1.3空间向量及其运算的坐标表示课后练习 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学空间向量及其运算的坐标表示同步练，分层设计清晰，通过基础巩固与能力提升双层次，实现从概念理解到综合应用的知识进阶，培养空间观念与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|向量坐标运算、垂直判断、模长、数量积|8题基础题，选择填空为主，聚焦单一知识点，如向量垂直判定（题1）、坐标运算（题4），强化运算能力| |B级|几何体坐标表示、共面向量、动态问题、证明与计算|5题提升题，含多选、解答题，综合应用如长方体中坐标与夹角（题9）、正方体中平行证明（题11），发展空间观念与推理能力|

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 A级 必备知识基础练 1.(2026安徽阜阳高二期中)下列各组向量互相垂直的是(　　) A.a=(1,2,-1),b=(-4,3,1) B.a=(-1,0,1),b=(2,-1,1) C.a=(3,2,-1),b=(-6,-4,2) D.a=(1,3,2),b=(-2,0,1) 2.已知空间中两个点A(-2,0,2),B(-1,1,2),则向量的模是(　　) A.2 B. C. D.1 3.已知a=(1,0,1),b=(x,1,2),且a·b=3,则向量a与b的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 4.已知向量a=(1,2,3),b=(0,1,2),则2a-b=(　　) A.(2,3,4) B.(2,3,3) C.(2,5,8) D.(2,4,6) 5.在长方体OABC-O1A1B1C1中,OA=2,AB=3,AA1=2,E是BC的中点,则直线AO1与B1E所成的角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 6.(多选题)下面四个结论正确的是(　　) A.空间向量a=(1,-1,2)关于x轴对称的向量为(1,1,-2) B.若对空间中任意一点O,有,则P,A,B,C四点共面 C.已知{a,b,c}是空间的一个基底,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一个基底 D.任意向量a,b,c,满足(a·b)·c=a·(b·c) 7.已知向量a=(2,0,1),b=(0,2,-1),c=(2,4,m),若向量a,b,c共面,则实数m的值为　　　　. 8.已知向量a=(2,1,0),b=(-1,0,2),若向量a+kb与2a+3b的夹角为锐角,则实数k的取值范围是　　　　　.  B级 关键能力提升练 9.(多选题)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=5,AD=4,AA1=3,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则(　　) A.点B1的坐标为(4,5,3) B.点B关于点D对称的点为(-4,-5,0) C.=(4,-5,3) D.点B1关于x轴对称的点为(-4,5,3) 10.设O(0,0,0),A(0,1,1),B(1,0,1),点P是线段AB上的一个动点,且满足=λ,若,则实数λ的取值范围是　　　　　.  11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在线段A1D上,点Q在线段AC上,线段PQ与直线A1D和AC都垂直,求证:PQ∥BD1. 12.(2026广东高二期末)已知向量a=(-2,-1,2),b=(-1,1,2),c=(x,2,2). (1)若向量c与向量a,b共面,求实数x的值; (2)当|c|=3时,若向量ka+b与c垂直,求实数x和k的值. 13.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1D,BD的中点,G在棱CD上,且CG=CD,H为C1G的中点. (1)求证:EF⊥B1C; (2)求FH的长; (3)求异面直线EF与C1G所成角的余弦值. 参考答案 1.D　对于A,因为a·b=1×(-4)+2×3+(-1)×1=1≠0,所以a,b不垂直,故A错误; 对于B,因为a·b=(-1)×2+0×(-1)+1×1=-1≠0,所以a,b不垂直,故B错误; 对于C,因为a=(3,2,-1),b=(-6,-4,2),所以b=-2a,所以a∥b,故C错误; 对于D,因为a·b=1×(-2)+3×0+2×1=0,所以a⊥b,故D正确.故选D. 2.C　因为A(-2,0,2),B(-1,1,2),所以=(1,1,0),则||=.故选C. 3.A　由已知可得a·b=x+2=3,可得x=1,则|a|=,|b|=, 所以cos<a,b>=. 因为0°≤<a,b>≤180°,所以<a,b>=30°.故选A. 4.A　因为a=(1,2,3),所以2a=(2,4,6),则2a-b=(2-0,4-1,6-2)=(2,3,4).故选A. 5.C　以O为原点,OA,OC,OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),O1(0,0,2),B1(2,3,2),E(1,3,0), 所以=(-2,0,2),=(-1,0,-2), 所以cos<>==-, 所以直线AO1与B1E所成角的余弦值为. 6.ABC　对于A,空间向量a=(1,-1,2)关于x轴对称的向量为(1,1,-2),故A正确; 对于B,若对空间中任意一点O,有,因为=1,所以P,A,B,C四点共面,故B正确; 对于C,{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,c不共面,若m=a+c,则向量a,c,m共面,所以向量a,b,m不共面,故{a,b,m}也是空间的一个基底,故C正确; 对于D,(a·b)·c表示与c共线的向量,a·(b·c)表示与a共线的向量,而a,c的方向不确定,所以不成立,故D错误.故选ABC. 7.-1　因为向量a,b,c共面,所以存在实数x,y使得c=xa+yb,即(2,4,m)=(2x,2y,x-y). 所以解得 8.{k|k>-且k≠}　因为a=(2,1,0),b=(-1,0,2), 所以a+kb=(2-k,1,2k),2a+3b=(1,2,6). 因为向量a+kb与2a+3b的夹角为锐角,所以(a+kb)·(2a+3b)=2-k+2+12k=11k+4>0,解得k>-. 当a+kb∥2a+3b时,,解得k=. 所以实数k的取值范围为{k|k>-且k≠}. 9.ABC　根据题意知,点B1的坐标为(4,5,3),故选项A正确; 点B1关于x轴对称的点为(4,-5,-3),故选项D错误; 点B的坐标为(4,5,0),故点B关于点D对称的点为(-4,-5,0),故选项B正确; 点C的坐标为(0,5,0),点A1的坐标为(4,0,3),所以=(4,-5,3),故选项C正确.故选ABC. 10.[1-,1]　∵O(0,0,0),A(0,1,1),B(1,0,1),设P(x,y,z),∴=(1,-1,0). ∵=λ,∴(x,y-1,z-1)=(λ,-λ,0), ∴即P(λ,1-λ,1). ∴=(λ,1-λ,1),=(-λ,λ,0),=(1-λ,λ-1,0), ∴=2λ-1,=2λ2-2λ. ∵,∴2λ-1≥2λ2-2λ. 整理可得2λ2-4λ+1≤0,解得1-≤λ≤1+. 又点P是线段AB上的一个动点,且满足=λ, ∴0≤λ≤1,∴1-≤λ≤1. 11.证明以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1), ∴=(1,0,1),=(-1,1,0). 设=(a,b,c),则 取a=1,则c=-1,b=1,得=(1,1,-1). 又=(-1,-1,1),∴=-,∴. ∵PQ与BD1无交点,∴PQ∥BD1. 12.解(1)由向量c与向量a,b共面,设c=λa+μb(λ,μ∈R),则(x,2,2)=λ(-2,-1,2)+μ(-1,1,2)=(-2λ-μ,-λ+μ,2λ+2μ), 即 解得所以实数x的值为-. (2)由|c|=3,c=(x,2,2),得=3,解得x=±1. 又向量a=(-2,-1,2),b=(-1,1,2), 则ka+b=(-2k-1,1-k,2k+2). 因为向量ka+b与c垂直,则(ka+b)·c=0, 即x(-2k-1)+2(1-k)+2(2k+2)=(-2k-1)x+2k+6=0,当x=1时,有5=0,矛盾; 当x=-1时,有4k+7=0,解得k=-. 故实数x和k的值分别为-1和-. 13.(1)证明如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则E(0,0,),F(,0),C(0,1,0),B1(1,1,1), =(,-),=(-1,0,-1). 则×(-1)+×0+(-)×(-1)=0, ∴,即EF⊥B1C. (2)解∵F(,0),H(0,), ∴=(-), ∴||=, ∴FH的长为. (3)解∵C1(0,1,1),G(0,,0), ∴=(0,-,-1), ∴||=. 由(1)可知,=(,-),则×0+×(-)+(-)×(-1)=,||=, ∴|cos<>|=, 即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为. 7 学科网（北京）股份有限公司 $