26.4 实际问题与二次函数 第3课时 (课件) 2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.4 实际问题与二次函数 第二十六章 二次函数 第3课时 抛物线形问题 人教版九年级上册 生活中我们可以看到很多抛物线形的物体，比如拱桥、喷泉等。 情境导入 如图是二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型. （1）y=ax2 （2）y=ax2+k （3）y=a(x−h)2+k （4）y=ax2+bx x y O x y O x y O 回顾导入 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？ 情境导入 建立函数模型 这是什么样的函数呢？ 拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数 你能想出办法来吗？ 情境导入 问题1 怎样建立直角坐标系比较简单呢？ 以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图． 探究点1：用二次函数解决拱桥类问题 新知探究 问题2 从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？ 由于顶点坐标是（0，0），因此这个二次函数的形式为 探究点1：用二次函数解决拱桥类问题 新知探究 x O y −2 −4 2 1 −2 −1 A 问题3 如何确定a是多少？ 已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（2，−2）在抛物线上，由此得出 因此， ，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化． 解得 探究点1：用二次函数解决拱桥类问题 新知探究 这条抛物线表示的二次函数 为y= x O y −2 −4 2 1 −2 −1 B 问题4 水面下降1m，水面宽度增加多少？ 当水面下降1m时，水面的纵坐标为-3. 令 解得 即，水面下降1m时，水面宽度增加 探究点1：用二次函数解决拱桥类问题 新知探究 我们来比较一下 （0，0） （4，0） （2，2） （−2，−2） （2，−2） （0，0） （−2，0） （2，0） （0，2） （−4，0） （0，0） （−2，2） 谁最合适 y y y y o o o o x x x x 探究点1：用二次函数解决拱桥类问题 新知探究 建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ 实际问题 建立二次函数模型 利用二次函数的图象和性质求解 实际问题的解 探究点1：用二次函数解决拱桥类问题 【归纳总结】 新知探究 例1 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形OABC的长是12m，宽是4m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝ − x2+2x+c表示． （1）请写出该抛物线的函数关系式； 解：（1）根据题意得C（0，4）， 把C（0，4）， 代入y＝ − x2+2x+c得c＝4， 所以抛物线解析式为y＝− x2 +2x+4. 探究点1：用二次函数解决拱桥类问题 新知探究 （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 所以这辆货车能安全通过. （2）抛物线解析式为y＝− x2+2x+4 (x﹣6)2+10， 所以对称轴为x＝6， 由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0）， 当x＝2或x＝10时，y＝ ＞6， 探究点1：用二次函数解决拱桥类问题 新知探究 （3）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ （3）令y＝8，则 (x﹣6)2+10＝8， ，x2＝6﹣2 解得x1＝6+2 则x1﹣x2＝4 所以两排灯的水平距离最小是4 m. 探究点1：用二次函数解决拱桥类问题 新知探究 【变式】 如图，施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，OM宽度为16米，顶点P到OM的距离为8米．（1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出这条抛物线的函数解析式； 设y＝a(x﹣8)2+8， x y 解：（1）如图，以O为原点建立直角坐标系，易得抛物线的顶点坐标为（8，8）. 将点（0，0）代入上式得0＝64a+8， 解得 故函数的表达式为 （0≤x≤16）. 探究点1：用二次函数解决拱桥类问题 新知探究 （2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明． x y 即允许的最大高度为6米， （2）由题意得车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧离边沿处，x＝7.5−3.5＝4， 当x＝4时，y＝6， 5.8＜6，故该车辆能通行. 探究点1：用二次函数解决拱桥类问题 新知探究 探究点2：用二次函数解决运动类问题 新知探究 17 例2 某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出的水流呈抛物线状，喷出的水流高度y（m）与喷出水流离喷嘴的水平距离x(m)之间满足 （1）喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？ （2）喷嘴喷出水流的最远距离为多少？ 解：（1）∵ 故当x＝2时，喷嘴喷出水流的最大高度是y＝2. （2）令y=0,即 解得x1=0,x2=4. 即喷嘴喷出水流的最远距离为4m． 探究点2：用二次函数解决运动类问题 新知探究 【变式】 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？ 探究点2：用二次函数解决运动类问题 新知探究 根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为(1，2.25). 数学化 ● B(1,2.25) (0,1.25) ● C ● D o A x y 解：建立如图所示的坐标系. 探究点2：用二次函数解决运动类问题 新知探究 根据对称性，如果不计其他因素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外. 当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ; 同理，点 D的坐标为(−2.5,0) . 设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式为：y=－ (x−1)2+2.25. ● B(1,2.25) (0,1.25) ● D o A x y ● C 探究点2：用二次函数解决运动类问题 新知探究 例3 如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？ 探究点2：用二次函数解决运动类问题 新知探究 解：如图，建立直角坐标系. 则点A的坐标是（1.5，3.05）， 篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）. 以点C表示运动员投篮球的出手处. x y O 探究点2：用二次函数解决运动类问题 新知探究 23 解得 a=－0.2， k=3.5. 设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x−0)2+k ， 即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有 所以该抛物线的表达式为y=−0.2x2+3.5. 当 x=−2.5时，y=2.25 . 故该运动员出手时的高度为2.25m. 2.25a+k=3.05， k=3.5， x y O 探究点2：用二次函数解决运动类问题 新知探究 1. 如图，一款高OD为14cm的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线 y＝ x2＋5的一部分，则杯口的口径AC为（　C　） A. 7cm B. 8cm C. 9cm D. 10cm C 随堂练习 2. 教材变式题 如图所示为一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，则当水面下降 　 　米时，水面宽8米. 　 3. 某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度h（m）与足球飞行的时间t（s）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，那么足球从踢出到落地所需的时间是 　1.6　s. 1.6　 4. 小明和小亮玩打水仗的游戏，两人相距7米，两人身高都是1.5米.以水平线为x轴，小明所站立线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，点A（0，1.5）是小明水枪的喷口，小明的水枪喷出水的路线为抛物线C1：y＝a（x－3）2＋2.5，小亮为了喷到小明，踮脚抬臂，使得水枪的喷口坐标为B（7，1.8），小亮的水枪喷出水的路线为抛物线C2：y＝mx2＋bx＋c，且过点（4，3.6）. 解：（1） ∵ 抛物线C1：y＝a（x－3）2＋2.5过点A（0，1.5），∴ 1.5＝a（0－3）2＋2.5，解得a＝－ .∴ 抛物线C1：y＝－ （x－3）2＋2.5.∵ 当x＝7时，y＝－ （x－3）2＋2.5＝ ，0＜ ＜1.5，∴ 小明能喷到小亮 （第4题） （1） 请通过计算说明小明能否喷到小亮； （2） 如果（4，3.6）是抛物线C2的顶点，请通过计算说明小亮能否喷到小明. 解：（2） ∵ 抛物线C2的顶点坐标为（4，3.6），∴ 抛物线C2：y＝m（x－4）2＋3.6.∵ 抛物线C2过点B（7，1.8），∴ 1.8＝m（7－4）2＋3.6，解得m＝－ .∴ 抛物线C2对应的函数解析式为y＝－ （x－4）2＋3.6.又∵ 当x＝0时，y＝－ ×（0－4）2＋3.6＝0.4，0＜0.4＜1.5，∴ 小亮能喷到小明 （第4题） 5. 某公园草坪的护栏是由100段形状相同的抛物线组成的，为了牢固起见，每段护栏需按间距0.4m加设由不锈钢管做成的立柱（如图），护栏的最高点距底部0.5m，则所需不锈钢立柱的总长度为（　C　） A. 50m B. 100m C. 160m D. 200m C 6. 如图所示为一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m.已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系.若选取A为坐标原点时的抛物线对应的函数解析式为y＝－ （x－6）2＋4，则选取B为坐标原点时的抛物线对应的函数解析式为 　y＝ － y＝－ （x＋6）2＋4　 7. 新情境 体育比赛 已知网球比赛场地的长AB为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网OC高度为1米，建立如图所示的平面直角坐标系.运动员从点P（－9，1.5）处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点D（－3，2）处达到最高. （1） 求抛物线对应的函数解析式； 解：（1） ∵ 网球飞行过程中在点D（－3，2）处达到最高，∴ 设抛物线对应的函数解析式为y＝a（x＋3）2＋2.把P（－9，1.5）代入，得1.5＝a（－9＋3）2＋2，解得a＝－ .∴ 抛物线对应的函数解析式为y＝－ （x＋3）2＋2 （第7题） （2） 判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由. 解：（2） 此次击球越过球网并落在对方区域内（含边界）　理由：∵ y＝－ （x＋3）2＋2， ∴ 当x＝0时，y＝－ ×9＋2＝ ＞1.∴ 网球越过球网.当x＝12时，y＝－ ×（12＋3）2＋2＝－ ＜0，∴ 网球落在对方区域内.∴ 此次击球越过球网并落在对方区域内. （第7题） 8. 一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线形.当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门OB高为2.44m，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系. 解：（1） 由题意，得抛物线的顶点坐标为（2，3）.设抛物线对应的函数解析式为y＝a（x－2）2＋3.把A（8，0）代入，得36a＋3＝0，解得a＝－ .∴ 抛物线对应的函数解析式为y＝－ （x－2）2＋3.当x＝0时，易得y＝ ＞2.44，∴ 球不能射进球门 （第8题） （1） 求抛物线对应的函数解析式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）. （2） 对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 解：（2） 设小明带球向正后方移动mm，则移动后的抛物线对应的函数解析式为y＝－ （x－2－m）2＋3.把（0，2.25）代入，得2.25＝－ （－2－m）2＋3，解得m1＝－5（不合题意，舍去），m2＝1.∴ 当时他应该带球向正后方移动1m射门 （第8题） 解：（3） 设小明向正后方移动nm（n＞0），则新抛物线对应的函数解析式为y＝ － [x－（2＋n）]2＋3.∵ 球恰好擦着球门顶端射入，即新抛物线经过点（0，2.44），∴ 2.44＝－ [0－（2＋n）]2＋3，解得n＝ －2（负值舍去），∴ 小明需要带球向正后方移动 m射门，足球就能恰好擦着球门顶端射入 （第8题） （3） 若要让球恰好擦着球门顶端射入，小明需要带球向正后方移动多少米？ 转化 回归 （二次函数的图象和性质） 拱桥问题 运动中的抛物线问题 （实物中的抛物线形问题） 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择运算简便的方法. 实际问题 数学模型 转化的关键 课堂小结 $