21.4(1) 一元二次方程的根与系数的关系-课件 2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），课堂导入通过复习方程一般形式、判别式及求根公式，以问题链引导从方程解法自然过渡到根与系数关系，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于探究过程从二次项系数为1的特殊方程到一般形式，用因式分解和求根公式推导，体现推理意识。例题练习涵盖求根和积、已知一根求参数等，培养应用意识。融入韦达生平激发兴趣，帮助学生理解知识本质，教师教学流程清晰高效。

第21章 一元二次方程 21.4 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系（1） 年 级：八 年级 学 科：数学（沪教版） 1 因式分解法 配方法 公式法 课堂引入 实际问题 一元二次方程 一元二次方程的解法 一元二次方程的根 分析数量关系 抽象 转化 一元一次方程 求根公式 根与系数的关系 降次 2 课堂引入 一元二次方程的一般形式是什么？ （ ） 一元二次方程有实数根的条件是什么？ 一元二次方程的求根公式是什么？ 实数根可以写成 的形式． 一元二次方程的根与方程中的系数之间有怎样的关系？ 一元二次方程的根由它的系数确定，求根公式就是根与系数关系的一种形式． 除此之外，一元二次方程的根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？ ≥0 3 如果一元二次方程 的两个实数根分别是 ，那么 ， ． 新知探究 从因式分解法可知，方程 的两根为 ，将此方程化为 的形式，你能发现 与p、q之间的关系吗？ 把方程的左边展开，可得 思考 整理,化为一般式，可得 这个方程的二次项系数为1， 分析 一次项系数 ， 常数项 ． 两根之和 两根之积 4 新知探究 一元二次方程 中，它的两个根 的和、积与系数又有怎样的关系呢？ （ ） 思路1 ， ． 思考 方程两边同除以a， 把二次项系数化为1，可得 （ ） 二次项系数a未必是1 5 新知探究 由此可得， ， ． 思路2 当 时，根据求根公式，可得 ， ． ≥0 一元二次方程 中，它的两个根 的和、积与系数又有怎样的关系呢？ （ ） 思考 6 新知探究 转化方法 代数推理 如果一元二次方程 （ ）的两个实数根分别是 ，那么 ， ． 韦达定理 两根之和 两根之积 一元二次方程 中，它的两个根 的和、积与系数又有怎样的关系呢？ （ ） 思考 一元二次方程的根与系数关系的定理 7 新知探究 弗朗索瓦·韦达，于 1540 年出生在法国，是极具影响力的数学家．他年轻时研习法律，做过律师，还投身政治，担任过议员．在对西班牙战争期间，他凭借卓越的才能为政府成功破译敌军密码． 韦达对数学满怀热忱，其成就意义非凡．他首创用元音字母表示未知量，辅音字母表示已知量，在《分析方法入门》一书中建立系统代数符号体系．完善了三次、四次方程的解法，首次明确揭示一元二次方程根与系数的关系(后称为“韦达定理”)． 由于韦达在数学上做出了许多重要贡献，尤其是为代数发展奠定了坚实基础 ，后成为十六世纪法国最杰出的数学家之一． 8 如果一元二次方程 （ ）的两个实数根分别是 ，那么 ， ． 韦达定理 新知探究 两根之和 两根之积 ≥0 9 例题讲解 已知下列方程均有两个实数根，求两根的和与积： （1） ； （2） ； 例 1 （3） ； （4） ． 思考 如果题目没有告知方程有两个实数根，能否用韦达定理求两根的和与积？ ≥0 先判断 10 例题讲解 已知下列方程均有两个实数根，求两根的和与积： （1） ； a＝1，b＝－4，c＝ （2） ； a＝2，b＝ ，c＝－3 例 1 解 设一元二次方程的两个实数根分别是x1、x2 ． （1）由韦达定理，得 ， ． （2）由韦达定理，得 ， ． ． ． 确定a、b、c的值． 利用韦达定理进行计算． 11 例题讲解 已知下列方程均有两个实数根，求两根的和与积： （3） ； a＝ ，b＝2，c＝0 例 1 解 设一元二次方程的两个实数根分别是x1、x2 ． （3）由韦达定理，得 ， ． ． 确定a、b、c的值． 利用韦达定理进行计算． 12 例题讲解 已知下列方程均有两个实数根，求两根的和与积： （3） ； （4） ． a＝ ，b＝1 ，c＝－4 a＝ ，b＝2，c＝0 例 1 解 设一元二次方程的两个实数根分别是x1、x2 ． （4）将原方程变形为 ，由韦达定理，得 ， ． 将一元二次方程化为一般式 确定a、b、c的值． 利用韦达定理进行计算． ． ． ． 13 例题讲解 已知关于x的方程 的一个根为 ，求此方程的另一个根及p的值． 例 2 v ． 解得p ＝2． 把p ＝2代入原方程，得 所以，此方程的另一个根是x1＝2，p的值是2 ． 解 把 代入原方程，得 ． 解得x1＝ 2，x2＝ ． 已知一元二次方程的一个根，求另一个根及方程中的一个待定系数． 利用方程根的定义，把一个根代入原方程，求出方程中待定系数的值． 求出方程的另一个根． ． 解法一 14 例题讲解 已知关于x的方程 的一个根为 ，求此方程的另一个根及p的值． 例 2 v 解法二 设此方程的另一个根是x1，由韦达定理，得 , ． ① ② 由①，得x1 ＝2． 把x1 ＝2代入②，得 ． 解得p ＝2． 所以，此方程的另一个根是x1＝2，p的值是2 ． 已知一元二次方程的一个根，求另一个根及方程中的一个待定系数． 韦达定理 列出方程，分别解得另一个根及方程中待定系数的值． 15 课堂练习 练习1 解 设此方程的另一个根是x1，由韦达定理，得 解得 ． 两根之和 所以，此方程的另一个根是 ． 方法一 方法二 两根之积 解得 ． 已知方程 的一个根是 ，不解方程，求此方程的另一个根． 已知一元二次方程系数和其中一个根，不解方程，求另一个根． 韦达定理 列方程，求出另一个根． 16 课堂练习 练习2 小海和小华分别求出了方程 的根． 小海解得 ； 小华解得 , ． 他们的答案正确吗？请说说你的判断方法． 解法一 解法二 17 课堂练习 练习2 小海和小华分别求出了方程 的根． 小海解得 ； 小华解得 , ． 他们的答案正确吗？请说说你的判断方法． 解法一 解法二 由韦达定理，得 ， ． 设方程的两个实数根分别是x1、x2 ． 而小海解得的两根的积是 ， 小华解得的两根的和是－6． 因此，他们的答案都不正确． 解法三 代入原方程检验 解方程 韦达定理 18 课堂练习 练习3 解 由韦达定理，得 ， ． 设原来的一元二次方程为 ． 则原来的一元二次方程是 ． 解得 p＝－10，q＝9 ． 一次项系数正确，得 8＋2＝－p． 常数项正确，得 (－9)×(－1)＝q． 在解一道二次项系数为1的一元二次方程时，小海在化简过程中看错了常数项，因而得到方程的两根是8和2；小华在化简过程中看错了一次项系数，因而得到方程的两根是－9和－1，你知道原来的方程是什么吗? 19 课堂小结 一元二次方程的根与系数的关系 韦达定理 求根公式 特殊 一般 a＝1 应用 不解方程，求两根的和、积. 化为一般式 ≥0 先判断 知识内容 探究过程 20 数学的本质在于用最不显而易见的方法证明最显而易见的事物． ——乔治·波利亚 结束语 韦达定理是揭示一元二次方程根与系数关系的重要定理，为解决方程相关问题提供了简洁工具．无需解方程，通过方程的系数可直接得到两根之和与积，这体现了代数用逻辑串联数量关系的特点，展现了数学规律化繁为简的魅力． 21 null 50064.0 $