精品解析：浙江杭州市锦绣育才教育集团2026～2027学年上学期第一次阶段自测九年级数学试题

2026.9锦绣育才九年级月考数学试题卷 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 已知线段、、、满足，且，，，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2. 如图，是的直径，点C在圆上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 两个相似三角形的对应边之比为，若较小三角形的周长为，则较大三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，圆心角，点是弧的中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数在范围内的最小值为，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 9. 如图，在中，，，点在边上，且．点在边上，且，则的长为（） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，．点从点出发，沿的方向以每秒2个单位的速度运动；同时点从点出发，沿的方向以每秒2个单位的速度运动．当点到达点时，运动停止．设运动时间为秒，的面积为，则的最大值为（ ） A. 9.6 B. 10 C. 12 D. 16.8 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线的顶点坐标为______． 12. 在海洋生物观察课上，同学们发现海螺的结构十分奇妙．如图，点是线段的黄金分割点，且．已知，则的长为_________（结果保留根号）． 13. 如图，木工师傅在加固一个三角形屋架时，为了提高稳定性，在横梁下方加装了一根与底边平行的木条，分别与两边、交于点、．已知，，，则木条_________． 14. 近年来，无人机航拍被广泛应用于地理测绘．在一次测算某湿地公园中天然湖泊面积的活动中，测绘人员用无人机航拍了一张面积为25平方千米的区域俯视图．为了估算湖泊的面积，他们在航拍图上随机选取了大量的点，经过大量重复试验，发现点落在湖泊区域的频率稳定在左右．据此估计，该湖泊的面积约为_________平方千米． 15. 已知二次函数（为常数）的图象与轴交于、两点．若线段的长为4，则的值为_________． 16. 如图，四边形内接于，为直径，、交于点，点是的中点，连接，过点作，交的延长线于点．若，点到的距离为2，则_________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知二次函数，求它的图象与直线的交点坐标． 18. 如图，育才中学手工制作社团准备用一块直径为的圆形卡纸制作书签配件，需要在圆片上裁剪出一个圆周角为的扇形作为装饰部件． （1）求裁剪得到的扇形装饰部件的半径； （2）求裁剪后剩下废料的面积． 19. 如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）． （1）请在图1中以为一边画一个格点，使它与相似但不全等； （2）请在图2中画一个面积最大的格点，使之与相似，并求出的面积． 20. 临安清凉峰自然保护区内生活着野兔和野鸡，科研人员需要预估保护区内这两种动物的总数量．科研人员随机捕捉100只动物，其中野兔60只，野鸡40只，分别做好标记后放回保护区．待标记动物充分混合在种群中后，依次捕捉不同数量的动物，统计两类动物的数量． （1）估计在该保护区中随机捕捉一只动物是野鸡的概率； （2）若科研人员在保护区里随机捕捉500只动物，野兔360只，野鸡140只．其中，带有标记的野兔有12只，带有标记的野鸡有8只．请你估计该保护区中共有多少只野兔和多少只野鸡？ 21. 如图，等边三角形的边长为3，是边上的一点且，现将折叠，使得点与点重合，折痕为，点、分别在和上． （1）求证：； （2）求线段的长． 22. 如图，圆内接四边形满足，连结、，是延长线上的一点，过点作于点． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 23. 【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，网前吊球这种击球的运动路线可以近似抽象成如下路线，如图1所示． 【数学建模】小明发现网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图2所示，从点击球，击球点是抛物线的最高点，点到地面的距离，球网的上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设击球路线经过点正上方处的点，网前吊球的落点为点． （1）请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求出击球路线的函数表达式． 【模型应用】 （2）网前吊球的落点到球网的距离 ； （3）甲在处网前吊球，乙站在球网右侧，只有当羽毛球离地高度不小于时，乙才能成功接球，求乙能接到球时拍面距离球网的水平距离的取值范围． 24. 为半圆的直径，半径交弦于点，已知． （1）如图1，连接， ①求证：； ②若，，求的长； （2）如图2，连接，，若，，求半圆的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026.9锦绣育才九年级月考数学试题卷 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1. 已知线段、、、满足，且，，，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴. 2. 如图，是的直径，点C在圆上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角，可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：是的直径， ． ， ． 3. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，得， 再向上平移3个单位，得． 4. 两个相似三角形的对应边之比为，若较小三角形的周长为，则较大三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵两个相似三角形的对应边之比为， ∴它们的周长之比为， 设较大三角形的周长为， ∵较小三角形的周长为， ∴， 解得， ∴较大三角形的周长为. 5. 如图，在中，圆心角，点是弧的中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由弧与圆心角之间的关系可得，证明都是等边三角形，可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴． 6. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出树状图得到所有等可能的结果，找到两次都摸到红球的结果数，依据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有25种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有9种， ∴两次都摸到红球的概率为． 7. 二次函数在范围内的最小值为，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】找出二次函数的对称轴，根据在 的范围内有最小值得出答案． 【详解】解：对配方，得， ∵ 函数图象开口向上，对称轴为直线，且， ∴ 当时，取得最小值， ∵在范围内的最小值为， ∴ ， 解得. 8. 如图，在中，弦，，，且与位于圆心的同侧．若与之间的距离为2，则的半径为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理和勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：过点 O作  于点 E，交 于点 F，连接 ， ∵，， ， ， 设，则， 在中，， 在中，， ， ， 解得：， ， 即的半径为10． 9. 如图，在中，，，点在边上，且．点在边上，且，则的长为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形外角性质结合已知条件证得，结合证明，利用相似三角形对应边成比例求出的长，进而求得． 【详解】解：∵， ， ，，且， ， ， ， ，， ， ， 解得， ． 10. 如图，在中，，，．点从点出发，沿的方向以每秒2个单位的速度运动；同时点从点出发，沿的方向以每秒2个单位的速度运动．当点到达点时，运动停止．设运动时间为秒，的面积为，则的最大值为（ ） A. 9.6 B. 10 C. 12 D. 16.8 【答案】B 【解析】 【分析】分段讨论点的位置，分别构建与的函数关系式求解． 【详解】解：在中，， 点运动总时间为秒，点到达点时间为秒 当时，点在上，， 过点作于点，则， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴当时，取最大值，最大值为 当时，点在上，过点作于点，同理可得 ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴ ∵该函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴在范围内随的增大而减小 ∴当时，，即 综上所述，的最大值为10． 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数顶点坐标，掌握顶点坐标的确定方法是解题的关键． 根据二次函数的性质求顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 12. 在海洋生物观察课上，同学们发现海螺的结构十分奇妙．如图，点是线段的黄金分割点，且．已知，则的长为_________（结果保留根号）． 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据黄金分割的计算公式正确计算即可． 【详解】解：点C是线段的黄金分割点， ． 13. 如图，木工师傅在加固一个三角形屋架时，为了提高稳定性，在横梁下方加装了一根与底边平行的木条，分别与两边、交于点、．已知，，，则木条_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，利用平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可求解． 【详解】解： ， ， ，，， ， ．  14. 近年来，无人机航拍被广泛应用于地理测绘．在一次测算某湿地公园中天然湖泊面积的活动中，测绘人员用无人机航拍了一张面积为25平方千米的区域俯视图．为了估算湖泊的面积，他们在航拍图上随机选取了大量的点，经过大量重复试验，发现点落在湖泊区域的频率稳定在左右．据此估计，该湖泊的面积约为_________平方千米． 【答案】 【解析】 【分析】利用大量重复试验中频率的稳定值估计概率，湖泊面积等于航拍区域总面积乘以点落入湖泊区域的概率． 【详解】解：∵大量重复试验后，点落在湖泊区域的频率稳定在， ∴估计点落在湖泊区域的概率为， ∵航拍区域总面积为平方千米， ∴该湖泊的面积约为平方千米． 15. 已知二次函数（为常数）的图象与轴交于、两点．若线段的长为4，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设、的横坐标为、，利用结合根与系数的关系列方程求解即可. 【详解】解：设，，则，是方程的两个实数根， ∴，， ∵线段的长为4， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得. 16. 如图，四边形内接于，为直径，、交于点，点是的中点，连接，过点作，交的延长线于点．若，点到的距离为2，则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】连接，作于点H，由为直径及点是的中点，结合长度求出直径及半径；利用点到的距离及中位线性质求出长，进而求出长；通过证明，利用相似比建立方程求解即可． 【详解】解：连接，作于点H， ∵为直径， ， ∵点是的中点， ， ， ， ， ， ∵，则， ， 点为中点， 为中位线， ， 在中，， ， ，即， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知二次函数，求它的图象与直线的交点坐标． 【答案】和 【解析】 【分析】求出函数值为3时自变量的值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，则，解得或， ∴二次函数的图象与直线的交点坐标为和． 18. 如图，育才中学手工制作社团准备用一块直径为的圆形卡纸制作书签配件，需要在圆片上裁剪出一个圆周角为的扇形作为装饰部件． （1）求裁剪得到的扇形装饰部件的半径； （2）求裁剪后剩下废料的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，说明是直角三角形，根据勾股定理即可求解； （2）用圆形面积减去裁剪的扇形面积即可． 【小问1详解】 解：连接，根据题意，， ， 是直径， ，， ， ， ， ， 即裁剪得到的扇形装饰部件的半径为； 【小问2详解】 解： 即裁剪后剩下废料的面积为． 19. 如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）． （1）请在图1中以为一边画一个格点，使它与相似但不全等； （2）请在图2中画一个面积最大的格点，使之与相似，并求出的面积． 【答案】（1）如图所示： （2）如图所示： 的面积为5． 【解析】 【分析】（1）由图形可知，，由此即可画出图形； （2）根据图形可知的三边长分别为，，，相似三角形对应边成比例，设的三边分别为，，，，由，对取值即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 根据图形可知的三边长分别为，，， 相似三角形对应边成比例， 设的三边分别为，，，， 正方形网格中最长线段长， 的最大值为， 此时的三边分别为，，， 画图略； ， ． 20. 临安清凉峰自然保护区内生活着野兔和野鸡，科研人员需要预估保护区内这两种动物的总数量．科研人员随机捕捉100只动物，其中野兔60只，野鸡40只，分别做好标记后放回保护区．待标记动物充分混合在种群中后，依次捕捉不同数量的动物，统计两类动物的数量． （1）估计在该保护区中随机捕捉一只动物是野鸡的概率； （2）若科研人员在保护区里随机捕捉500只动物，野兔360只，野鸡140只．其中，带有标记的野兔有12只，带有标记的野鸡有8只．请你估计该保护区中共有多少只野兔和多少只野鸡？ 【答案】（1） 估计在该保护区中随机捕捉一只动物是野鸡的概率为 （2） 估计该保护区共有野兔1800只，野鸡700只 【解析】 【分析】（1）利用第一次捕捉样本中野鸡的频率估计所求概率； （2）依据标记重捕法的比例关系，分别列等式求解野兔和野鸡的总数． 【小问1详解】 解：∵随机捕捉的100只动物中，野鸡有40只， ∴样本中捕捉一只动物是野鸡的频率为， ∴估计随机捕捉一只动物是野鸡的概率为； 【小问2详解】 解：设该保护区野兔总数为只，野鸡总数为只， ∵第一次标记野兔60只，重捕的360只野兔中带标记的有12只， ∴， 解得； ∵第一次标记野鸡40只，重捕的140只野鸡中带标记的有8只， ∴， 解得； 答：该保护区约有野兔1800只，野鸡700只． 21. 如图，等边三角形的边长为3，是边上的一点且，现将折叠，使得点与点重合，折痕为，点、分别在和上． （1）求证：； （2）求线段的长． 【答案】（1）证明：是等边三角形， ，， 根据折叠可知， ， ， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质可知，由折叠可知，从而说明，即可得证； （2）设，则，即，根据相似三角形相似比相等，分别表示，的长，再由列方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， 根据折叠可知，， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 解得， 经检验，是所列方程的根， 即的长为． 22. 如图，圆内接四边形满足，连结、，是延长线上的一点，过点作于点． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）8 【解析】 【分析】（1）根据圆的内接四边形，得到，可推导出，继而推导出，即可解答； （2）过作于，推导出，可证明，得到，继而推导出，可求出，进而求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过作于， 平分，，， ， 在和中 ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 答：的长为． 23. 【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，网前吊球这种击球的运动路线可以近似抽象成如下路线，如图1所示． 【数学建模】小明发现网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图2所示，从点击球，击球点是抛物线的最高点，点到地面的距离，球网的上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设击球路线经过点正上方处的点，网前吊球的落点为点． （1）请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求出击球路线的函数表达式． 【模型应用】 （2）网前吊球的落点到球网的距离 ； （3）甲在处网前吊球，乙站在球网右侧，只有当羽毛球离地高度不小于时，乙才能成功接球，求乙能接到球时拍面距离球网的水平距离的取值范围． 【答案】（1）直角坐标系如图所示： 击球路线的函数表达式为 （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系略； 连接， 设抛物线解析式为， ， ， ，， ， ， ， 把，代入函数解析式得， 解得， ； 【小问2详解】 解：把代入抛物线解析式得， 解得，， ， ； 【小问3详解】 解：把代入抛物线解析式得， 解得，， 乙站在球网右侧， ， 羽毛球离地高度不小于， ， ， ， 乙站在球网右侧， 的取值范围为． 24. 为半圆的直径，半径交弦于点，已知． （1）如图1，连接， ①求证：； ②若，，求的长； （2）如图2，连接，，若，，求半圆的半径． 【答案】（1）①证明：∵， ∴， ∵； ∴， ∴； ② （2）半圆的半径为 【解析】 【分析】（1）①由可得，则，即可解答； ②容易证明，则，代入求值即可； （2）连接，过点作于点，由（1）可得，则，从而证明，则，进一步可得，结合，可得，因此是等腰直角三角形，则，利用三角函数和勾股定理计算出和，从而得到． 【小问1详解】 ，， ①证明略 ②解：由①得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作于点， ∵由①可知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵为半圆的直径， ∴， 在中，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， 在中，， ∴，即半圆的半径为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $