21.3一元二次方程的判别式 暑假预习讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

沪教版（五四制）八年级数学上册暑期预习课程讲义 （课题：21.3一元二次方程的判别式） 知识点一：一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时元二次方程没有实数根. 备注：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 注意： （1）一元二次方程根的判别式可以逆用逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 例1： 一元二次方程的根的判别式的值是 ． 课堂反馈：关于的一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为 ． 例2：关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（   ） A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1 课堂反馈：若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 课堂反馈：已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 例3：若关于x的一元二次方程2kx2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞﹣9 B．k＞﹣9且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0 例4：已知关于x的一元二次方程2x2+2mx+m﹣1＝0，求证：不论m为什么实数，这个方程总有两个不相等实数根． 课堂反馈：已知一元二次方程x2+px+q+1＝0的一个根为2． （1）求q关于p的关系式； （2）求证：方程x2+px+q＝0有两个不等的实数根． 例5 已知关于的一元二次方程根的判别式的值为4，求的值． 课堂反馈：当取何值时，关于的方程， （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？ 例6 当为何值时，关于的方程有实数根？并求出这时方程的根（用含的代数式表示）． 课堂反馈： 1.已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值及这时方程的根． 2.已知关于的方程． （1）有两个不相等的实根，求的取值范围； （2）有两个相等的实根，求的值，并求出此时方程的根； （3）有实根，求的最大整数值 沪教版（五四制）八年级数学上册暑期预习课程讲义 （课题：21.3一元二次方程的判别式） 知识点一：一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时元二次方程没有实数根. 备注：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 注意： （1）一元二次方程根的判别式可以逆用逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 例1： 一元二次方程的根的判别式的值是 ． 分析：本题考查了根的判别式，牢记根的判别式并根据其符号确定一元二次方程的根的情况是解题的关键． 解：∵， ∴． 故答案为：． 课堂反馈：关于的一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为 ． 分析：本题考查了一元二次方程的根的判别式，利用根的判别式，建立关于m的方程求得m的值是解题的关键． 解：， 解得：， 故答案为：． 例2：关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（   ） A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1 分析：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．利用判别式的意义得到Δ=（-2）2-4m＜0，然后解不等式即可． 解：根据题意得Δ=（-2）2-4m＜0， 解得m＞1． 故选D． 课堂反馈：若关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 分析：根据一元二次方程的定义和根的判别式列出不等式求解即可． 解：由题意得： 解得：且 故选：B． 课堂反馈：已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 分析：根据一元二次方程有实数根的条件：二次项系数不为0，根的判别式大于等于0；即可进行解答． 解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：且． 故选：D． 例3：若关于x的一元二次方程2kx2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞﹣9 B．k＞﹣9且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0 分析：利用一元二次方程的定义，二次根式有意义的条件和根的判别式的意义得到，然后解不等式组即可． 解：根据题意得， 解得k≥﹣1且k≠0， 即k的取值范围为k≥﹣1且k≠0． 故选：C． 例4：已知关于x的一元二次方程2x2+2mx+m﹣1＝0，求证：不论m为什么实数，这个方程总有两个不相等实数根． 分析：根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝4（m﹣1）2+4＞0，即可证得结论． 解：证明：Δ＝b2﹣4ac＝（2m）2﹣4×2×（m﹣1）＝4m2﹣8m+8＝4（m﹣1）2+4， ∵4（m﹣1）2≥0， ∴4（m﹣1）2+4＞0， ∴Δ＞0， ∴这个方程总有两个不相等的实数根． 课堂反馈：已知一元二次方程x2+px+q+1＝0的一个根为2． （1）求q关于p的关系式； （2）求证：方程x2+px+q＝0有两个不等的实数根． 分析： （1）把x＝2代入方程x2+px+q+1＝0可得到p、q的关系式； （2）先计算根的判别式得到Δ＝p2﹣4q，再消去q得到Δ＝p2+8p+20，然后利用配方法证明Δ＞0，从而得到结论． （1）解：把x＝2代入原式得4+2p+q+1＝0， 所以q＝﹣2p﹣5； （2）证明：∵Δ＝p2﹣4q＝p2﹣4（﹣2p﹣5） ＝p2+8p+20 ＝p2+8p+16+4 ＝（p+4）2+4， 而（p+4）2≥0， ∴Δ＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 例5 已知关于的一元二次方程根的判别式的值为4，求的值． 分析：考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于含有字母系数的一元二次方程，尤其是二次项系数中含有字母的情况，一定要注意字母所隐含的取值范围，即二次项系数不能为0． 解：∵，，， ∴，整理即得， 解得：，，同时方程是一元二次方程，知，故， 由此得． 课堂反馈：当取何值时，关于的方程， （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？ 分析：考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其值，方程可由值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论． 解：对此方程，，，，则 ，由此可知， （1）当，即时，方程有两个不相等的实数根； （2）当，即时，方程有两两个相等的实数根； （3）当，即时，方程无实数根． 例6 当为何值时，关于的方程有实数根？并求出这时方程的根（用含的代数式表示）． 分析：考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其值，方程可由值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其值与0的大小关系，在确定方程有实根的情况下可根据求根公式求解方程． 答案：时，方程有实数根；方程的根为． 【答案】【答案】 解：对此方程，，，，则 ，因为方程有实数根，则有，即时，方程有实数根；根据一元二次方程求根公式，可知方程解为 课堂反馈： 1.已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值及这时方程的根． 分析：考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其值，方程可由值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其值与0的大小关系，方程有两相等实根即其值为0． 解：化为一般式，即为：， 其中，，， 则， 因为方程有两相等实数根，则有，解得：，； 时，方程化为，解得方程根为：； 时，方程化为，解得方程根为． 2.已知关于的方程． （1）有两个不相等的实根，求的取值范围； （2）有两个相等的实根，求的值，并求出此时方程的根； （3）有实根，求的最大整数值 分析：可由方程根的情况确定其值与0的大小关系，方程有实数根，即其，可在此基础上进行分类讨论． 解析：，，，， 由此可知：（1）当，即时，方程有两个不相等的实根； （2）当，即时，方程有两个相等的实根，此时方程即为 ，解得方程根为：； （3）当，即时，方程有实根，此时最大整数值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $