21.4 一元二次方程的根与系数的关系（第2课时）2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第21章 一元二次方程 21.4 一元二次方程的根与系数的关系 （第2课时）根与系数关系的应用 年 级：八年级 学 科：数学（上教版） 复习引入 复习：先写两根的和与积 设是方程的两个根。 不解方程，写出与。 答：，。 解 判别式，方程有两个实数根。 由根与系数的关系，和为一次项系数的相反数，积为常数项。 复习引入 观察：不求单个根也能求值 沿用方程的两个根， 你能直接求吗？ 答：。 解 由完全平方公式，。 代入和为、积为，得。 新知讲授 应用韦达定理的基本思路 基本思路 利用韦达定理求关于、的代数式的值时，通常先把代数式化为由和表示的形式，再代入求值． 记号帮助思考 可暂记，，使转化过程更清楚。 注意条件 方程须有两个实数根；含倒数时，还要检查根不能为。 新知讲授 从一般式提取和与积 先整理一般式 对，先确认，并检查。 两根的和 ，注意负号作用于整个。 两根的积 ，不能漏掉分母。 顺序 先写和与积，再转化所求式；不要急着分别求根。 新知讲授 倒数和：先通分 基本转化 。 用和与积表示 所求式等于。 非零条件 要求，也就是；此时两个根都非零。 常见错误 不能把倒数和写成。 新知讲授 平方和：补出完全平方 先展开 。 再移项 。 系数从哪里来 完全平方的中间项为，因此要减去。 结果检验 实数的平方和不小于0；负值说明条件或计算有误。 新知讲授 差的平方：仍化为和与积 由平方公式 出发 。 代入平方和 。 不要混淆 平方和减，差的平方减。 能确定什么 可确定差的平方；若未约定根的大小，的正负未定。 例题讲解 例 3 已知方程有两个实数根， 利用韦达定理求： （1） 。 （2） 。 （3） 。 解第（1）题 。 ，。 所求式。 方法：先通分，把倒数和化为。 注意：计算前确认两根均非零，即。 例题讲解 例 3 已知方程有两个实数根， 利用韦达定理求： （1） 。 （2） 。 （3） 。 解第（2）题 。 ，。 所求式 。 方法：把平方和化为。 注意：不能把平方和直接写成和的平方。 例题讲解 例 3 已知方程有两个实数根， 利用韦达定理求： （1） 。 （2） 。 （3） 。 解第（3）题 。 ，。 所求式。 方法：用完全平方公式化为。 注意：这里求差的平方， 不必确定根的先后。 例题讲解 错解辨析：平方和少了哪一项 辨析 设是的两根。小明说两根平方和为。请改正。 答：平方和应为。 解 ，。 平方和。 方法：先把平方和转成和与积。 注意：从和的平方中须减去交叉项。 例题讲解 例题变式：倒数和先查条件 变式 设是的两根，求。 答：。 解 ，，倒数都有意义。 通分后，所求式。 方法：先查分母非零，再通分。 注意：倒数和不是和的倒数。 例题讲解 例3归纳：把所求式转成熟悉结构 方法1　含倒数时先通分 ① 先检查两根都非零。 ② 通分后识别和与积。 ③ 代入时保留负数括号。 方法2　含平方时用公式 ① 平方和化为。 ② 差的平方化为。 ③ 用非负性检查结果。 新知讲授 交换两个根后，哪些量不变？ 根的编号 交换与，它们仍是同一方程的两个根。 保持不变的量 和、积、平方和、差的平方以及倒数和都不变。 可能改变的量 会变号；不能随意写成正的平方根。 合理补充条件 若要取非负的根的差，应明确规定。 例题讲解 例4　含参数的完整问题 原题 已知关于的方程的两个实数根的平方和等于，求的值及此方程的两根。 设两个根 设方程的两个实数根分别为。 提取条件 ，；同时必须满足。 求解路线 先由平方和求参数，再检验是否有实数根。 例题讲解 例 4 方程的两个实数根平方和为。 由根与系数的关系，先求的候选值。 答：或，还需检验。 解 由，得。 整理为，即。 方法：用 列参数方程。 注意：求出的只是候选值， 还需查实根条件。 例题讲解 例 4 方程有两个实数根，平方和为。 检验，求符合题意的及两根。 答：；两根为。 解 时得，，舍去。 时得，两根为，平方和为。 方法：将候选参数逐个代回， 检查判别式。 注意：没有实根的必须舍去。 例题讲解 例题变式：候选参数须筛选 变式 方程的两个实数根平方和为，求。 答：。 解 由韦达定理，，。 ，得或。 两值的分别为，只保留。 方法：先由平方和求候选值， 再查实根条件。 注意：根关系成立的 前提是两个实根存在。 例题讲解 例4归纳：参数题必须检验实根条件 方法1　从根的关系建立方程 ① 写出含参数的和与积。 ② 把已知关系化为。 ③ 求出参数的所有候选值。 方法2　回到原方程检查 ① 代回参数，计算判别式。 ② 排除没有实数根的情形。 ③ 求两根并检验已知关系。 课堂练习 练习1 已知方程有两个实数根， 利用韦达定理求： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 解第（1）题 。 ，。 提取，原式。 。 方法：先提取，化为。 注意：两根积，保留负号。 课堂练习 练习1 已知方程有两个实数根， 利用韦达定理求： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 解第（2）题 。 ，。 展开，原式。 代入得。 方法：展开两个因式，化为。 注意：交叉项合并为，不能漏项。 课堂练习 练习1 已知方程有两个实数根， 利用韦达定理求： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 解第（3）题 。 ，。 原式。 代入得。 方法：补出和的平方后减去一个。 注意：本题是， 不是平方和公式。 课堂练习 练习1 已知方程有两个实数根， 利用韦达定理求： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 解第（4）题 。 ，。 通分得。 原式。 方法：先查，再通分为。 注意：分母是积的平方， 不是两根平方和。 课堂练习 课堂练习1归纳：按结构转化 方法1　先因式分解或展开 ① 两项有公因式，先提取。 ② 两个括号相乘，先展开。 ③ 再识别和与积的整体。 方法2　含分式先看分母 ① 由积非零判断两根非零。 ② 通分后再化分子。 ③ 分母的平方别漏括号。 课堂练习 课堂练习2　由根的关系求参数 已知关于的方程有两个实数根， 且。 求的值及此方程的两根。 答：；两根为。 解 ，；已知条件化为。 即，得；原方程为，两根为。 方法：把已知乘积化为求参数。 注意：求后仍须代回并求两根。 课堂练习 课堂练习2回验：参数与根都要检查 方程仍为二次方程 二次项系数恒为，代入不会改变次数。 两个实数根 存在 的判别式为。 根与系数相符 两根的和为，积为，与原方程系数对应。 已知关系相符 。 新知讲授 有理式求值前，先查非零条件 两根之积 等于0 若，至少有一个根为，两个根的倒数和无意义。 两根之和 等于0 不妨碍求平方和；但以为分母的式子会无意义。 差的平方 等于0 此时两个根相等；以为分母的式子无意义。 检查顺序 先判断有意义， 再通分、约分与代入。 新知讲授 易错辨析：三种常见错误 把平方和当和的平方 ，不能漏掉。 一次项符号 看错 中，，所以。 参数一算出就作答 求得的参数只是候选值；仍需满足原方程的实根条件。 不必要地 求出根 所求式能由表示时，先整体代入通常更简洁。 课堂练习 阶段归纳：让每一步都有依据 读条件 确认方程次数、实数根与分母非零等条件。 写关系 由系数写出、。 作转化 用通分、提公因式或乘法公式，将所求式写成的式子。 回头检验 数值题查非负性；参数题查判别式与原已知条件。 针对训练 训练1　判断题组：先看式子是否有意义 （1）方程的两根倒数和等于。 错 两根积为，倒数和无意义。 （2）两实根满足。 对 展开完全平方后移项即可。 （3）的两根一定满足。 错 未约定大小，交换编号后根的差变号。 （4）若，则两根倒数和为，为和、为积。 对 通分得。 方法：先查分母与编号条件，再用恒等变形。 注意：和、积对换根不变，根的差可能变号。 针对训练 训练2　选择平方和 设是的两根，则两根平方和为（　　）。 A． B． C． D． 答：B 解 ，。 平方和。 方法：用平方和公式整体代入。 注意：别漏减去两倍的积。 针对训练 训练3　选择题 某一元二次方程的两根和为、积为。 这两个根的平方和为（　　）。 A． B． C． D． 答：B 解 平方和。 不能直接把两根的平方和写成。 方法：直接用计算平方和。 注意：完全平方的交叉项系数是2。 针对训练 训练4　填差的平方 设是的两根，则________。 答：。 解 ，。 差的平方。 方法：把差的平方化为。 注意：差的平方与平方和的减项不同。 针对训练 方法总结：公式与条件同时检查 方法1　识别所求式 ① 平方和要减去。 ② 差的平方要减去。 ③ 先转化，再代入数值。 方法2　检查倒数是否有意义 ① 先计算两根的积。 ② 积非零，两根才均非零。 ③ 有零根时倒数无意义。 针对训练 训练5　填空题 设是的两个根。 __________。 答：。 解 两根的和为，积为。 提取公因式后，所求式。 方法：提取公因式后，整体代入。 注意：积 含负号。 针对训练 训练6　计算题 设是的两个根。 求的值。 答：。 解 ，；展开所求式得。 代入得。 方法：展开为，再代入。 注意：本题，减应变为加3。 针对训练 方法总结：提取或展开后识别整体 方法1　有公因式时先提取 ① 检查每项都含哪些因式。 ② 提出后观察是否出现。 ③ 用与相乘求值。 方法2　两个括号先展开 ① 按分配律逐项相乘。 ② 把一次项合为两根之和。 ③ 注意括号前的负号。 针对训练 训练7　展开后整体求值 设是的两根，求。 答：。 解 ，。 展开得。 方法：先展开，合并成和与积。 注意：交叉项为，本题为负数。 针对训练 训练8　倒数平方和 设是的两根，求。 答：。 解 ，。 通分后，所求式。 方法：先查有意义，再用通分与平方和。 注意：分母 是正数1。 针对训练 训练9　由根的乘积式求参数 方程的两实根满足，求。 答：。 解 ，。 由，得。 代回得，。 方法：把已知乘积转成。 注意：参数求出后仍须检验实根条件。 针对训练 训练10　两个候选值都要检验 方程的两个实数根平方和为，求。 答：或。 解 ，。 由，得。 ，两个候选值均合格。 方法：先列平方和条件， 再统一检查判别式。 注意：不能仅因参数为负数就舍去。 针对训练 训练11　含参数的两个可能值 方程的两个实数根平方和为。 求的值。 答：或。 解 由，得，所以。 判别式为；两个候选值均有实数根， 均符合题意。 方法：把平方和条件化为参数方程，再逐一检验。 注意：与均须检查实根存在。 针对训练 训练12　求参数并求两根 方程的两个实数根平方和为。 求及方程的两根。 答：；两根为。 解 由，得，所以。 原方程为；，检验成立。 方法：先由求， 再解方程。 注意：最后用两根核对平方和10。 针对训练 方法总结：由根的关系反求参数 方法1　建立参数方程 ① 先用参数表示和与积。 ② 将平方和转为。 ③ 求出全部参数候选值。 方法2　检验并完成作答 ① 检查二次项系数非零。 ② 检查实数根是否存在。 ③ 必要时求根并代回检验。 针对训练 训练13　应用：两块正方形纸板 长方形卡片的周长为厘米，面积为平方厘米。 分别以它的长和宽为边长制作两块正方形纸板。 求这两块纸板的总面积。 答：平方厘米。 解 设长、宽为，则，。 总面积。 方法：由周长和面积得到和与积，再求平方和。 注意：周长对应邻边和11。 针对训练 训练14　应用：两台水泵合作 两台水泵单独抽完同一池水所需的时间和为小时， 时间的积为平方小时。两台水泵效率均保持不变。 同时工作，需要多少小时抽完这池水？ 答：小时，即小时。 解 设两台泵的单独用时为，合作效率为。 把整池水看作份，用时小时。 方法：用倒数和表示合作效率， 再取倒数。 注意：所求是时间， 不能把效率直接当答案。 针对训练 方法总结：从实际量中提取和与积 方法1　先确定两个量 ① 把两种长度或时间设出。 ② 从已知条件写出和与积。 ③ 确认实际量均为正数。 方法2　再转化所求量 ① 面积和对应平方和。 ② 合作效率对应倒数和。 ③ 求出结果后写清单位。 课堂小结 根与系数 关系的应用 检查前提 确认两个实根存在；分式还需分母非零。 写和与积 记，，保留符号。 转换结构 平方和；差平方；倒数和。 代入回验 整体求值；参数候选值须检验及原条件。 特别提醒：平方和不等于和的平方；倒数式先查非零条件，参数算出后仍须回验。 $