21.4(2) -一元二次方程的根与系数的关系-课件 2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习韦达定理及方程有实根的条件，以方程2x²+6x-3=0为例，引导学生从求两根和、积过渡到代数式求值，搭建从基础到应用的学习支架。 其特色在于以“观察特征—代数变形—整体代入”为主线，通过通分、配方等方法培养学生的推理意识和运算能力，如将x₁²+x₂²变形为(x₁+x₂)²-2x₁x₂。课堂练习涵盖多样代数式，强化模型意识，助力学生掌握无需求根解题技巧，也为教师提供清晰教学流程与分层素材。

第21章 一元二次方程 21.4 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系（2） 年 级：八年级 学 科：数学（沪教版） 1 复习引入 韦达定理 那么 如果一元二次方程 的两个实数根分别是 ， 应用 化为一般式 ≥0. 注意 不解方程，求方程两根的和、积. …… 2 新知讲授 已知方程 有两个实数根 ，求下列各式的值： （1） （3） （2） 以下是小红的解答过程： 不解方程，能求出这些关于 的代数式的值吗？ 3 由韦达定理得 新知讲授 解 已知方程 有两个实数根 ，求下列各式的值： （1） （3） （2） （1） 可对 进行通分 两根之和 两根之积 ？ 先利用韦达定理求 和 的值； 分析 再把代数式化为 由 和 表示的形式； 最后整体代入求值． 通分 韦达定理： 不解方程，能求出这些关于 的代数式的值吗？ 4 由韦达定理得 例题讲解 例 3 解 已知方程 有两个实数根 ，利用韦达定理求下列各式的值： （1） （3） （2） （2） ？ 先利用韦达定理求 和 的值； 再把代数式化为 由 和 表示的形式； 最后整体代入求值． 配方 平方和 ? 配完全平方式： 观察特征 5 例题讲解 解 由韦达定理得 （2） ？ （3） 配方 差的平方 例 3 已知方程 有两个实数根 ，利用韦达定理求下列各式的值： （1） （3） （2） 展开 也可以利用第(2)小题的答案直接整体代入求值. 观察特征 观察所求代数式的特征，关注条件和结论之间的关联，选择适当的方法解决问题. 6 例题讲解 例 3 已知方程 有两个实数根 ，利用韦达定理求下列各式的值： （1） （3） （2） 先利用韦达定理求 和 的值； 再把代数式化为 由 和 表示的形式； 最后整体代入求值． 利用韦达定理求 关于方程两根的代数式的值 观察特征 通分 展开 配方 配方 7 例题讲解 观察所求代数式的特征，通过通分、配方、展开等方法将所求代数式恒等变形为用 和 表示的形式. 先利用韦达定理求 和 的值； 再把代数式化为 由 和 表示的形式； 最后整体代入求值． 两根倒数的和 两根差的平方 两根平方和 例 3 已知方程 有两个实数根 ，利用韦达定理求下列各式的值： （1） （3） （2） 8 设方程 的两个实数根分别为 例题讲解 例 4 分析 已知关于x的方程 的两个实数根的平方和等于13，求m的值及此方程的两根. 两个实数根的关系 韦达定理 关于m的一元二次方程 两根之和 两根之积 两根平方和 ★建立关于m的等量关系 解得m后，即可回代方程求出两根. 关于x的一元二次方程 9 当 时，方程 ，即 ， 设方程 的两个实数根分别为 , 当 时，方程 ，即 ， 那么 ,且 已知关于x的方程 的两个实数根的平方和等于13，求m的值及此方程的两根. 例题讲解 例 4 解 根据题意，得 因为 所以 解得 即 这时， ，不符合题意. 这时，解得 . 所以，m的值为 2，方程的两根分别为 . ★注意 的隐含条件. 先利用韦达定理表示 和 ； 列出关于待定系数的方程； 结合题目中的两根条件 获得等量关系 解得待定系数后，回代求出两根. 已知一个关于方程两根的代数式的值. 求系数所含字母的值及方程的两根. 韦达定理 对于含字母系数的方程，字母的某些取值可能不满足 的条件，所以求得的m值还要代入判别式检验 . 10 课堂练习 解 练习1 提取公因式 展开 已知方程 有两个实数根 ，利用韦达定理求下列各式的值： 由韦达定理得 （1） （2） 有公因式 有公因式 （1） （2） （3） （4） 11 课堂练习 解 由韦达定理得 （3） 配方 也可以这样做： 练习1 已知方程 有两个实数根 ，利用韦达定理求下列各式的值： （1） （2） （3） （4） 12 课堂练习 （4） 通分 先利用韦达定理求 和 的值； 再把代数式化为 由 和 表示的形式； 最后整体代入求值． 练习1 已知方程 有两个实数根 ，利用韦达定理求下列各式的值： （1） （2） （3） （4） 解 由韦达定理得 13 课堂练习 先利用韦达定理求 和 的值； 再把代数式化为 由 和 表示的形式； 最后整体代入求值． 练习1 已知方程 有两个实数根 ，利用韦达定理求下列各式的值： （1） （2） （3） （4） 观察所求代数式的特征，通过通分、配方、展开、分解等方法将所求代数式恒等变形为用 和 表示的形式. 14 那么 且 由方程 的两个实数根分别为 已知关于x的方程 有两个实数根 ，且 .求k的值及此方程的两根. 课堂练习 解 因为 所以 解得 练习2 解得 当 时，方程 ，即 ， 所以，k的值为5，方程的两根分别为 . 列关于待定系数k的方程. 结合韦达定理 获得等量关系 化为由 和 表示的形式. 解得k后，回代求出两根. ★注意 的隐含条件. 15 课堂小结 韦达定理 那么 如果一元二次方程 的两个实数根分别是 ， 应用 不解方程，求方程两根的和、积. 已知一元二次方程两根的关系，求待定系数和方程的根. …… ★将一元二次方程化为一般式 ★注意 的隐含条件. 已知一元二次方程，不解方程，求关于两根的代数式的值. 方程 化归 整体代入 16 数学的本质在于用最不显而易见的方法证明最显而易见的事物． ——乔治·波利亚 结束语 韦达定理作为一座“桥”，让我们无需求解方程，就能跨越未知的根，洞察到根与系数间蕴含的关系，整体把握结构、发现隐藏联系，体会数学“以简驭繁”的魅力． 17 $