1.4.2用空间向量研究夹角问题课时作业9-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

课时作业9用空间向量研究夹角问题 一、 选择题 1.已知平面a的一个法向量 A∈a,PEa,且 PA- 则直线PA与平面C所成的角为( ) 2 π π π A.2 B.3 C.4 D.6 2.如图所示，在三棱柱ABC-4BC中，A4L底面ABC,AB=BC=A4, ∠ABC=90°，E,F分别是棱AB,BB的中点，则直线EF和BC的夹角是 ( ) C π 2 r A.6 B.4 C.3 D.2 3.如图，在长方体ABCD-AB,CD中，AB=BC=2,A4=1,则BC与平面 BB,DD所成角的正弦值为( B √6 2v6 10 A.3 B.5 C.5 D.5 4若正四棱柱ABCD-AB,CD,的体积为V5,AB=1,则直线AB与CD,所成的 角为( A.30 B.45° C.60 D.90 5.已知两平面的法向量分别为m=(0,10),方=(0,1，)，则两平面所成的二面角 为( A.45°或135° B.45° C135 D.90° 6.如图，己已知在菱形ABCD中，∠ABC=60,沿对角线AC折叠之后，使得平 面BAC⊥平面DAC,则二面角B.CD.A的余弦值为（) v3 5 A.2 B.2 C.3 D.5 7.(多选题)正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论正确的有( A.AD与BC所成的角为30 B.AC与BD所成的角为90 5 C.CB与面ACD所成角的正弦值为3 D.平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是V2 8.(多选题)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AD=4,AB=2 ，平面PAD⊥平面ABCD,△PAD为等腰直角三角形，且 ∠PAD= 2,0 为底面ABCD的中心，E为PD的中点，点F在棱PA上，若 F4=元，e[0,] P 则下列说法正确的有() B V21 A.异面直线PO与AD所成角的余弦值为7 221 B.异面直线PO与AD所成角的余弦值为21 √5 1 C若平面OEF与平面DEF夹角的正弦值为5，则2 5 D.若平面OEF与平面DEF夹角的正弦值为5，则 2 二、填空题 9.如图，在长方体ABCD-ABCD中，AD=AA=1,AB=2,点E在棱AB π 上.若二面角D.EC.D的大小为4，则AE= C B B 10.如图，已知四棱锥P.ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形， PA=PD=V5,平面ABCD⊥平面PAD,M是PC的中点，O是AD的中 点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是 11.已知在三棱锥A.BCD中，∠BAC=∠BDC=6O°，平面ABC⊥平面BCD, 当三棱锥A.BCD的体积为最大值时，则AB与CD所成角的余弦值为 12.如图，在直三棱柱ABC-ABG中，若∠ACB=90°，A4=AC=BC=1, 则异面直线BC与AB所成角为 ;二面角A.BC.C的余弦值是 C 三、解答题 13.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,PA=AD=CD=2, BC=3,PC=2V3,E为PB中点， ,求证：四边形ABCD是直 角梯形，并求直线AE与平面PCD所成角的正弦值， 从①CD⊥BC;②BC‖平面PAD这两个条件中选一个，补充在上面的横 线处，并完成证明. B 14.如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，AB⊥AC,AB=AC=2,AA=4,D 是BC的中点. ()求异面直线4B,AC所成角的余弦值： (2)求直线AB,与平面C4D所成角的正弦值 A C B A B 15.已知在四棱锥P.ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形， ∠DAB=60°，PA=AB=AD=2,E是棱PC上一点，如图所示， (I)求证：平面PAC⊥平面BDE; (2)当E为PC中点时，求二面角A-BE-D的余弦值： (3)当直线BE与平面PAC所成的角为45°时，求CE的长. E y B 参考答案 1.B 2.C 3D解析：如图所示， 2 D Ci A D B 建立空间直角坐标系，尉点D(0,0,0),A(20,0)B(2,2,0)C(0,2,0)C(02,1) 所以BC=(（-2,0,1) 连接AC,易证AC⊥平面BB,DD,所以平面B,DD的一个法向量 ā=AC=(-2,2,0)所以所求角的正孩值为 cos-a.BC a.BC 410 a BC ⑧x55 4C解折：因为正四技程ABCD-AB,CD的体积为V5,AB=1,所以A4=V5,以D为 原点，分别以DA,DC,DD所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图 所示， D A B 则点4,0，o)B(L5).c0,10)D(0,0,) AB=(0,1v5)CD=(0,-l,v5) AB·CD 2 cos0= -1 设直线4B与CD所成的角为日，则 AB CD V4xV42 0°<0≤90°，所以0=60，所以直线4AB与CD所成的角为60°故选C 5A解折：因为两平西的法向量分别为m=(0,10),方=(0,1，)，测两平面所成的二西角与 cos<m,n > m.n 。12 <m,方>相等或互补因为 m元列1√22 ,所以<m,万>45”故 两平面所成的二面角为45°或135°.故选A 6.D解析：如图， 13 B A 取AC的中点E,分别以EA,ED,EB所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐 标系，设菱形ABCD的边长为2，则，点4(10,0)C(-1,0,0)D(0,V3,0) B(0,0,V3) 设年西BCD的-个法向量i=(化），因为BC=(l0,-) -x-3z=0, BD-05,同)所a5y-Bz=0◇2=5.到y5x=-3平 i=(35,）千西4CD的-个法向量为丽=(0,0，同)个二百两8-CD-A n.EB cose= 35 的夹角为日，则 EBv15×55 ,因为二面角B-CD-A为锐二面 cosB⑤ 角，所 5故选D, 7BD解析：取BD的中点O,连接AO,CO,则AO⊥BD,因为正方形ABCD沿对角线BD 折成直二面角，故平面ABD⊥平面BCD,而平面ABD∩平面BCD=BD,AOC平 面ABD,故AOL平面BCD.所以以O为原点，OC所在直线为x轴、OD所在直线 为'轴、OA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示。 设0C=1,则点A(00,)B(0,-1,0)C(1,0,0)D(01,0) BA=(01,1)AD=(0,1,-1)BC=(11,0) os<AD,BC>= AD.BC 1 1 AC=(1,0-)BD=(0,20).因为 AD刚BCV2xV22 <而C>到*以C 3,所以异面直线AD与BC所成的角为60 ,故A错误因为AC·BD=0,所以AC⊥BD,故B正确 设平面ACD的法向量7=(：，2)，则 7.AC=x-z=0, 7D=y-z=0,取2=1得x=1,y=1,所以=(，1)足平西ACD的-个法向 量，设直线BC与平面ACD所成角为日，则 BC.i sine=cos<BC,1 > 2 -V6 BCT2×33 ,故C错误 易知平面BCD的一个法向量=(0,01)，设平面ABC的-个法向量m=(K,八) m-B1=y+2=0=1 则mBC=+=0,,得y=-1,￡=1，所以m=(-1),茨两个平面的夹 mi1 cosa =cos<m,i>= 角为(C为锐角)，则 同sina=v6 ,tana=√2 所以平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是√2，故D正确.故选BD. ∠PAD=Z 8BC解析：因 2,所以PA⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩ 平面ABCD=AD,PAC平面PAD,所以PA⊥平面ABCD 因为底面ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两垂直以A为原点，AB,AD,AP所在 直线分别为X轴、Y轴、2轴，建立空问直角坐标系，如图所示 则&4(0,0.0)B(2,00),C(2L,0),D(0,40)P(0,04所以Po=(2,4) PO.AD 8 2√21 AD=(0,40),所以 os<PO,AD>= POAD V12+22+(-4)2×4 21 2W21 所以异面直线PO与AD所成角的余弦值为21，故A错误，B正确. 由题意知，点E(0,2,2),4B1平面PAD,取平面PAD的-个法向量m=(L0,0),因 P九PH4以FA4F0,420A条60BF OE=0, 法向量为i=(,y2）,易知0正=(-10,2)F而=(L2,42),则F而.万=0即 -x+2z=0, x+2y-42z=0. 令x=2,则平面0EF的一个法向量为i=(2,21-1,) √5 又平面OEF与平面DEF夹角的正弦值为5， _25 所以 、而 cos<m,> m列 2 m州元V4+(2元-1)2+1 2 V5 1 所以V4+(21-02+15 = ,解得2，故C正确，D错误故选BC. 92-V5 8√⑧5 10.85解析：取BC中点，连接O0,以0为坐标原点，OA,O0,OP分别为x轴、y 轴、2轴，建立空间直角坐标系，如图所示， M D CC-2)P(0.)) 因此 -(专at0a的- i(x,y,z)(0,0,2)=0, i(-1,2,0)=0, z=0, 所以x=2少取元=(21,0) cos<BM,>- -3-1 885 85 因此直线BM与平面PCO所成角的正弦值是 1.4解析：设，点A到平面BCD的距离为h,点D到平面ABC的距离为h, 又在三枝维A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD, 2 1 VA-BCD=3 BC=Thl.BC 所 又∠BAC=∠BDC=60°，考虑圆的一条弦对应的圆周角相等，当两边相等等顶点到 底边距离最大，由题意可知，当AB=AC,DB=CD时，三枝维A-BCD的体积最大， 此时，△ABC与△BDC是等边三角形，如图1所示. D X D 图1 图2 取BC的中点O,连接AO,DO,则AO⊥BC,DO⊥BC 又平面ABC⊥平面BCD,则A0,D0,BC两两互相垂直， 以0为坐标原点0D,0C,01所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立室问直角坐标 系，如图2所示 设Bc=2a,则40,0，v5a),B0,-a.0)C0a.0)DV5a0,0) 则4B-(0,-a,v5a)c而=(5a,-a,0 ,所以 Cos<AB,CD>= Va+3a2v3a2+a 4 即AB与CD所成角的余弦值为4 π√ 12.3:3解折在直三校程ABC-ABC中，∠ACB=90°，所以CC1BC,CC1AC ,AC⊥BC如图，以C为坐标原，点，CA,CB,CC所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系，如图所示。 B 则点4,00)B(0,10)C(00,0),C(00,1B(0,1 所以BC=(0,-1,)A8=(1,10)4B=（-1,11) cos<BC,4B > BC·AB, 1 BC AB 2 所以 ,所以异面直线BC与4B所成角为3 设平面4BC的法向量i=(化y2)】 i.BC=0,「-y+z=0, 对元：AB=0,即-x+y=0令y=1,则平面ABC的-个法向量为i=(L1,显 n.m cos<,m > 13 然平面CBC的一个法向量m=(L0,0), m3×13 ,故二面 ,5 角A-BC-C的余弦值足3. 13.证明：选择①.因为PA上平面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥CD.因为 PA=AD=CD=2,所以PD=2W2 又PC=2V3,所以CD2+PD=PC2,得CD⊥PD 又PAOPD=P,所以CD⊥平面PAD,则CD⊥AD 又CD LBC,所以AD‖BC所以四边形ABCD是直角梯形 过点A作AD的垂线交BC于点M.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AM, PA⊥AD 如图，以A为原点，AM,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐 标系Agz 则点A(0,0,0),B(2-10)C(2,2,0)D(0,20)P0,0,2) 因为E为PB的中点，所以 2-（2c-22 所 PD=(0,22).设平面PCD的-个法向量为i=(,y2） i.PC=2x+2y-2z=0, 则i-PD=2y-2z=0,令y=1,则平面PCD的-个法向量为i=(0,1,) 设直线AE与平面PCD所成的角为，所以 1 ×1+1×1 sina =cos<n,E>- 6 V2 所以直线AE与平面PCD所成角的正弦值为6 选择②.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥CD 因为PA=AD=CD=2,所以PD=2V2 因为PC=2V5,CD2+PD2=PC2,所以CD1PD 因为PA∩PD=P,所以CD⊥平面PAD,则CD⊥AD 因为BCI‖平面PAD,BCC平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,所以 BC‖AD,则四边形ABCD是直角梯形.求直线AE与平面PCD所成角的正弦值，与 选择①时方法相同. 14.解：如图所示， A B C 以A为原点，AB,AC,A4所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系 A2,则点B(20,0)4(0,0,4)G(0,24)D1,00) -16 4 048=(204)4C=o,24)所以 Cos<AB,AC>=- 20×√205 4 故异面直线4B和1C所成角的余弦值为5】 包8=(2,04)，D=(,10),设平西C4D的-个法向量i=(化y2列则 iAC=0, 2y+4z=0, i:AD=0,即x+y=0,取x=1,得平面CAD的一个法向量为 -》 sin-co 设直线AB与平面C4D所成角为日， 4v5 所以直线AB与平面CAD所成角的正弦值为15 15.()证明：因为平行四边形ABCD中，AB=AD, 所以平行四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD 因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD 又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC 所以平面PAC⊥平面BDE 2)解：在平面ABCD内，过点A作A0‖BD,则A01AC,因为PA1平面ABCD, A0C平面ABCD,所以PA1A如图，建立空间直角坐标系， 则，点40,0.0)，Bv5.0C0,25,0)D(-h,V5.0）P0,02) 当E为PC中点时E0,V5, 所以亚=05，，B=v5.0)8D-(2,00)E=(←10,1） 设平面ABE的一个法向量%=(，，马)】 V3y+名1=0， 则(x+V5y=0. 令=V5得片=-，名=5，所以平面ABE的一个法向量为 =(V5,-山，5 设平面DBE的一个法向量%=(3，)】 ∫-2x2=0, 则（-戈3+32=0. 则5=3=0，令为=1，则平面DBE的-个法向受为元=(0,1L,0) n'n cos<m,n2= 山⑦ 所以 网万7 √7 因为二面角A-BE-D为锐二面角，所以二面角A-BE-D的余弦值为7， 6)解：设C匠=2CP(0≤1≤1)则 BE=BC+2CF=(1,N5,0+0,-25,2=(-1,v5-2W3,22 四得，BDL年西P1C.所以平面PAC的一个法向量BD=(-20,0) 孤矿号m同 BD.BE 2 2 2 2 即2W1+(v5-232+(2ay 2 所以l+(N5-2V32+(2)}2=2,即1622-121+2=0， 1 入2=2 解得 4 2 CE-1CP-1 CE-10 CP=2 所以4 或2