30.1 直线与圆 同步练习 2026--2027学年人教版九年级数学上册

人教版（2024）九年级上册 30.1 直线与圆 同步练习 一、选择题 1．点P到圆心O的距离为7，若点P在圆O内，则圆O的半径r满足（ ） A． B． C． D． 2．如图，MN是☉O的切线，M是切点，连接OM，ON.若∠N＝38°，则∠MON度数为 （      ）  A．38° B．42° C．52° D．62° 3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，AD＝5，则CD的长度为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．如图，、分别与半径为3的相切于点，，直线分别交、于点，，并切于点，当时，的周长为（ ） A．4 B．5 C．8 D．10 5．如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B，C，若∠ACE＝22°，则∠D的度数为（　　） A．22° B．44° C．46° D．58° 6．在▱ABCD中，BC＝5，S▱ABCD＝20．如果以顶点C为圆心，BC为半径作⊙C，那么⊙C与边AD所在直线的公共点的个数是（  ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 7．如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝（　　） A． B．2 C． D．3 8．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB＝25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（　　） A．40° B．50° C．60° D．30° 9．如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 10．已知点是外一点，甲、乙两位同学用尺规过点作的切线，如图所示，下列关于两位同学作图判断正确的是（ ） A．甲对，乙错 B．乙对，甲错 C．甲乙都对 D．甲乙都不对 11．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝15，过点D作一圆与AB、BC分别相切于G、H，与边AD、CD相交于点E、F，且5AE＝4DE，8CF＝DF，则BH等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 12．如图，直线与坐标轴分别交于点，点，点为直线上一个动点．点是轴正半轴上一点，与轴相切．过点作的切线，切点为．若点的坐标为，则的最小值为__________． 二、填空题 13．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，过点C的切线交BO的延长线于点P．若∠P＝28°，则∠BAC的度数为 __________. 14．如图，AB是☉O的直径，BC是☉O的切线，点B为切点.连接AC交☉O于点D，点E是☉O上一点，连接BE，DE，过点A作AF∥BE交BD的延长线于点F.若BC＝5，CD＝3，∠F＝∠ADE，则AB的长度是__________ ；DF的长度是__________ . 15．在△ABO中，OA＝OB＝2 cm，⊙O的半径为1 cm，当∠AOB＝__________时，直线AB与⊙O相切． 16．如图，在平面直角坐标系xOy中，以点A（，0）为圆心，1为半径画圆．将⊙A绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到⊙A'，使得⊙A'与y轴相切，则α的度数是 __________． 17．如图所示，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点M，N，的半径为1，将以每秒1个单位的速度沿x轴向右作平移运动，当移动__________秒时，直线恰好与相切． 三、解答题 18．如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°．求证：DP是⊙O的切线． 19．已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作☉O，与斜边AC交于点D，过点D作☉O的切线交BC边于点E. (1)如图，求证：EB＝EC＝ED； (2)试问在线段DC上是否存在点F，满足BC2＝4DF·DC？若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由. 20．如图，已知△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠CBD＝∠A．求证：BC为⊙O的切线． 21．如图，点 在 的边 上，以 为半径的⊙ 与 相切于点 ，与 相交于点 ， 为⊙ 的直径，与 相交于点，． (1) 求证：； (2) 若，，求的长． 22．完成下面各题． 如图①，，点为上一点，且，是边上的动点，，且，连接，求的最大值． (1) 【定值探究】如图②，小明过点作，过点作，可得，连接，，将转化为，再利用，通过面积计算，从而确定为定值，请结合上述探究过程，求的值； (2) 【最值探究】再由，可以确定点的轨迹，试求的最大值； (3) 【问题拓展】如图，，为上一点，，是边上的动点，，且，直接写出的最大值__________． 人教版（2024）九年级上册 30.1 直线与圆 同步练习（参考答案） 一、选择题 1．点P到圆心O的距离为7，若点P在圆O内，则圆O的半径r满足（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵点到圆心的距离为7，点P在圆O内， ∴，即 故选：C． 2．如图，MN是☉O的切线，M是切点，连接OM，ON.若∠N＝38°，则∠MON度数为 （      ）  A．38° B．42° C．52° D．62° 【答案】C 【解析】∵MN是☉O的切线，M是切点， ∴半径OM⊥MN， ∴∠OMN＝90°. ∵∠N＝38°， ∴∠MON＝90°－∠N＝52°. 3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，AD＝5，则CD的长度为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】解：连接OD， ∵∠DOC＝2∠A＝2×30°， ∴∠DOC＝60°， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠ODC＝90°，∠C＝30°， ∴AD＝DC＝5， 故选：B． 4．如图，、分别与半径为3的相切于点，，直线分别交、于点，，并切于点，当时，的周长为（ ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】C 【解析】连接OB， ∵PB是⊙O的切线， ∴∠PBO=90°， ∴PB==4 ∵PA、PB分别与⊙O相切， ∴PA=PB=4， ∵CD分别交PA、PB于点C，D，并切⊙O于点E, ∴DE=DB，CE=CA， ∴△PCD的周长=PC+CD+PD=PC+CA+DE+PD=PA+PB=8， 故选C. 5．如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B，C，若∠ACE＝22°，则∠D的度数为（　　） A．22° B．44° C．46° D．58° 【答案】B 【解析】解：连接OC，如图， ∵CD为⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD＝∠OCE＝90°， ∵∠ACE＝22°， ∴∠OCA＝90°﹣∠ACE＝68°． ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝68°， ∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝44°． ∵DB为⊙O的切线， ∴OB⊥DB， ∴∠OBD＝90°， ∵∠BOC+∠OCD+∠OBD+∠D＝360°， ∴∠D+∠BOC＝180°． ∵∠BOC+∠AOC＝180°， ∴∠D＝∠AOC＝44°． 故选：B． 6．在▱ABCD中，BC＝5，S▱ABCD＝20．如果以顶点C为圆心，BC为半径作⊙C，那么⊙C与边AD所在直线的公共点的个数是（  ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【解析】解：如图，作CH⊥DA交DA的延长线于H． ∵S平行四边形ABCD＝BC•CH， ∴CH＝＝4， ∵4＜5， ∴直线AD与⊙C相交， 故选：B． 7．如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA＝2，∠P＝60°，则AB＝（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】解：∵PA，PB与⊙O分别相切于点A，B， ∴PA＝PB，∵∠APB＝60°， ∴△PAB是等边三角形， ∴AB＝AP＝2． 故选：B． 8．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB＝25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（　　） A．40° B．50° C．60° D．30° 【答案】A 【解析】连接OC， ∵CE为圆O的切线， ∴OC⊥CE， ∴∠COE＝90°， ∵∠CDB与∠BAC都对，且∠CDB＝25°， ∴∠BAC＝∠CDB＝25°， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝25°， ∵∠COE为△AOC的外角， ∴∠COE＝50°， 则∠E＝40°． 故选：A． 9．如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】解：∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°， ∵点M是BC的中点．∴MH＝BC， ∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3， ∴MH的最大值为3． 10．已知点是外一点，甲、乙两位同学用尺规过点作的切线，如图所示，下列关于两位同学作图判断正确的是（ ） A．甲对，乙错 B．乙对，甲错 C．甲乙都对 D．甲乙都不对 【答案】C 【解析】甲中，由作图知是的直径， ∴， ∴是的切线； 乙中，由作图知，，，即， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； 综上，甲乙都对． 故选：C． 11．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝15，过点D作一圆与AB、BC分别相切于G、H，与边AD、CD相交于点E、F，且5AE＝4DE，8CF＝DF，则BH等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】解：由8CF＝DF，得CF＝15×＝， 则CH2＝CF×DC， 故CH＝5， 设BC＝x，则BH＝x﹣5＝BG， 故AG＝20﹣x， 又∵5AE＝4DE， ∴DE＝x，AE＝x， 则AG2＝AE×AD，则（20﹣x）2＝x2， 解得：x＝12， 故BH＝BC﹣CH＝7． 故选：C． 12．如图，直线与坐标轴分别交于点，点，点为直线上一个动点．点是轴正半轴上一点，与轴相切．过点作的切线，切点为．若点的坐标为，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】解：∵直线与坐标轴分别交于点，点， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵与轴相切．点的坐标为， ∴， ∴， ∴要使最小，则要使最小， ∴当最小时，，即此时是等腰直角三角形， 过点P作于E， ∴点E的坐标为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 二、填空题 13．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，过点C的切线交BO的延长线于点P．若∠P＝28°，则∠BAC的度数为 __________. 【答案】121° 【解析】解：如图，设⊙O与OP交于点E，连接OC，CE． ∵CP为⊙O的切线， ∴OC⊥CP． ∴∠OCP＝90°． ∴∠COP＝90°﹣∠P＝90°﹣28°＝62°． ∵OC＝OE， ∴． ∵四边形ABEC为⊙O的内接四边形， ∴∠BAC+∠OEC＝180°． ∴∠BAC＝180°﹣∠OEC＝121°． 故答案为：121°． 14．如图，AB是☉O的直径，BC是☉O的切线，点B为切点.连接AC交☉O于点D，点E是☉O上一点，连接BE，DE，过点A作AF∥BE交BD的延长线于点F.若BC＝5，CD＝3，∠F＝∠ADE，则AB的长度是__________ ；DF的长度是__________ . 【答案】　 ； 【解析】∵AB是☉O的直径，∴∠ADB＝90°. ∴∠BDC＝90°. ∵BC＝5，CD＝3，∴BD＝＝4. ∵BC切☉O于点B，∴直径AB⊥BC.∴∠ABC＝90°. ∵∠BCD＝∠ACB，∠CDB＝∠ABC＝90°， ∴△CDB∽△CBA. ∴DB∶BA＝CD∶CB，即4∶BA＝3∶5.∴AB＝. ∵AF∥BE，∴∠BAF＝∠ABE. ∵∠ABE＝∠ADE，∠F＝∠ADE，∴∠F＝∠BAF. ∴BF＝AB＝.∴FD＝BF－BD＝－4＝. 15．在△ABO中，OA＝OB＝2 cm，⊙O的半径为1 cm，当∠AOB＝__________时，直线AB与⊙O相切． 【答案】120° 【解析】解：如图，连接OC， ∵⊙O与直线AB相切于点C； ∴OC⊥AB；而OA＝2，OC＝1， ∴∠A＝30°；而OA＝OB， ∴∠B＝∠A＝30°， ∴∠AOB＝180°﹣60°＝120°． 16．如图，在平面直角坐标系xOy中，以点A（，0）为圆心，1为半径画圆．将⊙A绕点O逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到⊙A'，使得⊙A'与y轴相切，则α的度数是 __________． 【答案】45°或135° 【解析】解：如图1，点A′在第一象限，设⊙A′与y轴相切于点B，连接OA′、BA′， ∵OB⊥A′B， ∴∠A′BO＝90°， ∵⊙A的半径为1，A（，0）， ∴OA＝， 由旋转得OA′＝OA＝， ∵⊙A的半径为1， ∴A′B＝1， ∴OB＝＝＝1， ∴A′B＝OB， ∴∠BOA′＝∠BA′O＝45°， ∴α＝∠AOA′＝90°﹣45°＝45°； 如图2，点A′在第二象限，设⊙A′与y轴相切于点C，连接OA′、CA′， ∵OC⊥A′C， ∴∠A′CO＝90°， ∵OA′＝OA＝，AC＝1， ∴OC＝＝＝1， ∴A′C＝OC， ∴∠COA′＝∠CA′O＝45°， ∴α＝∠AOA′＝90°+45°＝135°． 17．如图所示，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点M，N，的半径为1，将以每秒1个单位的速度沿x轴向右作平移运动，当移动__________秒时，直线恰好与相切． 【答案】 【解析】解：作平行于与相切，交x轴于点E，交y轴于点F，如图所示， 设直线的解析式为， 即， 与相切，且的半径为1， ， 解得， 直线的解析式为或， 点E的坐标为或， 令中，则， ， 根据运动的相对性，且以每秒1个单位的速度沿x轴向右作平移运动， 移动的时间为或， 故答案为：． 三、解答题 18．如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°．求证：DP是⊙O的切线． 【答案】证明：∵∠ACD＝60°， ∴∠AOD＝120°， ∴∠BOD＝60°， ∵∠APD＝30°， ∴∠ODP＝90°， 即PD⊥OD， ∵OD是半径， ∴PD是⊙O的切线． 19．已知：以Rt△ABC的直角边AB为直径作☉O，与斜边AC交于点D，过点D作☉O的切线交BC边于点E. (1)如图，求证：EB＝EC＝ED； (2)试问在线段DC上是否存在点F，满足BC2＝4DF·DC？若存在，作出点F，并予以证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明　连接BD.如图，由于ED，EB是☉O的切线，由切线长定理， 得ED＝EB，∠DEO＝∠BEO， ∴OE垂直平分BD. 又∵AB是☉O的直径， ∴AD⊥BD， ∴AD∥OE，即OE∥AC. 又O为AB的中点， ∴OE为△ABC的中位线， ∴BE＝EC， ∴EB＝EC＝ED. (2)解　在△DEC中，由于ED＝EC， ∴∠C＝∠CDE， ∴∠DEC＝180°－2∠C. ①当∠DEC>∠C时，有180°－2∠C>∠C，即0°<∠C<60°时，在线段DC上存在点F满足条件. 在∠DEC内，以ED为一边，作∠DEF，使∠DEF＝∠C，且EF交DC于点F，则点F即为所求（图略）. ∵在△DCE和△DEF中，∠CDE＝∠EDF，∠C＝∠DEF， ∴△DEF∽△DCE. ∴DE2＝DF·DC. 即＝DF·DC， ∴BC2＝4DF·DC. ②当∠DEC＝∠C时，△DEC为等边三角形，即∠DEC＝∠C＝60°， 此时，C点即为满足条件的F点，于是DF＝DC＝DE，仍有BC2＝4DE2＝4DF·DC. ③当∠DEC<∠C时，即180°－2∠C<∠C，60°<∠C<90°时，所作的∠DEF>∠DEC，此时点F在DC的延长线上，故线段DC上不存在满足条件的点F. 20．如图，已知△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠CBD＝∠A．求证：BC为⊙O的切线． 【答案】证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠A+∠ABD＝90°， ∵∠A＝∠CBD， ∴∠CBD+∠ABD＝90°， ∴∠ABC＝90°． ∴AB⊥BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴BC为⊙O的切线． 21．如图，点 在 的边 上，以 为半径的⊙ 与 相切于点 ，与 相交于点 ， 为⊙ 的直径，与 相交于点，． (1) 求证：； (2) 若，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接， ∵以 为半径的⊙ 与 相切于点 ， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 解：∵，， ∴， 设的半径为， ∴，，而，， ∴， 解得：， ∴，，， ∵，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 22．完成下面各题． 如图①，，点为上一点，且，是边上的动点，，且，连接，求的最大值． (1) 【定值探究】如图②，小明过点作，过点作，可得，连接，，将转化为，再利用，通过面积计算，从而确定为定值，请结合上述探究过程，求的值； (2) 【最值探究】再由，可以确定点的轨迹，试求的最大值； (3) 【问题拓展】如图，，为上一点，，是边上的动点，，且，直接写出的最大值__________． 【答案】(1) 解：过点C作，过点E作，连接，，如下图 ，， ， ，与都以为底，为高， ， ，， ，即， ， ， 与都是定值，高是定值， 也为定值． (2) 解：作的垂直平分线交于点G，以G为圆心，为直径作圆， ， 点E在上运动，如下图 当过点G时的值最大， ， ， 由勾股定理得， ，即的最大值是8． (3) 解：过点C作，过点E作，连接，，过点C作于点M，如下图 ， ， ， ，， ， ， ，， ， ，且为定值， 以中点G为圆心，为直径作圆， ，点E在上运动， 过点G作于点N，过点F作于点K， 四边形、是矩形， ，， 当过点G时，的值最大， ， 在中，运用勾股定理， ，即的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $