26.4 实际问题与二次函数 第3课时 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决抛物线形实际问题，涵盖解题步骤、坐标系建立及解析式求解等核心内容。课堂导入通过复习二次函数与方程的步骤公式，结合图象辨析解析式类型，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于通过多种坐标系建立方法培养几何直观（数学眼光），结合探究与典例分析发展推理能力（数学思维），将拱桥、投篮等实际问题转化为二次函数模型体现模型意识（数学语言）。如拱桥问题多解法、船通过判断的两种方法，帮助学生掌握转化关键，教师可提升教学效率。

（人教版）九年级上 第二十六章 二次函数 26.4.3 抛物线形问题 22051 2 学习目标 1.掌握抛物线型实际问题的解题步骤，能根据实际场景合理建立平面 直角坐标系，准确求出二次函数解析式；熟练利用二次函数的图象 和性质，求解轨迹类问题中的高度、跨度、最值等实际问题。 22051 复习导入 22051 02 新知导入 如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的位置，说出这个二次函数的解析式类型. x y x y x y （1）y=ax2 （2）y=ax2+k （3）y=a(x-h)2+k （4）y=ax2+bx+c O O O 22051 探究2 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时，水面宽10m.突降暴雨后水面上升1m，此时水面宽为多少（结果保留小数点后一位）? 探究新知 22051 分析： (1) 建立适当的平面直角坐标系； (2) 将实际建筑数学化，数字化； (3) 明确具体的数量关系，如函数解 析式； (4) 分析所求问题，代入解析式求解. x y O 22051 03 新知讲解 探究2 解：设这条抛物线表示的二次函数为 y = ax2. 由抛物线经过点（5，−4），可得−4 = a× 52. 解得 a = − . 因此，这条抛物线对应的二次函数为 y =− x2. 当水面上升1m时，水面的纵坐标为−3. 则− x2 =−3 . 解得 x1 = ，x2 = − (舍去). 所以这时水面的宽度为 8.7（m ）. 你还有其他的解决方法吗？ 22051 03 新知讲解 探究2 如果以上升1m后的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系. 与前面方法的结果相同吗？ 解：依题意建立如图所示的直角坐标系. 设抛物线解析式为y=ax2+3. 将点(5，-1)代入解析式，可得-1=a×52+3. x y O 水面上升1m，即此时y=0. 22051 你还有其他的方法吗？ 还可以以水面未上升时的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系来计算. 虽然建立的直角坐标系不一样，但是两种方法的结果是相同的. x y O 22051 利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤： (1) 建立适当的直角坐标系； (2) 写出抛物线上的关键点的坐标； (3) 运用待定系数法求出函数关系式； (4) 求解数学问题； (5) 求解抛物线形实际问题. 22051 03 新知讲解 解决桥拱形状为抛物线形的实际问题时，一般分为以下四个步骤： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)根据条件，把已知的线段长转化为点的坐标； (3)恰当选用二次函数的解析式形式，用待定系数法求出抛物线的解析式; (4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，进而得到实际问题的解. 注意：同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系能简化函数解析式.通常应使已知点在坐标轴上. 22051 03 新知讲解 思考 对于探究，在突降暴雨致水位上升1m后，有一艘装有物资的船准备从桥下通过，船身及物资外形如图所示. 这艘船宽4 m，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面2m.这艘船能从这座拱桥下通过吗？ 解：方法一 ∵水面的纵坐标为-3，物资顶部距水面2m, ∴船顶的纵坐标y=-3+2=-1. 当x=2时，y=﹣x2=﹣. ∵﹣> -1， ∴ 这艘船能从这座拱桥下通过. y=x2 22051 典例1 (教材P53探究2•改编)如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面宽4 m.若水面下降1 m，此时水面宽为多少？ 解：如图，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴， 建立平面直角坐标系.设抛物线的解析式为y＝ax2. 由抛物线经过点(2，－2)，得－2＝a×22.解得a＝－ . ∴y＝－ x2. 当水面下降1 m时，y＝－2－1＝－3，即－3＝－ x2. 解得x1＝ ，x2＝－ . ∴水面宽为 －(－ )＝2 (m). 答：若水面下降1 m，此时水面宽为2 m. 典例精析 22051 典例2 在一名运动员的某次投篮中，篮球的运动路线是抛物线y＝－ x2＋3.85的一部分(如图)，若篮球投入篮筐，求运动员到篮筐正下方的距离l. 解：当y＝3.05时，－ x2＋3.85＝3.05. 解得x1＝2，x2＝－2(负值舍去). ∴运动员到篮筐正下方的距离l＝3.2＋2＝5.2(m). 典例精析 22051 03 新知讲解 思考 对于探究，在突降暴雨致水位上升1m后，有一艘装有物资的船准备从桥下通过，船身及物资外形如图所示. 这艘船宽4 m，物资顶部为长方形，且物资顶部距水面2m.这艘船能从这座拱桥下通过吗？ y=x2 解：方法二 ∵水面的纵坐标为-3，物资顶部距水面2 m， ∴船顶的纵坐标y=-3+2=-1. 当﹣x2=﹣1时， 解得x1=，x2=﹣. ∵ x1-x2=5>4, ∴这艘船能从这座拱桥下通过. 22051 03 新知讲解 判断货车能否安全通过隧道的方法 方法一（首选，便于计算）：固定货车的宽，看抛物线形的隧道是否足够高（相当于已知x的值，根据函数解析式求y的值，再与限制的高的值比较大小）. 方法二：固定高（货车的高+0.5），看抛物线形的隧道是否足够宽（相当于已知y的值，根据函数解析式求x的值，再与限制的宽的值比较大小）. 22051 判断船能否安全通过桥洞，汽车能否安全通过隧道等问题的两种常用方法： ①固定船(汽车)的宽，看抛物线形的桥洞(隧道)是否足够高（相当于已知x的值，根据函数解析式求y的值，再与限制的高度比较大小）； ②固定高，看抛物线形的桥洞(隧道)是否足够宽（相当于已知y的值，根据函数的解析式求x的值，再与限制的宽度比较大小）. 22051 课堂小结 利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤： (1) 建立适当的直角坐标系； (2) 写出抛物线上的关键点的坐标； (3) 运用待定系数法求出函数关系式； (4) 求解数学问题； (5) 求解抛物线形实际问题. 22051 1.通过本课的学习，你学到了哪些内容？ 2.学习了本课你有何感想？ 请畅所欲言. 22051 19 05 课堂小结 回归 （二次函数的图象和性质） 拱桥问题 运动中的抛物线形问题 （实物中的抛物线形问题） 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标； 选择简便的运算方法 实际问题 数学模型 转化的关键 22051 谢谢大家聆听 22051 $