21.1 一元二次方程的概念（讲义，3知识2拓展5题型+分层课时巩固）数学新教材沪教版五四制八年级上册

本讲义聚焦一元二次方程的概念这一核心知识点，系统构建从定义判定到一般形式规范，再到根的应用及实际问题建模的学习支架。先明确一元二次方程需满足整式、一元、二次（化简后最高次2且二次项系数不为0）三大条件，通过反例辨析区分易混淆方程类型，进而掌握一般形式的各项及系数识别，理解根的含义并运用代入法求参数，最终从几何面积、增长率等场景抽象方程模型。 该资料以培养数学核心素养为设计亮点，通过反例辨析表（如分式方程、无理方程等错误类型对比）发展抽象能力，含参数方程判定（强调二次项系数不为0）培养推理意识，实际问题列方程（如矩形鸡舍面积、营业额增长率）强化模型意识。随学随练与分层练习（基础通关、素养提升、迁移创新）结合，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生巩固知识、查漏补缺，实现从概念理解到应用创新的能力进阶。

第21章 一元二次方程 21.1 一元二次方程的概念 课标要点 1.理解一元二次方程的定义，能精准辨别一元二次方程，区分整式方程、分式方程、无理方程、高次方程、二元方程。 2.掌握一元二次方程的一般形式 ，能将任意一元二次方程整理为标准形式，准确识别二次项、一次项、常数项及对应系数。 3.理解一元二次方程根（解）的含义，熟练运用根的代入法求解参数数值。 4.能从几何面积、增长率、生活场景中抽象一元二次方程模型，掌握方程建模基本方法。 学习重难点 重点 一元二次方程的三大判定条件，精准识别一元二次方程； 一元二次方程一般形式的规范书写，各项及系数的准确识别； 方程根的基本应用，利用根代入求值。 难点 方程需先化简整理，再判定次数与未知数个数，规避化简后二次项抵消的陷阱； 含参数一元二次方程的判定，牢记二次项系数不为0的核心条件； 区分分式方程、无理方程、高次方程等易混淆方程类型； 从实际情境中提炼等量关系，建立一元二次方程模型。 知识点 一元二次方程的定义 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 三大必备条件（缺一不可）： 1.整式方程：分母、根号内不含未知数； 2.一元：仅含一种未知数； 3.二次：化简合并后，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。 方程类型反例辨析 方程 是否为一元二次方程 错误原因 否 分母含未知数，属于分式方程 否 根号内含未知数，属于无理方程 否 含两个未知数，属于二元方程 否 最高次数为3，属于三次方程 否 化简后二次项抵消，为一元一次方程 随学随练 1．（24-25八年级上·上海静安·期末）下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（    ） A． B． C． D． 知识点 一元二次方程的一般形式 标准形式： 各项定义： ：二次项， 为二次项系数（ 核心条件）； ：一次项， 为一次项系数； ：常数项（不含未知数）。 特殊形式（均满足 ）： ：（缺一次项）； ：（缺常数项）； ：（最简一元二次方程）。 化为一般形式步骤：去括号 → 移项（所有项移至左边，右边归零）→ 合并同类项。 随学随练 2．（2025八年级上·上海·专题练习）写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项． 知识点一元二次方程的根 定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的根（解）。 核心性质：一元二次方程实数范围内最多2个实数根（两不等、两相等、无实根三种情况）。 核心用法：根代入法，将已知根替换未知数，可求解方程中的参数。 随学随练 3．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若是方程的一个根，则代数式的值为______． 拓展 特殊根速记规律 若方程 有一根为 ，则 ； 若方程有一根为 ，则 ； 若方程有一根为 ，则 。 活学活用 4．（25-26八年级上·上海虹口·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．2 C． D．0 拓展 含参数方程判定 若关于 的方程为一元二次方程，需同时满足： 示例：方程 是一元二次方程 列式：，解得 。 活学活用 5．（25-26八年级上·上海崇明·期末）若关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是__________． 题型 判断一元二次方程（选择必考） ▌例1 （24-25八年级上·上海·阶段检测）下列关于的方程，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1 （25-26八年级上·上海·期末）下列关于的方程是一元二次方程的是（   ）.解题贴士 1.判整式：无分母、根号含未知数的情况； 2.先化简：去括号、移项、合并同类项； 3.验条件：单未知数、最高次2次、二次项系数不为0。 A． B． C． D． ▌对点练1-2 （25-26八年级上·上海松江·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-3 （25-26八年级上·上海·期末）方程①；②；③；④（为实数）；⑤；⑥，其中是一元二次方程的有几个（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型 化为一般形式并求系数 ▌例2 （25-26八年级上·上海·阶段检测）将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和常数项分别是（   ） A．5， B．2， C．， D．6，2 解题贴士 去括号，移项归零，合并同类项，系数必带符号。 ▌对点练2-1 （25-26八年级上·上海奉贤·期中）一元二次方程的一次项系数_______． ▌对点练2-2 将一元二次方程  化为二次项系数为“1”的一般形式，其中二次项系数是___________，一次项系数是___________，常数项是___________． ▌对点练2-3 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 题型 根据定义求参数（填空/解答高频） ▌例3 当_______________时，关于的方程是一元二次方程． 解题贴士 紧扣“次数为2、二次项系数不为0”双条件列方程组求解。 ▌对点练3-1 （25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）关于的方程是一元二次方程．则需满足条件是______． ▌对点练3-2 （25-26八年级上·上海浦东新·期末）若关于的方程是一元二次方程，则___________． ▌对点练3-3 （2025八年级上·上海·专题练习）当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 题型 已知方程的根求参数 ▌例4 关于的一元二次方程有一个根为，则的值（   ） A． B．或 C． D．以上都不对 解题贴士 将根代入方程，得到含参数的等式，解方程求出参数值。 ▌对点练4-1 （25-26八年级上·上海·期末）已知关于的方程的一个根为2，则______． ▌对点练4-2 （25-26八年级上·上海·期中）如果m是方程的一个根，则________； ▌对点练4-3 已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值． 题型 实际问题列方程（应用题入门） ▌例5 （25-26八年级上·上海杨浦·期末）如图，某养鸡户用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙的矩形鸡舍，其面积为在鸡舍的边中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），设的长为米，则可列出方程（　　） A． B． C． D． 解题贴士 设未知数 → 找等量关系 → 列等式 → 整理为标准方程（无需求解）。 ▌对点练5-1 （25-26八年级上·上海·阶段检测）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，均为x，则由题意列方程应为（） A． B． C． D． ▌对点练5-2 （24-25八年级上·上海·期末）某种时装，平均每天销售20件，每件可盈利40元，若每件降价1元，则每天可以多售出5件，如果每天要盈利1600元，若设每件可降价x元，根据题意列出的方程是（   ） A． B． C． D． ▌对点练5-3 （24-25八年级上·上海徐汇·期中）假设每一个参加宴会的人跟其他参会的人都握一次手，在宴会结束时，所有的参会者总共握手28次，那么参会人士共有多少人？设参会人士共有x人，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 基础通关 1．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段检测）下列方程中，是一元二次方程的为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）已知是关于的一元二次方程，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 3.若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是______． 4．（25-26八年级上·上海松江·期末）写出满足条件的一元二次方程，使这个方程的二次项系数是1，常数项是6，其中一个根是，满足条件的方程是______． 5.若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为__________． 6．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如果关于的方程是一元二次方程，那么所满足的条件是_____． 7．（24-25八年级上·上海闵行·阶段检测）关于的一元二次方程有一个根为0，的值是__________． 8．（24-25八年级上·上海闵行·阶段检测）如果是一元二次方程的一个解，那么代数式的值为_____． 9．（25-26八年级上·上海金山·期中）关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是_____． 10．已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围． 11．已知关于的一元二次方程有一个根为0，求的值． 12.为何值时，关于的方程是一元二次方程． 13.已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 素养提升 1.若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值应为（） A． B． C．2 D．不能确定 3.若两个关于x的一元二次方程和有且只有一个相同的实数根，则m的值为______． 4．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为______． 5.“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”，已知关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，则c的值为_________． 6．（25-26八年级上·上海松江·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根、，且，那么称该方程的两个根的距离为1．如果关于的方程的两个根的距离为1，则代数式的值是_____． 迁移创新 1.阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程与有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①－②，得③ 显然，当时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根和7； 当时，由③得，代入②式，得，此时两个方程有一相同根． 当时，有一相同根；当时，有两个相同根是和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程与有相同的实根． 2.请阅读下列材料：已知一个关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，．故，． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． (2)已知，求代数式的值． 3.问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把代入已知方程， 得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为______． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程根小1，则所求方程为______． (3)已知关于x的一元二次方程（）有两个实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 一元二次方程 21.1 一元二次方程的概念 课标要点 1.理解一元二次方程的定义，能精准辨别一元二次方程，区分整式方程、分式方程、无理方程、高次方程、二元方程。 2.掌握一元二次方程的一般形式 ，能将任意一元二次方程整理为标准形式，准确识别二次项、一次项、常数项及对应系数。 3.理解一元二次方程根（解）的含义，熟练运用根的代入法求解参数数值。 4.能从几何面积、增长率、生活场景中抽象一元二次方程模型，掌握方程建模基本方法。 学习重难点 重点 一元二次方程的三大判定条件，精准识别一元二次方程； 一元二次方程一般形式的规范书写，各项及系数的准确识别； 方程根的基本应用，利用根代入求值。 难点 方程需先化简整理，再判定次数与未知数个数，规避化简后二次项抵消的陷阱； 含参数一元二次方程的判定，牢记二次项系数不为0的核心条件； 区分分式方程、无理方程、高次方程等易混淆方程类型； 从实际情境中提炼等量关系，建立一元二次方程模型。 知识点 一元二次方程的定义 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 三大必备条件（缺一不可）： 1.整式方程：分母、根号内不含未知数； 2.一元：仅含一种未知数； 3.二次：化简合并后，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。 方程类型反例辨析 方程 是否为一元二次方程 错误原因 否 分母含未知数，属于分式方程 否 根号内含未知数，属于无理方程 否 含两个未知数，属于二元方程 否 最高次数为3，属于三次方程 否 化简后二次项抵消，为一元一次方程 随学随练 1．（24-25八年级上·上海静安·期末）下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数最高次数为2， 选项A中，的未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项B中，原方程整理得，满足一元二次方程的全部条件，符合要求； 选项C中，展开整理原方程：左边展开得，右边为，移项合并得：，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项D中，未说明，当时，未知数最高次数不是2，不满足定义，不符合要求． 知识点 一元二次方程的一般形式 标准形式： 各项定义： ：二次项， 为二次项系数（ 核心条件）； ：一次项， 为一次项系数； ：常数项（不含未知数）。 特殊形式（均满足 ）： ：（缺一次项）； ：（缺常数项）； ：（最简一元二次方程）。 化为一般形式步骤：去括号 → 移项（所有项移至左边，右边归零）→ 合并同类项。 随学随练 2．（2025八年级上·上海·专题练习）写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项． 【详解】解：把方程化为一般形式为， 所以二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 知识点一元二次方程的根 定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的根（解）。 核心性质：一元二次方程实数范围内最多2个实数根（两不等、两相等、无实根三种情况）。 核心用法：根代入法，将已知根替换未知数，可求解方程中的参数。 随学随练 3．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【详解】解：是方程的一个根， ∴， ， ， 故答案为：． 拓展 特殊根速记规律 若方程 有一根为 ，则 ； 若方程有一根为 ，则 ； 若方程有一根为 ，则 。 活学活用 4．（25-26八年级上·上海虹口·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．2 C． D．0 【答案】A 【详解】解：把代入方程 得， 解得， 又因为，即， 所以， 故选：A． 拓展 含参数方程判定 若关于 的方程为一元二次方程，需同时满足： 示例：方程 是一元二次方程 列式：，解得 。 活学活用 5．（25-26八年级上·上海崇明·期末）若关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是__________． 【答案】 【详解】解：由方程 是一元二次方程， 得二次项系数 ， 解得 ． 故答案为 ． 题型 判断一元二次方程（选择必考） ▌例1 （24-25八年级上·上海·阶段检测）下列关于的方程，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、当时，方程为一元一次方程，无法保证一定是一元二次方程，因此A不符合题意； B、是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为，符合一元二次方程的定义，因此B符合题意； C、整理后为，未知数的最高次数为，是一元三次方程，因此C不符合题意； D、分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，因此D不符合题意． 故选：B． ▌对点练1-1 （25-26八年级上·上海·期末）下列关于的方程是一元二次方程的是（   ）.解题贴士 1.判整式：无分母、根号含未知数的情况； 2.先化简：去括号、移项、合并同类项； 3.验条件：单未知数、最高次2次、二次项系数不为0。 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 一元二次方程需满足：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数最高次数为， ∴选项：含分式和，不是整式方程， 选项：含未知数和，不是一元方程， 选项：，若则不是二次方程，因此不一定是一元二次方程， 选项：化简方程， 展开得， 移项得，是关于的一元二次方程． 故选：． ▌对点练1-2 （25-26八年级上·上海松江·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于A，当时，不是二次方程，所以选项A不符合题意； 对于B，因为方程只含一个未知数x，且最高次数为2，是整式方程，所以是一元二次方程，即选项B符合题意； 对于C，将方程化简后得，是一元一次方程，所以选项C不符合题意； 对于D，因为方程中含有两个未知数x和y，且不是整式方程，所以方程不是一元二次方程，所以选项D不符合题意． 故选：B． ▌对点练1-3 （25-26八年级上·上海·期末）方程①；②；③；④（为实数）；⑤；⑥，其中是一元二次方程的有几个（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①方程含两个未知数，不符合“只含一个未知数”，不是一元二次方程； ②方程展开为，满足一元二次方程的三个条件，是一元二次方程； ③方程含分式，不是整式方程，不符合定义，不是一元二次方程； ④方程中，当时，方程变为，不是一元二次方程，故该方程不一定是一元二次方程 ⑤方程满足一元二次方程的三个条件，是一元二次方程； ⑥方程，展开移项化简得，是一元一次方程，不是一元二次方程. 综上，是一元二次方程的有②⑤，共2个. 故选：B． 题型 化为一般形式并求系数 ▌例2 （25-26八年级上·上海·阶段检测）将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和常数项分别是（   ） A．5， B．2， C．， D．6，2 【答案】A 【详解】解：， ， ∴二次项系数为5，常数项为， 故选：A． 解题贴士 去括号，移项归零，合并同类项，系数必带符号。 ▌对点练2-1 （25-26八年级上·上海奉贤·期中）一元二次方程的一次项系数_______． 【答案】 【详解】解：， 展开得， 移项得，即， 所以一次项系数为； 故答案为：． ▌对点练2-2 将一元二次方程  化为二次项系数为“1”的一般形式，其中二次项系数是___________，一次项系数是___________，常数项是___________． 【答案】 1 【详解】解： ， 所以该方程的二次项系数是1，一次项系数是，常数项是． 故答案为：1；；． ▌对点练2-3 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 【详解】（1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 题型 根据定义求参数（填空/解答高频） ▌例3 当_______________时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 解题贴士 紧扣“次数为2、二次项系数不为0”双条件列方程组求解。 ▌对点练3-1 （25-26八年级上·上海黄浦·阶段检测）关于的方程是一元二次方程．则需满足条件是______． 【答案】 【详解】解：由于方程是关于的一元二次方程，因此未知数的最高指数必须等于，即， 解得，所以或． 同时，二次项系数， 即．因此． 故答案为：． ▌对点练3-2 （25-26八年级上·上海浦东新·期末）若关于的方程是一元二次方程，则___________． 【答案】或 【详解】解：由题意，方程为一元二次方程， 则满足， 解得， 即或． 当时，二次项系数；当时，二次项系数． 故均符合条件． 故答案为：或． ▌对点练3-3 （2025八年级上·上海·专题练习）当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 【答案】 【详解】解：根据题意，得且． 解，得， 解，得， 所以． 所以当时，原方程是关于的一元二次方程． 题型 已知方程的根求参数 ▌例4 关于的一元二次方程有一个根为，则的值（   ） A． B．或 C． D．以上都不对 【答案】C 【详解】解：关于的一元二次方程有一个根为， ，且， 解得：， 故选：C． 解题贴士 将根代入方程，得到含参数的等式，解方程求出参数值。 ▌对点练4-1 （25-26八年级上·上海·期末）已知关于的方程的一个根为2，则______． 【答案】1 【详解】解：∵关于的方程的一个根为2， ∴将代入方程，得， 解得； 故答案为：． ▌对点练4-2 （25-26八年级上·上海·期中）如果m是方程的一个根，则________； 【答案】 【详解】解：因为是方程的一个根， 所以， 即． 则． 故答案为：． ▌对点练4-3 已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值． 【详解】（1）解：方程为波浪方程，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴方程为波浪方程， （2）解：∵关于x的方程为波浪方程， ∴，且， ∴， ∵是关于x的方程的一个根， ∴， 联立①②解得； 题型 实际问题列方程（应用题入门） ▌例5 （25-26八年级上·上海杨浦·期末）如图，某养鸡户用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙的矩形鸡舍，其面积为在鸡舍的边中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），设的长为米，则可列出方程（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设的长为米，则的长为， 由题意得：， 故选：． 解题贴士 设未知数 → 找等量关系 → 列等式 → 整理为标准方程（无需求解）。 ▌对点练5-1 （25-26八年级上·上海·阶段检测）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，均为x，则由题意列方程应为（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：一月份营业额为万元，每月增长率为， 二月份营业额为万元， 三月份营业额为万元， 第一季度总营业额为， 方程为． 故选：D． ▌对点练5-2 （24-25八年级上·上海·期末）某种时装，平均每天销售20件，每件可盈利40元，若每件降价1元，则每天可以多售出5件，如果每天要盈利1600元，若设每件可降价x元，根据题意列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，， 故选：B． ▌对点练5-3 （24-25八年级上·上海徐汇·期中）假设每一个参加宴会的人跟其他参会的人都握一次手，在宴会结束时，所有的参会者总共握手28次，那么参会人士共有多少人？设参会人士共有x人，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设参会人士共有x人， 则根据分析可得：． 故选：C． 基础通关 1．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段检测）下列方程中，是一元二次方程的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、是分式方程，故此选项错误； B、当，且、、为常数时，是一元二次方程，故此选项错误； C、整理后为是一元一次方程，故此选项错误； D、是关于的一元二次方程，故此选项正确． 故选：D． 2．（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）已知是关于的一元二次方程，则满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， ∴， 则， 故选：B． 3.若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是______． 【答案】且 【详解】解：根据题意得，，且， ∴且， ∴且， 故答案为：且． 4．（25-26八年级上·上海松江·期末）写出满足条件的一元二次方程，使这个方程的二次项系数是1，常数项是6，其中一个根是，满足条件的方程是______． 【答案】 【详解】解：设一元二次方程为， 将根代入方程， 得，即， 整理得， 解得 ， 故方程为． 故答案为：． 5.若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为__________． 【答案】 【详解】解：把代入， 得， 则， 则， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）如果关于的方程是一元二次方程，那么所满足的条件是_____． 【答案】 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， 解得， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·上海闵行·阶段检测）关于的一元二次方程有一个根为0，的值是__________． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根为0， ∴把代入， 得， 解得， 故答案为： 8．（24-25八年级上·上海闵行·阶段检测）如果是一元二次方程的一个解，那么代数式的值为_____． 【答案】1 【详解】解：由题意得：，即， ∴； 故答案为1． 9．（25-26八年级上·上海金山·期中）关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是_____． 【答案】 【详解】解： ， ∵常数项为且常数项为0， ∴ ， 解得， 又∵方程为一元二次方程， ∴二次项系数， 即． ∴． 故答案为：． 10．已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围． 【答案】 【详解】解：对方程进行整理，即为：， ∵方程为一元二次方程， ∴，即， ∴的取值范围为． 11．已知关于的一元二次方程有一个根为0，求的值． 【答案】 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为0， ∴将代入原方程， ∴， 解得， ∵方程为一元二次方程， ∴，即， ∴． 12.为何值时，关于的方程是一元二次方程． 【详解】解：方程是一元二次方程， ， 由可得：， 由可得：， ． 13.已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 素养提升 1.若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 【答案】C 【详解】解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为， ∵方程是“贺岁”方程， ∴，即、， ∴ ． 故选C． 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知关于x的方程是一元二次方程，则的值应为（） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】B 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且， 由得或， 当时，，不符合条件， 当时，，符合条件， ． 故选：B． 3.若两个关于x的一元二次方程和有且只有一个相同的实数根，则m的值为______． 【答案】 【详解】解：两个关于x的一元二次方程和有且只有一个相同的实数根， 可设相同实数根为， 得到，① ，② 得：， 当时，解得此时两方程相同，有两个相同实数根，不合题意舍去， 当时，解得， 将代入①，得， 解得，即m的值为2， 故答案为：． 4．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为______． 【答案】 【详解】解：把代入，，得： ，，， 得：， ∴， ∵， ∴， 故答案是：． 5.“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”，已知关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，则c的值为_________． 【答案】3 【详解】解：解方程可得：， ∵关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”， ∴是一元二次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海松江·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根、，且，那么称该方程的两个根的距离为1．如果关于的方程的两个根的距离为1，则代数式的值是_____． 【答案】 【详解】解：∵方程为， ∴其两根为和， 由题意得，， 设，则 或， 解得或， 代数式 ， 当时，， 故； 当时，， 故． 综上，代数式的值为． 故答案为：． 迁移创新 1.阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程与有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①－②，得③ 显然，当时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根和7； 当时，由③得，代入②式，得，此时两个方程有一相同根． 当时，有一相同根；当时，有两个相同根是和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程与有相同的实根． 【答案】 【详解】解：设相同实根是a， 则，， 相减得， 若，则两个方程都是，有两个共同的根0和． 若，则，即相同实根是，代入方程，得，， ∵k为非负实数， ∴不符合k为非负实数的条件，舍去， 综上，时，关于x的方程与有相同的实根． 2.请阅读下列材料：已知一个关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，．故，． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． (2)已知，求代数式的值． 【详解】（1）解：， ， ， ，即 两边同时乘以得． ，； （2）解：， ， ， ， 即， ． 3.问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把代入已知方程， 得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为______． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程根小1，则所求方程为______． (3)已知关于x的一元二次方程（）有两个实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【详解】（1）设所求方程的根为y，则， 所以 把代入，得． 化简得； （2）设所求方程的根是y，则，所以， 把代入方程，得， 化简，得； （3）设所求方程的根为y，则， 所以 把代入，得． 化简得． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $