21.1 一元二次方程的概念（第1课时）2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第21章 一元二次方程 21.1 一元二次方程的概念 （第1课时）概念与一般形式 年 级：八年级 学 科：数学（上教版） 复习引入 复习引入：方程中的未知数 方程中有几个未知数？ 未知数的最高次数是多少？是否满足方程？ 答：有一个未知数；最高次数是；满足方程。 解 未知数只有，且的次数是。 代入得，两边相等。 复习引入 探究长方形绿地 一块长方形绿地的面积为平方米，且已知长比宽多米。问：长和宽各为多少？ 平方米 答：设宽为米，列； 宽米、长米符合条件。 解 长为米，由面积关系列方程。 ，且，可直接检验。 复习引入 引入归纳：出现了二次项 展开方程 可写成。 观察未知数 方程只含一个未知数。 观察次数 出现了，未知数的最高次数是。 本课任务 认识这种方程，辨认各项，并检验一个数是不是它的根。 新知讲授 一元二次方程的概念 概念 一般地，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程叫作一元二次方程． 一元 只含有一个未知数，未知数可用不同字母表示。 二次与整式 化简后最高次数是；等号两边都是整式。 注意 三个条件要同时满足。 新知讲授 一元二次方程的一般形式 一般形式 一元二次方程的一般形式是 （为已知数，且）， 为何要求非零 只有a≠0，二次项才不会消失。 一次项 与常数项 或可以等于，方程仍可是一元二次方程。 新知讲授 各项及其系数 基本依据 其中叫作二次项，是二次项系数；叫作一次项，是一次项系数；叫作常数项． 在一般形式中辨认 中，，，。 注意符号 系数和常数项都要连同符号一起读出。 新知讲授 判定前先化简 先看形式 分母含未知数的方程， 不是整式方程。 再展开合并 例如化简为。 最后看 最高次数 化简后没有二次项，就不是一元二次方程。 易错提醒 不能只因原式出现就作判断。 新知讲授 化为一般形式的步骤 去括号 运用分配律或乘法公式， 正确展开。 移项合并 把各项移到同一边，另一边写成。 按次数排列 按二次项、一次项、常数项的顺序整理。 核对系数 先整理，后读系数；缺少的项，其系数为。 新知讲授 一元二次方程的根 根的意义 满足方程（）的实数叫作这个方程的实数根（或者实数解），简称实根或者根． 满足方程 将这个数代入后，方程左右两边的值相等。 注意 “根”是使等式成立的未知数的值，不是方程中的系数。 新知讲授 检验一个数是不是根 代入原方程 同一个未知数在每一处都代入同一个值。 分别计算 算出方程左边与右边的值。 比较作答 两边相等就是根； 不相等就不是根。 易错提醒 代入负数时加括号，例如。 例题讲解 例 1 把下列一元二次方程化成一般形式，并写出方程中的各项与各项的系数： （1） 。 （2） 。 解第（1）题 ；，，。 去括号、移项、合并：。 二次项，一次项，常数项。 方法：先展开移项，再按次数排列各项。 注意：一次项系数要连同负号读取。 例题讲解 例 1 把下列一元二次方程化成一般形式，并写出方程中的各项与各项的系数： （1） 。 （2） 。 解第（2）题 ；，，。 展开右边：，再移项。 二次项，一次项。 常数项为。 方法：展开右边后，移项写成一般形式。 注意：根式是常数， 未知数的次数不变。 例题讲解 例 1 把化为一般形式，写出。 变式 答：；。 解 展开得。 移项得，按次数读系数。 方法：先展开移项，再对应三个系数。 注意：常数移项后变为。 例题讲解 错解辨析：看见平方就判二次？ 辨析 小明说是一元二次方程。他的判断对吗？ 答：不对；化简为，是一元一次方程。 解 展开得。 两边二次项抵消，得。 方法：先化简，再看未知数的最高次数。 注意：判定依据是整理后的方程。 例题讲解 例1归纳：各项与系数 方法1　先化成一般形式 ① 去括号后移项。 ② 合并同类项。 ③ 一边整理成零。 方法2　符号和缺项都要核对 ① 系数带上正负号。 ② 一次项可为零。 ③ 常数项可以含根式。 例题讲解 例 2 判断是不是一元二次方程的根。 （1） 。 （2） 。 （3） 。 解第（1）题 是这个方程的根。 左边。 右边也是，所以左右两边相等。 方法：把代入原方程，比较两边。 注意：负数平方须先加括号。 例题讲解 例 2 判断是不是一元二次方程的根。 （1） 。 （2） 。 （3） 。 解第（2）题 不是根； 左边。 左边不等于右边，所以不是根。 方法：把代入原方程检验。 注意：分数的平方与乘积要分别计算。 例题讲解 例 2 判断是不是一元二次方程的根。 （1） 。 （2） 。 （3） 。 解第（3）题 是根。 左边。 左右两边相等，所以是根。 方法：把代入原方程。 注意：等式两边相等才是方程的根。 例题讲解 例 2 判断和是不是的根。 变式 答：是根，不是根。 解 代入，左边。 代入，左边。 方法：逐个代入原方程，比较两边。 注意：逐个检验， 不必求出所有根。 例题讲解 例2归纳：依据根的意义检验 方法1　每一处都正确代入 ① 负数代入先加括号。 ② 先算乘方再乘除。 ③ 最后计算加减。 方法2　比较两边再下结论 ① 分别求两边的值。 ② 相等才是方程的根。 ③ 检验不等于求全部根。 课堂练习 练习1　判断哪些是一元二次方程 （1） 是 整式方程，一元且二次。 （2） 是 允许常数项为0。 （3） 否 分母含未知数，不是整式方程。 （4） 是 系数允许是无理数。 （5） 是 化简为。 方法：先化简，再看方程的类型。 注意：分母含未知数时，原式不是整式方程。 课堂练习 练习2 将下列一元二次方程化成一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） （是已知数）。 解第（1）题 ；，，。 把移到左边，符号变为负。 按整理后的一般形式读出各系数。 方法：把移到左边后读系数。 注意：移项后一次项系数为。 课堂练习 练习2 将下列一元二次方程化成一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） （是已知数）。 解第（2）题 ；，，。 移项后按的次数降幂排列。 方程没有常数项，故。 方法：移项后按的次数降幂排列。 注意：没有常数项，故。 课堂练习 练习2 将下列一元二次方程化成一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） （是已知数）。 解第（3）题 ；，，。 展开得。 移项、合并，得到。 方法：两边先展开，再移项合并。 注意：右边合并为。 课堂练习 练习2 将下列一元二次方程化成一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） （是已知数）。 解第（4）题 已是一般形式；，，。 未知数是，表示已知数。 一次项是， 所以一次项系数是。 方法：认准未知数，再对应系数。 注意：一次项系数为，不是。 课堂练习 课堂练习3　参数的条件 当满足什么条件时，方程是关于的一元二次方程？ 答：。 解 整理得。 二次项系数须非零：，故。 方法：整理后令二次项系数非零。 注意：条件针对， 而非原来的。 课堂练习 课堂回看：参数与未知数 未知数是谁 “关于的方程”中，是未知数。 参数怎样看 作为已知数参与系数运算。 判定依据 先合并二次项，再要求二次项系数不为0。 边界检验 上题时，方程变为，已经不是二次方程。 课堂练习 课堂练习归纳 判定类别 整式、一个未知数、最高次数为，缺一不可。 辨认系数 一般形式中读系数，符号和缺项都要检查。 含参数时 整理后找二次项系数，并令它不为。 针对训练 训练1　概念判断：逐条说明依据 （1）是一元二次方程。 对 只含一个未知数，是整式方程且最高次数为2。 （2）是一元二次方程。 错 分母含未知数，不是整式方程。 （3）是一元二次方程。 错 化简为， 二次项已抵消。 （4）是的根。 对 代入得，两边相等。 方法：用概念三条件与根的意义判断。 注意：判定方程类型前必须先化简。 针对训练 训练2　针对训练1：选择正确类型 下列方程中，是一元二次方程的是（　）。 A. B. C. D. 答：B。 解 B只含，是整式方程，最高次数为2。 A化简为一次；C有两个未知数；D不是整式方程。 方法：对照整式、一元、二次筛选。 注意：A的二次项会相互抵消。 针对训练 训练3　选择题 下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　）。 A． B． C． D． 答：B 解 B只含，是整式方程，最高次数为。 A分母含；C有两个未知数；D化简后不是二次。 方法：先看分母与未知数个数，再化简。 注意：出现未必就是二次方程。 针对训练 训练4　针对训练2：系数填空 化为一般形式后，____，____，____。 答：。 解 移项得。 按二次项、一次项、常数项的顺序读数。 方法：先写成一般形式，再填系数。 注意：移项后 带负号。 针对训练 训练5　填空题 方程化为一般形式后， 二次项系数为____，一次项系数为____，常数项为____。 答：，，。 解 一般形式是。 移项要变号，系数按整理后的形式填写。 方法：移项得到右边为零的一般形式。 注意：移到左边成为。 针对训练 方法总结：概念与系数 方法1　判定先看三个条件 ① 必须是整式方程。 ② 只含一个未知数。 ③ 化简后最高次数为二。 方法2　系数从一般形式读取 ① 先去括号、移项。 ② 再合并同类项。 ③ 系数连同符号写出。 针对训练 训练6　由根求参数 已知是方程的根，求。 答：。 解 代入得。 解得；代回有。 方法：把已知根代入原式。 注意：由得。 针对训练 方法总结：化简与代入 方法1　最高次数看化简结果 ① 展开所有括号。 ② 合并同次数项。 ③ 检查二次项是否消失。 方法2　已知根就代入原方程 ① 负数代入加括号。 ② 列出参数的等式。 ③ 求得参数后再核对。 针对训练 训练7　针对训练3：分数系数的判定 是一元二次方程吗？若是，写出。 答：是；。 解 分母为常数2，原式仍是整式方程。 二次项系数为。 方法：区分分数系数与分母含未知数。 注意：缺常数项，应写。 针对训练 训练8　针对训练4：由根确定参数 已知是的根，求。 答：。 解 代入，得。 解得；检验。 方法：代入已知根， 列出关于的方程。 注意：求的是参数，不是未知数。 针对训练 训练9　针对训练5：整理后的参数条件 当满足什么条件时，是关于的一元二次方程？ 答：。 解 移项得。 要求，所以。 方法：合并二次项， 再令系数非零。 注意：不能直接只要求。 针对训练 训练10　针对训练6：同时满足两个条件 是一元二次方程且一次项系数为0，求。 答：。 解 一次项系数为0，故，得。 此时二次项系数，符合条件。 方法：先用一次项系数为零求参数，再检查次数。 注意：一次项为零不影响二次项非零。 针对训练 训练11　含参数的判定 当满足什么条件时， 是关于的一元二次方程？ 答：。 解 二次项系数为。 要求，所以。 方法：检查二次项系数。 注意：必须排除使二次项消失的参数值。 针对训练 训练12　整理并辨认系数 把化为一般形式， 并指出二次项系数、一次项系数和常数项。 答：；，，。 解 展开得。 移项得，再读系数。 方法：按乘法法则展开，再移项读系数。 注意：交叉项合并为。 针对训练 方法总结：参数与展开 方法1　参数条件看二次项 ① 明确所求未知数。 ② 合并二次项系数。 ③ 要求该系数非零。 方法2　乘积展开后再移项 ① 每一项都参与相乘。 ② 合并后将一边化零。 ③ 复核常数项的符号。 针对训练 训练13　应用题：长方形展板 长方形展板面积为平方分米，长比宽多分米。 设宽为分米，列出方程并化为一般形式， 检验宽为分米是否符合条件。 平方分米 答：；宽为分米符合条件。 解 长为，故。 代入，有，且长比宽多。 方法：由长乘宽等于面积列方程。 注意：检验时兼顾面积与长度差。 针对训练 训练14　应用题：连续整数 两个连续正整数的乘积为。 设较小的数为，列方程并化为一般形式， 判断是否符合较小数的条件。 答：；符合，另一个数为。 解 两个数分别为与，所以。 ，且二者是连续正整数。 方法：把两个连续数写成。 注意：还要满足连续正整数的条件。 针对训练 方法总结：由实际条件列方程 方法1　面积关系中找乘积 ① 先设一个边长。 ② 用同一未知数表示另一边。 ③ 按长乘宽等于面积列式。 方法2　连续整数相差一 ① 较小数设为。 ② 较大数表示为。 ③ 代入检查数量和实际条件。 课堂小结 一元二次方程 判定与辨认 整理 展开、移项、合并，写成。 判型 只含一个未知数，是整式方程，且。 读系数 按二次项、一次项、常数项读， 包含符号。 验根 把给定数代入原方程；左右两边相等才是根。 特别提醒：先化简再判定；缺项系数写0，二次项系数必须非零。 $