30.1 直线与圆的位置关系与切线 课后练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦直线与圆的位置关系及切线知识，通过基础认知、技能应用、综合拓展三层设计，实现从概念理解到实践创新的梯度巩固，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|位置关系判定、切线概念|选择填空直接考查d与r关系及定理表述，强化符号意识| |技能应用|切线判定与性质、切线长计算|解答题结合辅助线（连半径证垂直），训练推理能力| |综合拓展|实际情境建模、尺规作图|“太阳升起”情境分析及切线作图，发展模型意识与创新思维|

新人教版九年级上册 第章 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系与切线 课后练习（满分分，时间分钟） 【本课知识要点】 · 设的半径为，圆心到直线的距离为： ⟺ 相离（无公共点）； ⟺ 相切（有且只有一个公共点，公共点叫切点）； ⟺ 相交（有两个公共点）。 · 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 · 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 · 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 · 常见辅助线：见切线连半径（构造垂直）；证切线时连半径证垂直或作垂直证半径。 一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分） ．如图，直线与的位置关系依次为（　　） ．相切、相离、相交　　．相离、相切、相交 ．相交、相切、相离　　．相离、相交、相切 ．已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（　　） ．相离　　．相交　　．相切　　．无法确定 ．已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的公共点的个数为（　　） ．个　　．个　　．个　　．个 ．下列说法正确的是（　　） ．与圆有一个公共点的直线是圆的切线 ．垂直于半径的直线是圆的切线 ．经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ．圆的切线垂直于圆的任意一条半径 ．如图，直线与相切于点是的半径，则与的位置关系是（　　） ．平行　　．垂直　　．相交但不垂直　　．重合 ．如图，、分别切于点、，若，则的长为（　　） ．　　．　　．　　．无法确定 ．已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与（　　） ．相离　　．相切　　．相交　　．不能确定 ．、切于、两点，若，则的度数为（　　） ．　　．　　．　　． 二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分） ．直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于。 ．的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是。 ．圆的切线于过切点的半径。 ．、是的两条切线，切点分别为、，若，则。 ．、切于点、，若，则度。 三、解答题（本大题共小题，满分分） ．（本题分）已知的半径为，判断下列情况下直线与的位置关系： 圆心到直线的距离为； 圆心到直线的距离为； 圆心到直线的距离为。 ．（本题分）如图，是的直径，点在直线上，且。求证：直线是的切线。 ．（本题分）如图，直线与相切于点是上一点，且的半径为，求的长。 ．（本题分）如图，、是的两条切线，切点分别为、的半径为。 求的度数； 求的长； 求切线长。 ．（本题分）如图，在中，，以为直径的交于点于点。求证：是的切线。 四、综合与实践（本大题共小题，满分分） ．（本题分）【阅读理解】阅读材料，回答问题。 材料：判断直线与圆的位置关系有两种方法：一是看公共点的个数（个相离、个相切、个相交），二是比较圆心到直线的距离与半径的大小（相离、相切、相交）。生活里也能见到这样的现象：把太阳看成一个圆，把地平线看成一条直线，太阳从地平线下升起到完全离开地平线的过程，就经历了相离、相切、相交（再到相离）的位置变化。 问题： 的半径，圆心到直线的距离，判断直线与的位置关系，并指出公共点个数； 在太阳升起的过程中，太阳（圆）与地平线（直线）经历了怎样的位置变化？请用"与的大小关系"描述； 若的半径为，直线与相交，则应满足什么条件？此时有几个公共点？ ．（本题分）【综合与实践】只用直尺和圆规作圆的切线。 过上一点作的切线，写出作法并说明理由； 过外一点作的切线（能作几条？）； 若的半径为，过圆外一点的两条切线、的夹角为，连接，求的长。 新人教版九年级上册 第章 直线与圆的位置关系 （参考答案与解析） 一、选择题（每小题分，共分） ． ． ． ． ． ． ． ． 二、填空题（每小题分，共分） ．半径 ．相切 ．垂直 ． ． 三、解答题 ． 相交； 相切； 相离 【分析】比较与的大小关系。 【详解】的半径。 因为，所以直线与相交。 因为，所以直线与相切。 因为，所以直线与相离。 【评分标准】每小题判断正确得分，写出比较过程得分（共分）。 ．证明见详解 【分析】经过半径的外端且垂直于，由切线判定定理即得。 【详解】因为是的直径，所以是的半径， 且点在直线上，即经过半径的外端。 又，即。 所以直线经过半径的外端并且垂直于这条半径， 由切线的判定定理，直线是的切线。 【评分标准】指出过半径外端得分；指出并引用判定定理得分（共分）。 ． 【分析】连，由切线性质，在中用勾股定理。 【详解】连接。 因为直线与相切于点， 所以（圆的切线垂直于过切点的半径）， 即。 在中，， 由勾股定理得 。 所以的长为。 【评分标准】连半径并得出垂直得分；用勾股定理求出得分（共分）。 ． ； ； 【分析】由切线性质，由切线长定理平分得，在中依次求解。 【详解】连接、。 因为切于，所以。 由切线长定理，平分， 所以。 在中，。 在中，， 所以（角所对的直角边等于斜边的一半的逆用：）。 由勾股定理得 。 【评分标准】得分；得分；得分（共分）。 ．证明见详解 【分析】连接、。由为直径得，由等腰三角形三线合一得为中点，是的中位线，，从而。 【详解】连接、。 因为是的直径， 所以（直径所对的圆周角是直角）， 即。 又， 所以是等腰三角形，是底边上的高， 由三线合一，是的中点。 因为是的中点， 所以是的中位线，。 因为，所以， 即经过半径的外端且垂直于这条半径， 由切线的判定定理，是的切线。 【评分标准】得出及为中点得分；证出得分；得出并下结论得分（共分）。 四、综合与实践 ． 相切，有且只有个公共点； 太阳未升起时 （相离）；刚接触地平线时 （相切）；升起过程中 （相交）；完全离开后 （相离）； ，有个公共点 【分析】用与的数量关系刻画三种位置关系。 【详解】因为，所以直线与相切， 直线与有且只有一个公共点（切点）。 太阳与地平线的位置变化： 太阳在地平线以下时，圆心到直线的距离，相离； 太阳刚接触地平线时，，相切（相切的那一刻看到的"半露"太阳）； 太阳升起过程中，，相交； 太阳完全离开地平线后，，又相离。 直线与相交时，。 因为是距离，满足， 此时直线与有个公共点。 【评分标准】得分；完整描述四种状态得分；写出并指出个公共点得分（共分）。 ． 作法：连接并延长，过作直线，则即为所求切线；理由：经过半径的外端且垂直于，由切线判定定理是切线； 能作条； 【分析】过圆外一点的切线有两条；中。 【详解】作法： ①连接（为圆心）； ②过点作直线（用尺规作垂直：以为圆心、 适当长为半径画弧交所在直线于两点， 再分别以这两点为圆心、大于它们距离一半的长为半径画弧， 两弧相交于一点，连接与该交点并延长得直线）。 则就是过的的切线。 理由：经过半径的外端点，且， 由切线的判定定理，是的切线。 过外一点可以作的条切线。 连接（为切点）。 由切线长定理，平分， 所以。 因为，所以。 在中，， 所以，即。 【评分标准】作法与理由各得分（共分）；得分；得分（共分）。 学科网（北京）股份有限公司 $