．若 ，则 【答案】ABD 【详解】A：， 取等，正确；B：积定和最小，正确；C：，取等条件 可满足，最小值为 3 而非 2，错误；D： 满足一正，且 为定值，， 取等，正确。故选：ABD。 10．关于不等式 ，下列说法正确的是（　　） A．其解集为 B．它与 的解集相同 C．其解集为 D．当 时，不等式左边等于 0 【答案】ABD 【详解】分式不等式同号转化 ，解集 ，A、B 正确，C 错误； 时左边为 ，D 正确。故选：ABD。 11．已知函数 在区间 上单调递减，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． 可以取 D． 在区间 上无最小值 【答案】AB 【详解】对称轴 ，需 ，A 正确，C 错误（ 时对称轴不在区间右侧）；，B 正确；区间右端点 2 在定义域内， 递减，最小值为 ，D 错误。故选：AB。 【填空题】 12．已知 ，则 的最小值为　　　　 【答案】 【详解】原式 ，当且仅当 时取等。故答案为：。 13．不等式 的解集为　　　　 【答案】 【详解】需 ； 时左边为 0 成立； 时等价于 ，即 。故解集为 。故答案为：。 14．已知 ，，且 ，则 的最小值为　　　　 【答案】 【详解】，当且仅当 时取等。故答案为：。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题04不等式 群哥高中数学辅导资料 专题04不等式 一、核心知识 1.两实数比大小：a-b>0÷a>b;a-b=0÷a=b;a-b<0÷a<b(作差法，一切比较 的基础)。 2.不等式性质：a>b→a+c>b+C;a>b,c>0→ac>bc:a>b,c<0→ac<bc: a>b>0→a”>b”(n为正整数)。 3.倒数性质：b>0且a>b→1<是 。<6(同号取倒数才变向)。 4.一元二次不等式：化正后求根1<x2,开口向上时解集取“两根之外大于、两根之间小于”； △<0时解集为全体实数或空集 5.穿根法：因式分解后标根、从右上方引线，奇次因式穿、偶次因式不过：分式不等式移项通分后转 化为整式不等式，分母不为零。 6,基本不等式：a,b>0时a+b≥2ab(当且仅当a=b取等)：变形ub≤a+b 2:口诀“一 正二定三相等”。 7和定积最大、积定和最小：X+y=m《定值)则y≤片；y=p(定值)则X+y≥2p 8.恒成立与有解：f(x)≥a恒成立~a不超过f(x)的最小值；f(x)≥a有解~a不超过 f(x)的最大值（二次函数先看对称轴与区间的关系）。 9.三个二次的转化：不等式问题一对应方程的根+对应函数的图象，含参问题先定开口、再定 根的大小关系。 1/13 专题04不等式 群哥高中数学辅导资料 二、题型精练 题型一不等式的性质与比较大小 【方法与技巧】 比较大小的三板斧：作差看符号（配因式分解）、作商比1（同正）、找中间量(0、1、 2或同一个对 数底)。 用性质变形时每一步都要有依据：乘负数翻转不等号、倒数关系要求同号，这两处是最常见的丢分点。 【例题精讲】 1.已知a<b<0,则下列不等式一定成立的是() 1<1 11 A.ab B.ab C.a2<b2 D.Y-a<Y-b 2.己知a<b,则a3-b3与a2b-ab2的大小关系是 3.设a=0.23,b=32,c=log30.2,则a、b、c的大小关系是() A.a<c<b B.c<a<b C.a<b<c D.b<a<c 【变式训练】 1.已知x<y,则5-2x与5-2y的大小关系是 2.下列命题中正确的是() A.若ac2>bc2,则a>b B.若a>b,则ac2>bc2 C.若a>b,则1s是 a b D.若a<b<0,则a2<ab .a+1 3.已知a>b>0.则8与8+号 的大小关系是() a,a+1 a_a+1 A.bb+1 B.bb+1 c >a+1 bb+1 D.不能确定 2/13 专题04不等式 群哥高中数学辅导资料 4.比较大小：260.62（填“>”“<”或“=”） 5.有b克糖水，含a克糖(b>a>0),再加入m克糖(m>0),则糖水变甜了.用不等式表示 a+m 这一现象为m一方（填“>”“<”或“=” 6 6.已知a<b<0,则 一1（填“>”“<”或“=”） 【巩固练习】 1.若a>b,则下列各式一定成立的是() 1<1 A.a b B.ac>bc C.a-2>b-2 D.a2>b2 2.比较大小：350.53（填“>”“<”或“=”） 3.已知x>1,则x-x与x2-1的大小关系是() A.x3-x<x2-1 B.x3-x≥x2-1 C.不能确定 D.x3-x>x2-1 4.已知a>b>0,c>d>0,则acbd(填“>”“<”或“=”) 5.某工厂去年的产量为Q,今年先增产a%,再减产a%,则今年的产量W与Q的大小关系是( A.W=Q B.W>Q c.W<Q D.不能确定 4x 6.已知X>0,则x+4一1（填“≤”或“>”） 7已知ab<0,金出列不分式①。b行园d>b:@日分④81.英中重确的足 () A.②③ B.①② C.①④ D.③④ 3/13 专题04不等式 群哥高中数学辅导资料 8.是否存在实数Q,使得G<a与a<同时成立？若存在，求出Q的取值范围；若不存在，请 0 说明理由。 题型二一元二次、分式与高次不等式 【方法与技巧】 元二次不等式三步走：化正、求根、按开口写区间；△<0时结合开口方向定“恒成立”还是“恒不成 立”。 穿根法口诀“奇过偶不过”：从右上方往左下画线，奇次因式穿根、偶次因式弹回，端点能否取等单独检 验。 分式不等式一律移项通分： fx>0。f(x)gx)>0.分母不为零是底线，绝不法分母· g(x 【例题精讲】 1.不等式x2-3x+2<0的解集为() A.(-∞，1)U(2,+0）B.（-2,-1) C.(1,2 D.（-1,2） 2.不等式 -2 x+1 ≤0的解集为() A.（-1,2] B.[-1,2] C.（-∞，-1)U[2,+o)D.(-1,2) 3.不等式x2>4的解集为 【变式训练】 1.不等式（x-1(x-2(x-3)>0的解集为 2.不等式(2-x(x+3)>0的解集为() A.（-3,2) B.(-0,-3)U(2,+o) c.（-2,3 D （-3,2] x+2之0的解集为(） 3.不等式x-3 A.（-o,-2]U[3,+0） B.（-o,-2]U(3,+∞)C.[-2,3]D （-2,3) 4/13 专题04不等式 群哥高中数学辅导资料 4.不等式x2-2x-3≤0的解集为 5.不等式 X-4≤0的解集为() A.(-o,-2]U(0,2]B.[-2,0)U(0,2]C.(-oo,-2)U(2,+∞)D.[-2,2] 6.已知a>0,则关于x的不等式（x-a)(x+a)<0的解集为 【巩固练习】 1.不等式x 1<1 的解集为() A.（-∞，0)U(2,+0)B.(2,+∞ C.（-∞，2 D.(0,2) 2.不等式(x-1(x+2)<0的解集为 3.某商场销售一种商品，销售单价为x元(6<x<10),所获利润W=-x+14x-48元.要使 利润为正数，销售单价X的取值范围是() A.(6,10 B.（8,10) c.(7,9) D.(6,8】 4.不等式 (x-3x+1山≥0的解集为 X-2 5.已知0<a<1,则关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集为() A.(1,a B.(0,a C.（-∞，a)U(1,+o）D.（a,1) 6.不等式(x2-4)(x-1)≤0的解集为 7.已知关于X的不等式ax+bx+2>0的解集为 2 则a+b=() A.2 B.-3 C.5 D.1 5/13 专题04不等式 群哥高中数学辅导资料 8.是否存在实数a,使得关于X的不等式x2-ax+1<0的解集恰为单元素集？若存在，求出a 的值及该解集；若不存在，请说明理由. 题型三基本不等式求最值 【方法与技巧】 基本不等式三条件“一正二定三相等”：和定积最大、积定和最小：凑不出定值就先配凑（添项、拆项、 系数调整)。 取等条件必写必验：解方程取不到等号时，最值取不到，要改用函数单调性（如X+4+ x+4 型)。 1的代换：已知ax+by=m,求卫+？的最值，乘以m再展开，均值不等式一步到位. 【例题精讲】 1.已知x>0,则x+ 的最小值为() X A.1 B.2 C.2V2 D.4 2已知X>1,则X+x1的最小值为() 4 A.4 B.5 C.3 D.6 3.已知x>0,y>0,且y=9,则x+y的最小值为 【变式训练】 1.已知0<x<1,则x(1-x)的最大值为 2.已知x>0,y>0,且x+2y=4,则y的最大值为() 9 A.4 B.4 C.8 D.2 3.已知x>0y>0,且x+y=1,则+的最小值为() x y A.2 B.1 c.2V2 D.4 6/13 专题04不等式 群哥高中数学辅导资料 4.已知x>0,则4x+9 的最小值为 9 5.己知x>3,则x+ X-3 的最小值为() A.9 B.6 C.3 D.12 6.用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园面积的最大值为 【巩固练习】 1.已知x<0,则x+9 的最大值为() X A.6 B.-6 C.-3 D.不存在 2.已知x>1,则x+1 X-1 的最小值为 3.已知x>0,y>0,且2x+y=2,则1+2的最小值为（) 9 A.2 B.2V2 C.9 D.4 4.已知x>0,y>0,且x+2y=3,则y的最大值为 5.函数y=x2+4+1 Vx2+4 的最小值为() A.2 B. c.5 D.2V2 6.某学校打算用一段长36m的篱笆围成一面靠墙的矩形菜园（墙足够长，不需要篱笆），则菜园面 积的最大值为 7已知0X≤n,则y=nX+x的短小值为() A.4 B.2V2 C.5 D.1 7/13 专题04不等式 群哥高中数学辅导资料 8.已知x>0,y>0,且y=x+2y,求y的最小值. 题型四恒成立与有解问题 【方法与技巧】 恒成立转最值：f(x)≥a恒成立~a不超过f(x)的最小值；f(x)≤a恒成立~a不小于 f(x)的最大值一一参数与x分离是第一步。 有解（存在性）转最值：fx)≥a有解口a不超过f(x)的最大值，注意与恒成立的方向刚好相 反。 分离不了参数就上二次函数闭区间套路：对称轴与区间的位置关系分三类讨论，端点值代入比较。 【例题精讲】 1.若不等式x+2x+m>0对任意实数X恒成立，则实数m的取值范围是() A.m21 B.m<1 C.m>-1 D.m>1 2.若对任意X20,不等式X+2≥m恒成立，则实数m的最大值为《) X A.2V2 B.2 C.4 D.2 3.若存在x∈[1,2]，使得x-a≥0成立，则实数a的取值范围是 【变式训练】 1.若不等式mx2+x-1<0对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是 2.若对在意X∈[1,21，不等式之a恒成立则实数a的取值范国是《） A号 B.a≤1 C.a<1 D.a≤2 3.若存在X∈(0，+0，使得X+4≤m成立，则实数m的取值范围是(） X A.m≥2V2 B.m≤2V2 C.m≥4 D.m>4 8/13 专题04不等式 群哥高中数学辅导资料 4.若不等式x2+4x+a≥0对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 5.若关于x的不等式mx-1>0对任意x∈[1,2]恒成立，则实数m的取值范围是() A.m>1 B.m≥1 C.m D.m≥2 6.若存在x∈[1,4]，使得x2-4x+a≤0成立，则实数a的取值范围是 【巩固练习】 1.若关于x的不等式x-2ax+2≥0对任意x∈[0,1]恒成立，则实数a的取值范围是 () A.053 B.as月 C.a≤V2 D.-1≤a≤1 2.若对任意x>0,不等式x+≥Q恒成立，则实数Q的取值范围是 3.某工厂生产某种产品X件(10≤x≤50)所获利润W=-x+aX-100(万元).若对任意产 量x∈[10,50]，都有W>0恒成立，则实数a的取值范围是() A.a>52 B.a>20 C.a≥100 D.a>50 4.若存在x∈[0,1]，使得4-a·2*≤0成立，则实数a的取值范围是 5.已知不等式：①若对任意x∈[1,2]，a>x2恒成立：②若存在x∈[1,2]，a>x2成立.则 ①②中a的取值范围分别是() A.a≥4与a>1 B.a>4与a≥1C.a>4与a>1 D.a>2与a>1 6.若不等式ax+2x+1>0对任意实数X恒成立，则实数a的取值范围是 7.若关于x的不等式x≥ax对任意X∈[1，+∞)恒成立，则实数a的取值范围是() A.a≤1 B.a<1 C.a≤2 D.a≥1 9/13 专题04不等式 群哥高中数学辅导资料 8.是否存在实数a,使得关于X的不等式x2+(a-1)x+1>0对任意实数X恒成立？若存在， 求出Q的取值范围；若不存在，请说明理由， 题型五不等式与函数、三角、数列的交汇 【方法与技巧】 交汇题先“认归属”：函数背景用图象与单调性，三角背景先齐次化(1=si20+cos20),数列背景抓 下标性质。 函数单调性定参：二次函数在区间上单调一对称轴在区间一侧，写出轴与区间的位置关系即可。 三角与基本不等式交汇：sin0cos8齐次式化成tan0的分式，再用均值不等式或函数值域收口。 【例题精讲】 1.若函数f(x)=x-2(a-1)x+3在区间(-∞，1]上单调递增，则实数a的取值范围是 () A.a≤2 B.a≥0 C.a≤-2 D.a≥2 2.已知sin6+cos9=号且6∈(0，，则am0的值为() 4 A.4 B.-4 c.-3 3.已知正项等比数列{an}满足a3a5=16,则a3+a5的最小值为 【变式训练】 1.已知f(x)是定义在实数集上的偶函数，当x≥0时f(x)=x-4x,则不等式f(x)<0的解 集为() A.（-4,4) B.(-0,-4)U(4,+∞ c.（-4,0U(0,4) D.(0,4) 10/13 专题04不等式 群哥高中数学辅导资料 2.已知tan0=3,则sin0cos0的值为 3.已知等差数列{an}满足a1>0,S3=S11,则其前n项和Sn取得最大值时n=_ 4.若函数f(x)=x+2(a-1)x+2在区间（-∞，4]上单调递减，则实数a的取值范围是 () A.a≥-3 B.a≤-3 C.a≤3 D.a≥3 5.已知a∈(0，n,in+cosa=号则cos2a-_ 6.已知正项等差数列{an}的公差d≠0，则a1ag与a3a,的大小关系是( ) A.aag>a3a B.aag=a3a7 C.aag<a3a7 D.不能确定 【巩固练习】 1.已知函数fx)=x+,x∈，3 则f(x)的值域为() A.[2,3] 2 B. c. D. 2.已知x∈0,2 1 anx=2则sin2x=_ 3.已知数列{an}的通项an=n(10-n),则其前n项和Sn取得最大值时n的值为() A.9 B.9或10 C.10 D.8 4.已知函数f(x)=x2-4x+3在区间[0，m]上的最小值为-1，则实数m的取值范围是 5.函数y=sin2x+2 sin xcos x+3cos2x的最小值为() A.2 B.1-V2 C.2+V2 D.2-V2 6.已知等比数列{an}中a1ag=4,则a3+a,的最小值为 7.农业技术员发现某作物的种植密度x(千株/亩)与单株产量y(kg)近似满足y=8一X,则每亩 总产量w=y(kg)最大时的种植密度为() A.2千株/亩 B.6千株/亩 C.4千株/亩 D.8千株亩 11/13 专题04不等式 群哥高中数学辅导资料 8.是否存在实数a,使得函数f(x)=x+ax+1在区间[0,2]上的最小值恰为1？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1.下列不等式中一定成立的是() A.X+二≥2 B.X<x C.2*>x2 D. X+2>1 X x2+11 2.不等式 2-x>0的解集为(） X A.（0,2 B.（-0,0)U(2,+∞)C.(2,+o) D.(0,+∞) 3.已知x>0,y>0,且x+y=6,则y的最大值为() A.8 B.6 C.9 D.4 4.若关于x的不等式x+mx+4≥0对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是() A.m≤-4或m≥4B.-2≤m≤2 c.-4≤m≤4 D.m≥4 5.已知a+b>0,ab<0,则下列结论一定成立的是() A.a>b B.a<0,b>0 C.a=bl D.a<b 6.已知0<x<1,则x4-x)的取值范围是() A.(0,3] B.（0,4) c.[0,3) D.(0,3 7.若存在x∈[1,3]，使得x2-2x+m≤0有解，则实数m的取值范围是() A.m<1 B.m≥1 C.m≤-1 D.m≤1 8.在等比数列{an}中，a1=3,a4=81(各项均为正)，则a=() A.243 B.729 C.247 D.2187 【多项选择题】 9.已知X>0,y>0,下列结论正确的是() A.x+4≥4 X B.若y=6,则x+y≥2V6 C若X1,则+x的最小值为2 D.若0<x≤1，则x+之2 X 10.关于不等式文中0.下列旋法正确的是《） A.其解集为(-2,1) B.它与（x-1)(x+2)<0的解集相同 C.其解集为（-∞，-2)U(1,+o) D.当X=1时，不等式左边等于0 12/13 专题04不等式 群哥高中数学辅导资料 11.已知函数f(x)=x2-2ax+3在区间(-00,2]上单调递减，则下列结论正确的是() A.a≥2 B.f(2)≤3 C.a可以取1 D.f(x)在区间（-∞，2]上无最小值 【填空题】 12.已知x>0,则 X2+3x+3 的最小值为 X 13.不等式(x-2)只x+1≥0的解集为 14.已知a>0,b>0,且a+2b=4,则。+ 的最小值为 13/13