1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（第3课时：二面角的向量求法）同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习以二面角的向量求法为核心，通过“例题示范-基础巩固-综合应用”分层设计，覆盖从法向量运算到复杂几何体二面角求解的完整路径，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|综合应用示例|2道例题含几何证明与二面角计算，融合梯形、菱形等复杂几何体情境| |基础夯实（选择/填空）|单一知识点应用|6单选（法向量夹角与二面角关系）、2多选（空间向量概念辨析）、3填空（正四棱锥等基础几何体），巩固运算能力| |基础夯实（解答）|综合问题解决|2道解答题含面面垂直证明、存在性探究（如第13题），发展模型观念与创新意识|

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 （第3课时：二面角的向量求法） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】如图，四棱锥中，底面是梯形，，. (1)证明:平面平面； (2)若 ,求平面与平面所成二面角的正弦值. 【答案】(1)证明：因底面是梯形，，，则， 又，平面，则平面， 又平面，故平面平面. (2) 【分析】（1）由条件先证明，得平面，再由面面垂直的判定定理即可得证； （2）根据条件建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）取的中点为，连接，因，则， 由（1）得平面，平面，则， 又平面，则平面. 过点作的平行线，交于点，则，即两两垂直， 故可以分别为轴建立空间直角坐标系. 因，由，可得， 则，. 设平面的法向量为， 因， 则，故可取， 因平面，故平面的法向量可取为， 则， 设平面与平面所成二面角的平面角为，则， 即平面与平面所成二面角的正弦值为. 【例2】如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. (1)证明：为的中点； (2)若，二面角的余弦值为，求的长. 【答案】(1) 连接交于点，连接． 因为底面为菱形，所以为的中点． 又因为平面，平面，平面平面， 所以， 所以为的中点. (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的性质得到，即可得证； （2）取中点，连接，即可得到，建立空间直角坐标，设，求出平面、平面的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可求出. 【详解】（1）略 （2）取中点，连接． 在菱形中，，所以，则为正三角形， 所以，又，所以． 又因为平面，如图建立空间直角坐标系． 设， 则，，，， 则，，， 则平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为， 则，取， 因为二面角的余弦值为， 所以，解得（负值已舍去）， 所以． 【基础夯实】 一、单选题 1．已知两平面的法向量分别为，则两平面所成的二面角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意，利用空间向量的夹角公式，求得，结合法向量所成的角与二面角的关系，即可求解. 【详解】由两个平面的法向量分别为， 可得，且， 设两平面所成的二面角为，则， 所以两平面所成的二面角或. 故选：C. 2．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二面角的向量求解公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设平面与平面的夹角为，则. 故选：D 3．如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， 所以， 因为平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 ，令， 则，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 因为为锐角，所以， 所以， 所以平面与平面的夹角的正切值为. 故选：A 【点睛】 4．在长方体中，，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法1，利用长方体的线面垂直性质找出二面角的平面角，再通过直角三角形的边角关系计算得到二面角的余弦值；法2，建立空间直角坐标系，分别求出二面角两个半平面的法向量，通过计算法向量的夹角余弦值得到二面角的余弦值. 【详解】法1：长方体中侧棱底面，因此，且， 所以二面角的平面角就是. 由题意，矩形中，，，， 由勾股定理得斜边. 在中，，即二面角的余弦值为. 法2：在长方体中，以为原点， 分别以、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 设侧棱，结合已知，， 得，，，， 而二面角的两个半平面为面和面， 而，，设是平面的法向量， 则，取，解得，得； 而，，设是平面的法向量， 则，取，解得，，即， 该二面角为锐角，设为，则. 5．如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，令， 则， 设平面的法向量为， ∵，，则， 令，则，∴， 又平面的法向量为， 故， 设平面与平面所成角为，，则， 故平面与平面夹角的正弦值为. 故选：C. 6．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 【答案】B 【分析】利用向量的夹角公式列方程求解即可 【详解】因为 所以， 因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，化简得，解得或1． 故选：B 二、多选题 7．下列说法正确的有（    ） A．若直线的方向向量与平面 的法向量垂直，则直线与平面平行 B．若直线的方向向量与平面 的法向量夹角为，则直线与平面所成角为 C．若平面 的法向量与平面的法向量垂直，则平面与平面 垂直 D．若平面 的法向量与平面的法向量夹角为，则平面 与平面的夹角为 【答案】BC 【分析】根据直线与平面平行的判定定理确定A错误，利用直线与平面所成角定义判断B正确，选项C显然正确，根据两个平面夹角的概念判断D错误. 【详解】若直线的方向向量与平面的法向量垂直，直线与平面平行或者在平面内，故A错误； 若直线的方向向量与平面的法向量夹角为，则两向量所在直线夹角为，则直线与平面的夹角为，故B正确； 若平面的法向量与平面的法向量垂直，则平面与平面垂直，选项C显然正确； 若平面的法向量和平面的法向量夹角为，则平面和平面夹角为，故D错误. 故选：BC. 8．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（    ）． A． B．与平面所成角为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．二面角的正弦值为 【答案】ABD 【分析】连接，由已知结合余弦定理与勾股定理逆定理可得，于是可建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算逐项判断即可. 【详解】连接，因为，设， 由余弦定理得， 所以，则， 则，即，又底面，底面， 所以， 如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则 对于A，所以，，则， 所以，故A正确； 对于B，又，因为底面，所以是平面的一个法向量，所以， 则与平面所成角的正弦值为，即与平面所成角为，故B正确； 对于C，， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，设平面的法向量为，则，令，则， 设平面的法向量为，则，令，则， 所以， 令二面角所成角为，则 则平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 9．若两平面的法向量，夹角的余弦值为，则两个平面的夹角为______． 【答案】 【分析】设两平面夹角为，得到，求出. 【详解】两个平面的夹角设为，则， 故. 故答案为：. 10．如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是________. 【答案】/ 【分析】连接交于，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别得到平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】连接交于， 在正四棱锥中，可得平面， 以为坐标原点， 分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系 ，如图所示，因为底边，侧棱，则高， 所以，可得， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量， 设二面角的平面角为，则， 所以二面角的余弦值为. 故答案为：. 11．如图，在直四棱柱中，，，，、分别是侧棱、上的动点，且平面与平面所成角的大小为，则线段的长的最大值为__________________ 【答案】/ 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，且不同时为，利用空间向量法可得出，即可得出的最大值. 【详解】在长方体中，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，且不同时为， 则、、，所以， 设平面的一个法向量为，则， 令，得，，则， 显然为平面的一个法向量. 因为平面与平面所成角的大小为， 所以，即，得， 所以，所以当时，取得最大值，最大值为 故答案为：. 四、解答题 12．在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据面面平行的判定定理来证明 （2）先建立空间直角坐标系，再分别求出平面和平面的法向量，最后计算夹角的余弦值. 【详解】（1）在矩形中，分别为的中点，连接，则， 在与中，易得，，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理，，因为平面，平面，所以平面， 又因平面，故平面平面. （2）以中点为坐标原点，所在直线为x轴正方向，所在直线为y轴正方向， 过点 和平面垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因，， 则，即令，则， 设平面的法向量为， 则，即令，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 13．如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，E为中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 证明：取中点记为，连接EF，CF， 则，且； ，且； 所以平行且等于CD， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为平面，平面， 所以平面. (2) 记中点为，连接，， 则四边形为正方形， 且根据勾股定理得， 所以， 则，所以. 又因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以. 又因为， 所以，且，平面， 所以平面. (3) 由（2）知，平面，且. 以为坐标原点，以，BA，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ，，，，， 设，，则， 则，，， 设平面与平面的法向量分别为和 则 令，得. 令，得. 设平面与平面的夹角为，， 则，解得. 因此存在点为的中点，使得平面与平面夹角的余弦值为. 【分析】（1）取中点记为，连接EF，CF，通过证明四边形为平行四边形，然后可证平面； （2）中点为，连接，，由勾股定理可得，结合可得 平面，即，又由即可证明平面； （3）以为坐标原点建立空间直接坐标系，设，然后利用待定系数法求出平面与平面的法向量，再利用向量的夹角公式求解方程即可. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 （第3课时：二面角的向量求法） 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】如图，四棱锥中，底面是梯形，，. (1)证明:平面平面； (2)若 ,求平面与平面所成二面角的正弦值. 【例2】如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. (1)证明：为的中点； (2)若，二面角的余弦值为，求的长. 【基础夯实】 一、单选题 1．已知两平面的法向量分别为，则两平面所成的二面角为（    ） A． B． C．或 D．或 2．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 4．在长方体中，，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 6．已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D． 二、多选题 7．下列说法正确的有（    ） A．若直线的方向向量与平面 的法向量垂直，则直线与平面平行 B．若直线的方向向量与平面 的法向量夹角为，则直线与平面所成角为 C．若平面 的法向量与平面的法向量垂直，则平面与平面 垂直 D．若平面 的法向量与平面的法向量夹角为，则平面 与平面的夹角为 8．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（    ）． A． B．与平面所成角为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．二面角的正弦值为 三、填空题 9．若两平面的法向量，夹角的余弦值为，则两个平面的夹角为______． 10．如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是________. 11．如图，在直四棱柱中，，，，、分别是侧棱、上的动点，且平面与平面所成角的大小为，则线段的长的最大值为__________________ 四、解答题 12．在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 13.如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，E为中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $