21.3 一元二次方程的判别式（第1课时）课件 2026--2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第21章 一元二次方程 21.3 一元二次方程的判别式 （第1课时）判别式与根的情况 年 级：八年级 学 科：数学（上教版） 复习引入 复习：根号内的数决定什么 分别计算下列方程的： ；； 。 答：依次为。 解 三式都满足，只有常数项不同。 它们分别对应两个不相等的实数根、重根、没有实数根。 复习引入 引入：不求根也能判断 从求根公式 观察 （）。 正与零 根号内为正，正负号给出不同的根；为零时两根相等。 负数的情形 根号内为负时，方程没有实数根。 本课任务 只判断实数根的情况，可以不求出每一个根。 新知讲授 判别式的名称与记号 判别式 我们把叫作该一元二次方程的判别式，通常用符号“Δ”（读作“/ˈdeltə/”）来表示，记作。 方程的前提 这里讨论，其中。 使用目的 利用判别式，可以不解方程就能判断一个一元二次方程是否有实数根，以及有实数根时两根是否相等。 新知讲授 由判别式判断根的情况 讨论对象 对一元二次方程（）： 正 当时，方程有两个不相等的实数根； 零 当时，方程有两个相等的实数根； 负 当时，方程没有实数根。 新知讲授 由根的情况判断判别式 反过来判断 上述判断反过来说也是正确的，即 两根不相等 当方程有两个不相等的实数根时，； 两根相等 当方程有两个相等的实数根时，； 没有实数根 当方程没有实数根时，。 新知讲授 “有实数根”包含两种情况 含义 一元二次方程有实数根指的是方程有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根。 对应条件 有实数根对应Δ≥0，其中包含。 易错提醒 “有两个实数根”不能直接改成“有两个不相等的实数根”。 例题讲解 例 1 不解方程，判断下列方程的实数根的情况： （1） 。 （2） 。 （3） 。 解第（1）题 有两个不相等的实数根。 。 。 解第（2）题 没有实数根。 。 。 第（1）题：用判别式判断，无需求根。 注意：本题，注意减去负数。 第（2）题：代入计算判别式。 注意：算得，应写没有实数根。 例题讲解 例 1 不解方程，判断下列方程的实数根的情况： （1） 。 （2） 。 （3） 。 解第（3）题 有两个相等的实数根。 整理为。 。 方法：先移项，再计算根式系数的平方。 注意：一次项系数是，须整体平方。 例题讲解 例题变式：减去负数 变式 不解方程，判断的实数根的情况。 答：有两个不相等的实数根。 解 ，，。 。 方法：先读带符号的系数，再算判别式。 注意：本题，是正数。 例题讲解 错解辨析：根式系数的平方 辨析 对，小明算得。指出错误并判断根的情况。 答：错误；，有两个相等的实数根。 解 ，应有。 ，两根相等。 方法：把根号外的系数也平方。 注意：不能只算而漏掉系数4。 例题讲解 例1归纳：完整的判断过程 方法1　先整理再识别 ① 方程右边先化为零。 ② 记录三个系数及符号。 ③ 根式系数平方要加括号。 方法2　先算数值再写结论 ① 写出判别式计算式。 ② 确定正、零、负。 ③ 用完整的根的情况作答。 新知讲授 判别式计算中的三处易错 负数的平方 ，与不同。 减去负数 当时，为正，不可漏掉负号。 根式系数 ，根号外的也要平方。 检查结论 算得负数后应写没有实数根，不是“有两个负根”。 例题讲解 例 2 关于的方程 （是实数）一定有实数根吗？为什么？ 答：一定有实数根。 解 。 因是实数，，故。 方法：把判别式配成证明非负。 注意：平方可能为零，应写有实数根。 例题讲解 例 2 关于的方程（是实数）一定有实数根吗？ 分别取与，判断实数根的情况。 答：时两根相等；时两根不相等。 解 时，。 时，；都属于“有实数根”。 方法：把两个值代入同一个判别式。 注意：比较与，区分相等与不等。 例题讲解 例题变式：完全平方判别式 变式 已知为实数，方程一定有实数根吗？ 答：一定有实数根。 解 。 ，故一定有实数根。 方法：把含参数的判别式化为完全平方。 注意：平方可为，不能断言根总不相等。 例题讲解 例2归纳：用结构判断非负 先展开再整理 。 识别完全平方 写成后， 可直接判断它非负。 注意边界 平方可以等于零， 不能把≥0写成>0。 说明一般性 用代数式证明适用于所有实数，代入几个数只能辅助检查。 课堂练习 练习1 不解方程，判断下列方程的实数根的情况： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 解第（1）题 有两个不相等的实数根。 。 。 方法：读出，代入判别式。 注意：计算时保留负号。 课堂练习 练习1 不解方程，判断下列方程的实数根的情况： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 解第（2）题 有两个相等的实数根。 。 。 方法：按分数系数计算。 注意：本题， 勿漏约分。 课堂练习 练习1 不解方程，判断下列方程的实数根的情况： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 解第（3）题 有两个不相等的实数根。 。 。 方法：直接代入小数系数计算判别式。 注意：若先化整数， 三项系数须同时改变。 课堂练习 练习1 不解方程，判断下列方程的实数根的情况： （1） 。 （2） 。 （3） 。 （4） 。 解第（4）题 没有实数根。 展开、移项，得。 。 方法：先展开并移项， 再判断根的情况。 注意：常数项移到左边后为正数。 课堂练习 练习1 不解方程，判断下列方程的实数根的情况： （5） 。 （6） 。 解第（5）题 有两个相等的实数根。 展开、移项，得。 。 方法：展开右边，化为一般形式。 注意：常数项是，不是负数。 课堂练习 练习1 不解方程，判断下列方程的实数根的情况： （5） 。 （6） 。 解第（6）题 没有实数根。 。 。 因，判别式为负。 方法：算出，再比较符号。 注意：利用即可，无须求近似值。 课堂练习 课堂练习1归纳：不同系数同样判断 方法1　分数与小数系数 ① 可直接准确计算。 ② 也可先去分母或小数。 ③ 使用同一方程的三个系数。 方法2　根式系数与括号 ① 先展开原方程。 ② 根式系数整体平方。 ③ 算出符号即可判断。 课堂练习 课堂练习2：含参数的判别式 关于的方程 （）一定有实数根吗？为什么？ 答：一定有实数根。 解 因，原方程确为一元二次方程。 ，故有实数根。 方法：保留， 把判别式化为完全平方。 注意：判别式非负前， 先确认二次项非零。 课堂练习 课堂练习2回看：代入已知数核验 对（）， 检验是否总是一个根。 答：对所有允许的，都是一个根。 解 代入左边得。 结合，原式为二次方程；它至少有根。 方法：把代入原方程左边。 注意：恒等于才说明它 对所有允许的成立。 课堂练习 方程同乘非零数后的判断 比较同一个 方程 两边乘，得。 两次计算 原方程；新方程。 数值与符号 数值不同，但两者都为正，实数根的情况相同。 易错提醒 不能混用变形前后的系数计算同一个判别式。 课堂练习 判别式能判断什么 能够判断 方程有没有实数根；有实数根时，两根是否相等。 不能直接判断 不表示两根都为正；不表示两根都为负。 反例核验 有，但根为。 表达规范 使用两个不相等／两个相等／没有实数根三类表述。 课堂练习 阶段归纳：判断题的完整证据 前提 确为一元二次方程， 二次项系数非零。 计算 化一般形式后，写出。 推理 把的符号与实数根的情况对应。 易错提醒 “一定有根”需要说明对所有允许参数都有Δ≥0。 针对训练 训练1　判断题组：判别式说明什么 （1）一元二次方程有实数根，就有。 错 有实数根，但。 （2）一元二次方程的时，两根相等。 对 求根公式中的均为。 （3）一元二次方程的时，两根都为负。 错 表示没有实数根。 （4）二次方程两边乘，判别式也乘。 错 新判别式为。 方法：把陈述转为判别式的符号或变化。 注意：判别式不能直接判断根的正负。 针对训练 训练2　选择判别式 方程的判别式为（　　）。 A． B． C． D． 答：C 解 ，，。 。 方法：用带符号的系数代入公式。 注意：平方项为正数。 针对训练 训练3　选择题 方程的判别式为（　　）。 A． B． C． D． 答：C 解 。 。 方法：带上系数的符号计算判别式。 注意：常数项， 应得到正数。 针对训练 训练4　填空并判断 方程的判别式是________，它有________的实数根。 答：；两个相等。 解 。 判别式为零，故有两个相等的实数根。 方法：先算数值，再填根的情况。 注意：“两个相等”仍属于有实数根。 针对训练 训练5　填空题 方程的判别式为________， 它有________的实数根。 答：；两个相等。 解 。 判别式为零，方程有两个相等的实数根。 方法：先算，再填写根的情况。 注意：表示两个相等的实数根。 针对训练 方法总结：从计算到结论 方法1　符号代入准确 ① 负系数代入加括号。 ② 先平方再算乘积。 ③ 最后完成减法。 方法2　三类结论一一对应 ① 正数对应两根不相等。 ② 零对应两根相等。 ③ 负数对应没有实数根。 针对训练 训练6　不解方程作判断 不解方程，判断 的实数根的情况。 答：没有实数根。 解 整理为。 ，故没有实数根。 方法：先化为，再算判别式。 注意：结果，不要说成两个负根。 针对训练 方法总结：先看条件与形式 方法1　理解有实数根 ① 包含不相等的两根。 ② 也包含相等的两根。 ③ 不能漏掉判别式为零。 方法2　原式先整理 ① 先展开再移项。 ② 将右边化为零。 ③ 从新形式读取系数。 针对训练 训练7　分数系数 不解方程，判断的实数根的情况。 答：没有实数根。 解 ，，。 。 方法：保留分数系数计算判别式。 注意：隐含的一次项系数是1。 针对训练 训练8　先整理再判断 不解方程，判断的实数根的情况。 答：有两个不相等的实数根。 解 展开并移项，得。 。 方法：先展开、移项，再读取系数。 注意：右边的移到左边后为。 针对训练 训练9　同乘非零数 把两边乘，得到。比较两方程的判别式及根的情况。 答：判别式分别为、；均有两个不相等的实数根。 解 原方程。 新方程。 判别式变为原来的倍，符号不变。 方法：对两组系数分别计算判别式。 注意：不能混用变形前后的系数。 针对训练 训练10　含参数的恒负判别式 已知为实数，判断的实数根的情况，并说明理由。 答：对任意实数，均没有实数根。 解 。 ，结论与的取值无关。 方法：展开后消去参数项， 判断恒定符号。 注意：不能用几个值代替一般证明。 针对训练 训练11　证明一定有根 已知为实数，不解方程，判断 的实数根的情况。 答：总有两个不相等的实数根。 解 。 对每个实数，都有，所以两根不相等。 方法：展开判别式， 消去含项后判断符号。 注意：本题， 对所有实数均大于零。 针对训练 训练12　由系数符号判断 已知为实数，且。 判断的实数根的情况。 答：有两个不相等的实数根。 解 ，其中、。 因此，这个结论适用于所有满足条件的。 方法：分别判断与，说明和为正。 注意：保证，不能漏掉严格不等号。 针对训练 方法总结：用式子结构判断符号 方法1　证明总为非负 ① 整理成完全平方。 ② 检查能否等于零。 ③ 不能用个别取值代替证明。 方法2　证明严格为正 ① 找出非负部分。 ② 找出严格为正的部分。 ③ 两部分之和严格为正。 针对训练 训练13　能否制作长方形 准备制作周长为厘米、面积为平方厘米 的长方形卡片。这样的卡片存在吗？ 答：不存在。 解 设一边长为，另一边为，得。 即；， 无实数解。 方法：用周长与面积列方程，再判定能否有根。 注意：周长对应邻边和， 不是边长和12。 针对训练 训练14　长方形是否唯一 长方形的周长为米，面积为平方米。 判断它是否存在；若存在，求两条邻边长。 答：存在，两条邻边均为米。 解 设一边为，则，即。 ，两根均为；边长为正，且面积与周长都符合。 方法：先判断重根，再检验边长。 注意：存在性还需检查正边长及周长、面积。 针对训练 方法总结：判别式用于方案判断 方法1　先把条件写成方程 ① 用周长表示另一边。 ② 用面积建立方程。 ③ 整理后计算判别式。 方法2　再检查实际可行性 ① 负判别式说明方案不可行。 ② 有实数根还要检查正值。 ③ 把边长代回原条件验证。 课堂小结 判别式与 实数根的情况 化一般式 整理为，确认二次项。 读准系数 记录带符号的；缺项系数写0。 计算判别式 计算； 负数、根式系数须整体平方。 对应结论 两根不等；两根相等； 无实根。 特别提醒：“有实数根”对应；判别式的正负不等于根的正负。 $