21.5(3) 一元二次方程的应用-列方程解应用题- 课件 2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程应用中的分式方程，通过复习实际问题到分式方程的核心流程，回顾分式、列方程、检验及增根等旧知，衔接整式方程知识，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以“爱心义卖”实际问题为载体，用表格梳理数量关系培养抽象能力，通过去分母转化分式方程为一元二次方程体现推理能力，强调验根环节培养严谨思维。小结系统归纳知识，助力学生建立模型意识，教师可直接使用实例提升教学效率。

第21章 一元二次方程 21.5 一元二次方程的应用 列方程解应用题（2） 年 级：八年级 学 科：数学（沪教版） 1 复习引入 实际问题 分式 实际问题 的解 整式方程 （一元一次方程） 解整式方程 整式方程的根 分式方程的根 分式方程的增根 分式方程 列式 列方程 去分母 转化 检验 检验 符合实际意义 在分式方程两边同乘一个整式，由于这个整式的值可能为 0，这就可能产生增根. 代入原方程检验 代入公分母检验 可化为一元一次方程的分式方程 2 新知讲授 分析 问题 八（1） 八（2） 总义卖款 （元） 人数（人） 人均义卖款 （元） 1 200 1 120 x-5 x 班级总义卖款 人均义卖款 人数 = × +5元 ？ ？ -2人 学校组织“爱心义卖”活动，八（1）班与八（2）班各得义卖款1 200元与1 120元． 在计算各班人均义卖款时发现：八（1）班比八（2）班人均义卖款多5元，八（1）班的 人数比八（2）班少2人．问：两个班人均义卖款分别是多少？ 3 新知讲授 分析 问题 八（1） 八（2） 总义卖款 （元） 人数（人） 人均义卖款 （元） 1 200 1 120 x-5 x 班级总义卖款 人均义卖款 人数 = × +5元 -2人 八（1） 八（2） 总义卖款 （元） 人数（人） 人均义卖款 （元） 1 200 1 120 y-2 y +5元 -2人 学校组织“爱心义卖”活动，八（1）班与八（2）班各得义卖款1 200元与1 120元． 在计算各班人均义卖款时发现：八（1）班比八（2）班人均义卖款多5元，八（1）班的 人数比八（2）班少2人．问：两个班人均义卖款分别是多少？ 4 整理，得　　　　　　 ． 整理，得 　　　　　 ． 新知讲授 方程两边同乘公分母　　　，去分母得 　 ． 方程两边同乘公分母　　　，去分母得 　 ． 这两个方程的未知数所在位置有什么共同点？ 分母里含有未知数. 如何解分式方程？ 怎样去分母？ 方程两边都乘公分母. 整式方程 去分母 转化 分式方程 分式方程 整式方程 ( ) 去分母 转化 一元二次方程 可化为一元二次方程的分式方程 可化为一元一次方程的分式方程 5 新知讲授 问题 整理，得 　 . 所以，八（1）班与八（2）班人均义卖款分别是40元和35元 . 代入分式方程检验，可知 都是该方程的根， 解 设八（ 1 ）班人均义卖款是x元，那么八（ 2 ）班人均义卖款是（x-5）元． 根据题意 ，可列出方程　　　　　　 ． 解这个整式方程，得 . 方程两边同乘公分母 ，去分母得 但-75不符合实际意义，应舍去. 检验： 2. 是否符合题意. 1. 是否是分式方程的根； 　　学校组织“爱心义卖”活动，八（1）班与八（2）班各得义卖款1 200元与1 120元． 在计算各班人均义卖款时发现：八（1）班比八（2）班人均义卖款多5元，八（1）班的 人数比八（2）班少2人．问：两个班人均义卖款分别是多少？ 分式方程 整式方程 ( ) 转化 一元二次方程 6 你能归纳出解分式方程的一般步骤吗？ 解分式方程的一般步骤是： 在“验根”时，如果只检验 整式方程的根是否使“去分母”时方程两边同乘的代数式的值为0，可以吗？ （1）去分母，转化为整式方程并求解； 整理，得 　　　 ． 解方程： ． 例题讲解 方程两边同乘 ， 去分母得 　　　． 解这个整式方程，得 ,　 　 ． 所以，原方程的根是 　　　． 例 7 检验： 当 时，代入原方程，等式成立； 当 时，代入原方程，右端分母为0，无意义， 即 为增根，应舍去． （2）验根，并写出结论. 解 分式方程 整式方程 ( ) 转化 一元二次方程 代入原方程检验 代入公分母检验 将 或1分别代入 ， 所以，原方程的根是 . 得 . x=-2 当 时， ，即 为增根，应舍去； x=1 x=1 x=-2 当 时， x=-2 7 解这个整式方程，得 ,　　　． 整理，得 　　　 ． 解方程： ． 例题讲解 方程两边同乘 ， 去分母得 　　　　． 检验： 例 8 原方程可变形为 ． 所以，原方程的根为 　　 ， 　． 代入公分母检验 将s=2或-1分别代入 ， 所以，原方程的根是 ， . 为了找到合适的去分母时两边同乘的代数式，一般需要对分式方程中的分母先进行因式分解. 当 分别为2和 时， 代入原方程，等式均成立． 解 得 . 代入原方程检验 8 课堂练习 练习 1 A. ； 将方程 去分母后所得的方程是 （ ） D. ． B. ； C. 　 ； 方程两边同乘 C 9 课堂练习 练习 2 下面分别是小海和小华解分式方程 的具体过程． 请先判断小海和小华的解法是否正确，再谈谈你对他们两人解法的看法． 小海的解题过程： 小华的解题过程： 对分式方程中的分母先进行因式分解，再找合适的公分母． 要先观察方程的特征哦！ 两边同乘公分母 两边同乘公分母 10 解方程： 课堂练习 整理，得 　　　 ． 方程两边同乘 ， 去分母得 　　　　． 原方程可变形为 ． 所以，原方程无解． 解这个整式方程，得 　 ． 检验：将 代入 ， 得到 ，即 是增根，应舍去． 对分式方程中的分母先进行因式分解，再找合适的公分母． 解 练习 3 代入公分母检验 你还有其他方法吗？ 11 解方程： 课堂练习 练习 3 方程两边同乘 ，去分母得 ． 原方程可变形为 ． 所以，原方程无解． 解这个整式方程，得： ． 检验：将 代入原方程 ，左端分母无意义， 即 是增根，应舍去． 方程可以整理为： ． 方法二 变式： ． ． 检验： 将 代入原方程 ， 等式均成立． 所以，原方程的根为 ． 12 实际问题 分式 实际问题 的解 整式方程 （一元一次方程） 解整式方程 整式方程的根 分式方程的根 分式方程的增根 分式方程 列式 列方程 去分母 转化 检验 检验 符合实际意义 在分式方程两边同乘一个 整式，由于这个整式的值可能为 0，这就可能产生增根. 代入原方程检验 代入公分母检验 可化为一元一次方程的分式方程 课堂小结 可化为一元二次方程的分式方程 （一元二次方程） 13 数学的本质在于用最不 结束语 “转化”思想是解决分式方程的核心——通过“去分母”将分式方程化归为熟悉的整式方程求解，它架起了分式与整式的桥梁，使未知问题回归已知．从实际问题抽象出方程，展现建模思想，让我们体会到数学化繁为简、联结现实与抽象的智慧． 14 null 70973.805 ． ． $