21.3 一元二次方程的判别式（第2课时）2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第21章 一元二次方程 21.3 一元二次方程的判别式 （第2课时）判别式的应用 年 级：八年级 学 科：数学（上教版） 复习引入 复习：把根的情况写成条件 一元二次方程有两个相等的实数根时，满足什么条件？ 若只知道“有实数根”，条件又是什么？ 答：分别为与。 解 相等的两个根对应判别式为零。 有实数根包含两根相等和不相等，不能漏掉等号。 新知讲授 反向应用判别式的依据 使用前提 方程为，且。 两根不相等 当方程有两个不相等的实数根时，； 两根相等 当方程有两个相等的实数根时，； 没有实数根 当方程没有实数根时，。 新知讲授 含参数问题的处理顺序 识别系数 先化一般形式；把参数看作系数的一部分。 整理判别式 展开、合并，得到含参数的。 翻译题意 把根的情况转成或。 易错提醒 若二次项系数含参数，还要保留二次项系数非零。 例题讲解 例3：同一个方程的三种情况 题目 当分别满足什么条件时， 关于的方程的根的情况如下： （1） 方程有两个不相等的实数根？ （2） 方程有两个相等的实数根？ （3） 方程没有实数根？ 例题讲解 例 3 当分别满足什么条件时， 关于的方程的根的情况如下： （1） 有两个不相等的实数根？ （2） 有两个相等的实数根？ （3） 没有实数根？ 解第（1）题 。 。 。 由，得。 方法：由 解参数不等式。 注意：除以时，不等号反向。 例题讲解 例 3 当分别满足什么条件时， 关于的方程的根的情况如下： （1） 有两个不相等的实数根？ （2） 有两个相等的实数根？ （3） 没有实数根？ 解第（2）题 。 。 令，得。 方法：令本题的等于零。 注意：这里求的是参数， 不是方程的根。 例题讲解 例 3 当分别满足什么条件时， 关于的方程的根的情况如下： （1） 有两个不相等的实数根？ （2） 有两个相等的实数根？ （3） 没有实数根？ 解第（3）题 。 没有实数根要求。 除以时不等号反向，得。 方法：由 求无实根条件。 注意：严格小于零，答案不含边界2。 例题讲解 例题变式：有实根的边界 变式 关于的方程有实数根，求的范围。 答：。 解 。 ，解得。 方法：先计算本题的判别式， 再解不等式。 注意：“有实根”包含重根边界。 例题讲解 例3归纳：同一判别式分别讨论 方法1　计算只做一次 ① 先把判别式整理清楚。 ② 三问使用同一个表达式。 ③ 分别代入三种符号条件。 方法2　不等式保留正确方向 ① 移项后再求参数范围。 ② 除以负数时改变方向。 ③ 相等情况单独检查。 例题讲解 例 4 已知关于的方程有实数根， 求所满足的条件及方程的根（用含的代数式表示）。 答：；，。 解 。 由得。 。 方法：先列，再用求根公式。 注意：“有实数根”包括重根， 等号不能漏。 例题讲解 例题变式：范围与根同时求 变式 方程有实数根，求的范围及方程的根。 答：；。 解 。 由，得。 代入求根公式，得。 方法：先定根式有意义的范围，再求根。 注意：求根公式的分母作用于整个分子。 例题讲解 例4回看：边界值与根式条件 边界值 时，，两根均为。 大于边界 时，，两个根不相等。 前后一致 根式有意义，恰好要求。 易错提醒 题目说“有实数根”，答案中的等号不能漏。 例题讲解 例 5 已知关于的方程 有两个相等的实数根，求的值及方程的根。 答：时，； 时，。 解 整理得。 。 令，得；根分别代回求得。 方法：化一般式后令，求出两个参数分支。 注意：常数项是， 并须分别求根。 例题讲解 例 5 分别代入参数值，求方程的根。 （1） 例5中取，求方程 的根。 （2） 例5中取，求方程 的根。 解第（1）题 。 代入得到。 左边为，故。 解第（2）题 。 代入得到。 左边为，故。 第（1）题：代入，把左边写成完全平方。 注意：给出重根。 第（2）题：代入，再解平方等于零。 注意：根是，别把参数10当根。 例题讲解 例题变式：重根的两个参数值 变式 方程有两个相等的实数根，求及方程的根。 答：时重根为；时重根为。 解 。 令，得或。 重根，对应为或。 方法：解判别式为零所得的参数方程。 注意：两个参数值均须分别对应重根。 例题讲解 例5归纳：参数值与原方程根对应 方法1　先解参数方程 ① 两根相等转成判别式为零。 ② 参数方程也可能是二次方程。 ③ 求出所有允许的参数值。 方法2　再分别求原方程的根 ① 每个参数值都要代回。 ② 可用配方或重根公式。 ③ 逐组写清参数与根的对应。 新知讲授 “有根”和“根相等”不可混同 有实数根 列，求得的通常是一个范围。 两个相等的实数根 列，解出可能的参数值。 根本身的 表达式 范围确定后， 再按求根公式写出的值。 注意未知量 解参数方程求的是参数，不是原方程中的未知数。 课堂练习 课堂练习1：相等的实数根 当取何值时，关于的方程 有两个相等的实数根？ 答：。 解 整理得。 ；令得。 方法：展开后把判别式化为，令其为零。 注意：一次项系数为，须整体平方。 课堂练习 课堂练习2：四种条件 题目 当分别满足什么条件时，关于的方程的根的情况如下： （1） 方程有两个不相等的实数根？ （2） 方程有两个相等的实数根？ （3）、（4） （3）方程没有实数根？ （4）方程有一个根为？ 课堂练习 练习2 当分别满足什么条件时，关于的方程的根的情况如下： （1） 有两个不相等的实数根？ （2） 有两个相等的实数根？ （3） 没有实数根？ （4） 有一个根为？ 解第（1）题 。 。 。 由，得。 方法：用本题的求范围。 注意：别混用例3的判别式。 课堂练习 练习2 当分别满足什么条件时，关于的方程的根的情况如下： （1） 有两个不相等的实数根？ （2） 有两个相等的实数根？ （3） 没有实数根？ （4） 有一个根为？ 解第（2）题 。 。 令，得。 方法：令本题的 等于零。 注意：重根条件是，不是根为0。 课堂练习 练习2 当分别满足什么条件时，关于的方程的根的情况如下： （1） 有两个不相等的实数根？ （2） 有两个相等的实数根？ （3） 没有实数根？ （4） 有一个根为？ 解第（3）题 。 没有实数根要求。 解得，不含边界值。 方法：解， 得无实根范围。 注意：边界使两根相等，应排除。 课堂练习 练习2 当分别满足什么条件时，关于的方程的根的情况如下： （1） 有两个不相等的实数根？ （2） 有两个相等的实数根？ （3） 没有实数根？ （4） 有一个根为？ 解第（4）题 。 代入，得。 解得。 此时方程为，确有根。 方法：把已知根直接代入原方程。 注意：有一个零根不表示判别式为零。 课堂练习 课堂练习归纳：先读清根的条件 方法1　根的情况用判别式 ① 两根不等列大于零。 ② 两根相等列等于零。 ③ 没有实数根列小于零。 方法2　已知某个根用代入 ① 把给定的根代入原式。 ② 求出参数后再代回核对。 ③ 根为零不等于判别式为零。 课堂练习 课堂练习2回看：零根不是重根 在课堂练习2中取。 方程有根，它的判别式是否也等于？ 答：不等于；，两根为和。 解 时方程为，即。 所以两根不相等，与一致。 方法：代入，因式分解求两根。 注意：根为，所以而非0。 新知讲授 二次项系数含参数时的前提 先确认次数 若系数含参数， 先写出的条件。 条件需要同时满足 由判别式得到的范围，还要与二次项系数非零的范围合并。 次数改变的 情形 当二次项系数为零时，原式可能变为一元一次方程。 易错提醒 不能对一元一次方程套用二次方程判别式。 课堂练习 参数不等式的检查 根相等的边界 先核对时的参数值，检查是否可取。 方向检查 不等式两边同除以负数时，不等号方向改变。 代值辅助核验 从范围内外各取一个数，核验判别式的正负。 证明与核验 代值只能帮助发现错误，结论仍由完整的代数推理得到。 课堂练习 阶段归纳：题意、条件、结论 从题意到条件 用判别式描述根的情况，用代入处理指定的根。 从条件到参数 解参数的方程或不等式，保留所有允许情况。 从参数回到根 题目要求求根时， 分别代回原方程。 最后检查 二次项系数非零、根式有意义、参数与根对应完整。 针对训练 训练1　判断题组：参数条件不能漏 （1）时，都有两个实数根。 错 时降为一次方程，还须。 （2）有实根时，。 对 ，所以。 （3）一元二次方程有一个根为，则。 错 有零根，但。 （4）等价于。 错 除以负数要反向，应为。 方法：把根的条件与方程次数同时检查。 注意：参数方程的解仍需满足原前提。 针对训练 训练2　选择参数范围 若有实数根，则满足（　　）。 A． B． C． D． 答：A 解 。 有实数根要求，故。 方法：把题意译为。 注意：边界对应重根，等号可取。 针对训练 训练3　选择参数范围 方程有实数根， 则的取值范围为（　　）。 A． B． C． D． 答：B 解 ，有实数根要求。 解得，等号对应重根。 方法：把“有实数根”译为。 注意：边界可取，不能遗漏等号。 针对训练 训练4　填参数与重根 若有两个相等的实数根，则________，重根为________。 答：；。 解 由，得。 原方程为，重根为。 方法：令判别式为零，再代回求根。 注意：因式为，根应为。 针对训练 训练5　填空题 若有两个相等的实数根， 则________，________。 答：；。 解 ，解得。 代入得到，所以重根为。 方法：令， 再代回求重根。 注意：两空分别填参数与根，勿混淆。 针对训练 方法总结：根的文字条件转成符号 方法1　有实数根包括等号 ① 两根可以相等。 ② 列判别式大于或等于零。 ③ 核对范围端点。 方法2　两根相等先求参数 ① 列判别式等于零。 ② 求完参数再求重根。 ③ 代回原方程检查。 针对训练 训练6　参数范围及根 已知有实数根， 求的范围及方程的根。 答：； ，。 解 ，故。 代入求根公式，得。 方法：先求的范围，再把根式化简。 注意：根式的条件须与范围一致。 针对训练 方法总结：条件要同时成立 方法1　先确认二次方程 ① 查看二次项系数。 ② 排除使它为零的值。 ③ 再使用判别式条件。 方法2　范围与根式互相检查 ① 有根要求判别式非负。 ② 再代入求根公式。 ③ 根号内也必须非负。 针对训练 训练7　没有实根 当取何值时，没有实数根？ 答：。 解 。 由得，解得。 方法：用严格小于零表示没有实根。 注意：除以时，不等号反向。 针对训练 训练8　补全错误范围 小明认为在时都有两个实数根。请补全条件。 答：且。 解 要为一元二次方程，须。 ，得。 合并可得且。 方法：把次数条件与判别式条件取交集。 注意：时是一次方程，须排除。 针对训练 训练9　零根与重根 已知有一个根为， 求和另一个根，并判断是否重根。 答：；另一根为，不是重根。 解 代入，得，故。 原方程变为。 两根为，它们不相等。 方法：先代入零根，再解代入后的方程。 注意：零根与两个根相等是不同条件。 针对训练 训练10　首项含参数并求根 关于的一元二次方程有实数根。 求的范围及两根。 答：；两根为与。 解 二次项非零，要求。 。 ，即与。 方法：先确认二次项非零， 再套求根公式。 注意：分母不可为0。 针对训练 训练11　能否出现重根 是否存在实数，使方程 有两个相等的实数根？ 答：不存在这样的实数。 解 。 对任何实数，，不可能满足重根条件。 方法：把判别式写成平方加， 判断能否为零。 注意：恒正说明不存在重根参数。 针对训练 训练12　两个参数分支 已知有两个相等的实数根。 求的值及方程的根。 答：，对应重根 （同号对应）。 解 。 令，得。 重根为；分别代入两个值。 方法：先求两个值， 再分别代入重根公式。 注意：参数与根的必须同号对应。 针对训练 方法总结：存在性与所有分支 方法1　判断条件能否成立 ① 整理判别式结构。 ② 完全平方再加正数恒为正。 ③ 不满足零条件就没有重根。 方法2　保留参数方程全部解 ① 参数方程也可能有两根。 ② 分别代回求原方程的根。 ③ 用两组对应关系作答。 针对训练 训练13　两邻边不等的长方形 长方形周长为米，面积为平方米（）。 若两条邻边不相等，应满足什么条件？ 答：。 解 设一边为，得，即。 邻边不等要求，因此。 又因，，两根均为正。 方法：由面积列方程，用表示邻边不等。 注意：还要同时保留面积正值。 针对训练 训练14　直角三角形的面积范围 直角三角形两条直角边的和为厘米， 面积为平方厘米（）。求的范围， 并求最大面积时两条直角边的长。 答：；最大面积时两条直角边均为厘米。 解 设一条直角边为，得。 即，，得。 当时两根均为正；时重根为。 方法：把面积条件化为，寻找最大值边界。 注意：最大面积时两边相等， 且须为正长度。 针对训练 方法总结：由边长条件判断方案 方法1　数量关系建立方程 ① 先表示两条相关边长。 ② 用面积关系列出方程。 ③ 明确是否要求两边不等。 方法2　判别式与实际条件结合 ① 不同边长对应不等根。 ② 相等边长对应重根。 ③ 实数根还必须是正长度。 课堂小结 实数根的情况 与参数范围 确认次数 化一般式，若含参数，先写出。 算判别式 由本题系数求， 勿套用别题结果。 翻译条件 不等根；重根；无实根；有实根。 合并回验 合并次数与判别式条件； 需根时逐个参数值代回。 特别提醒：有根不等于根不相等；有零根不等于重根。除以负数时不等号反向。 $