1.1.2空间向量的数量积运算 同步练 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 同步练习聚焦空间向量数量积运算，通过基础到综合的三层设计，覆盖概念理解、运算应用及空间几何综合问题，适配新授课巩固与能力提升，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|数量积基本运算、模长计算|选择题1-3、填空题8-9，直接应用定义与公式，强化概念理解| |能力提升|投影向量、最值问题、共面判断|选择题4-5、多选题6-7，结合正四面体、平行六面体，考查空间想象与逻辑推理| |综合应用|向量表示与数量积综合计算|解答题10-11，需多步转化与数学语言表达，提升综合应用能力|

1.1.2空间向量的数量积运算 同步练习 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 一．选择题（共5小题） 1．棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 2．在棱长均相等的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝∠DAB＝60°，则向量在向量上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝AB＝2，，则（　　） A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．4 4．已知正四面体P﹣ABC，棱长，Q为空间中一点，PQ＝1，求的最大值是（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 5．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，CD＝CC1＝2，M是A1C1和B1D1的交点，则（　　） A．8 B．6 C．0 D．﹣4 二．多选题（共2小题） （多选）6．已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均为2，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，点P在线段CD1上，如图所示，则（　　） A． B．BD⊥平面ACC1A1 C．四边形BDD1B1为正方形 D．的最小值为 （多选）7．在棱长均为1的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠A1AB＝∠A1AC＝∠BAC＝60°，点P满足，其中x，y，z∈[0，1]，则下列说法正确的是（　　） A．当点P为棱B1C1的中点时， B．当x+y+z＝1时，P，A1，B，C四点共面 C．当x＝y时， D．当x+y＝1时，△PAA1面积的最小值为 三．填空题（共2小题） 8．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，AB＝AD＝AA1＝1，则AC1的长为 　 　 ． 9．在三棱锥O﹣ABC中，∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝60°，OB＝OC＝2OA＝2，E为OC的中点，则等于　 　 ． 四．解答题（共2小题） 10．如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1所有的棱长均为2，∠DAB＝∠DAA1＝∠A1AB＝60°，，E为A1D1的中点，设，，． （1）用，，表示，； （2）求的值． 11．如图，在空间四边形OABC中，已知OA＝OC＝4，OB＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，点D、E分别为BC、AD的中点，设，，． （1）试用向量表示向量； （2）求的值． 1.1.2空间向量的数量积运算 同步练习 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 1．棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 【解答】解：，所以2×1×cos120°＝1． 故选：A． 2．在棱长均相等的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝∠DAB＝60°，则向量在向量上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设棱长均相等的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为a，根据平面向量的性质可知， 且，根据题意可知，∠A1AB＝∠A1AD＝∠DAB＝60°， 所以a×a×cos60°+a×a×cos60°+a2＝2a2， 根据投影向量公式可知，投影向量为． 故选：D． 3．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝AB＝2，，则（　　） A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．4 【解答】解：由题意，，， 因为AA1＝AD＝AB＝2，， 所以 ． 故选：C． 4．已知正四面体P﹣ABC，棱长，Q为空间中一点，PQ＝1，求的最大值是（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【解答】解：因为正四面体P﹣ABC的棱长，记AB的中点为M， 所以PM2＝PA2﹣AM2＝12﹣3＝9，所以PM＝3， 又因为PQ＝1，所以Q是以P为球心，1为半径的球面上的点， 所以QM≤3+1＝4， 因为， 所以， 所以的最大值是13． 故选：D． 5．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，CD＝CC1＝2，M是A1C1和B1D1的交点，则（　　） A．8 B．6 C．0 D．﹣4 【解答】解：由题意，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，CD＝CC1＝2，M是A1C1和B1D1的交点， 令，，， 可得，， 可得， 可得， 可得 ， 可得 ＝8． 故选：A． 二．多选题（共2小题） （多选）6．已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均为2，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，点P在线段CD1上，如图所示，则（　　） A． B．BD⊥平面ACC1A1 C．四边形BDD1B1为正方形 D．的最小值为 【解答】解：对于A，，所以2•2•2• ＝4+4+4+2×2×22×2×22×2×224，||＝2，选项A错误； 对于B，•（）•••0，所以⊥，即BD⊥AA1， 又BD⊥AC，且AC∩AA1＝A，所以BD⊥平面ACC1A1，选项B正确； 对于C，因为BD⊥AA1，AA1∥BB1，所以BD⊥BB1，又因为BD＝DD1＝B1D1＝BB1，所以四边形BDD1B1是正方形，选项C正确； 对于D，设λ，λ∈[0，1]，所以λ（）＝（1﹣λ）λ，λλ， 所以••[（1﹣λ）λ]（λλ） ＝λ（1﹣λ）•λ（1﹣λ）λ•λ•λ2λ2• ＝2λ（1﹣λ）﹣4λ（1﹣λ）+2λ﹣2λ+4λ2﹣2λ2＝4λ2﹣2λ，λ时取得最小值，选项D正确． 故选：BCD． （多选）7．在棱长均为1的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠A1AB＝∠A1AC＝∠BAC＝60°，点P满足，其中x，y，z∈[0，1]，则下列说法正确的是（　　） A．当点P为棱B1C1的中点时， B．当x+y+z＝1时，P，A1，B，C四点共面 C．当x＝y时， D．当x+y＝1时，△PAA1面积的最小值为 【解答】解：由题意，在棱长均为1的三棱柱ABC﹣A1B1C1中， ∠A1AB＝∠A1AC＝∠BAC＝60°，点P满足，其中x，y，z∈[0，1]， 对于选项A，当点P为棱B1C1的中点时， ， 所以，，z＝1，所以x+y+z＝2，故选项A错误； 对于选项B，当x+y+z＝1时，， 所以，即， 所以P，A1，B，C四点共面，故选项B正确； 因为棱长均为1的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠A1AB＝∠A1AC＝∠BAC＝60°， 所以， 对于选项C，当x＝y时， 可得 ，故选项C正确； 对于选项D，当x+y＝1时， ＝（x+y）2+z2﹣xy+（x+y）z＝1+z2﹣xy+z， 所以， 所以点P到AA1的距离， 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以△PAA1的面积， 即△PAA1面积的最小值为，故选项D正确． 故选：BCD． 三．填空题（共2小题） 8．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，AB＝AD＝AA1＝1，则AC1的长为 　　 ． 【解答】解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，AB＝AD＝AA1＝1， 可得•||•||cos∠BAD＝1×1，同理可得••， ， 所以2222+2•2•2•1+1+1+2226， 所以||． 故答案为：． 9．在三棱锥O﹣ABC中，∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝60°，OB＝OC＝2OA＝2，E为OC的中点，则等于　1　 ． 【解答】解：由题意在三棱锥O﹣ABC中，∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝60°，OB＝OC＝2OA＝2，E为OC的中点， 所以，， 因为，， 可得 ＝2﹣1﹣1+1 ＝1． 故答案为：1． 四．解答题（共2小题） 10．如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1所有的棱长均为2，∠DAB＝∠DAA1＝∠A1AB＝60°，，E为A1D1的中点，设，，． （1）用，，表示，； （2）求的值． 【解答】解：（1）由题可得：，因此， 又因为E为A1D1的中点，，因此． （2）由（1）可知，， 又棱长均为2，∠DAB＝∠DAA1＝∠A1AB＝60°， 可得，， 所以． 故． 11．如图，在空间四边形OABC中，已知OA＝OC＝4，OB＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，点D、E分别为BC、AD的中点，设，，． （1）试用向量表示向量； （2）求的值． 【解答】解：（1）因为点D、E分别为BC、AD的中点， 所以； （2）因为OA＝OC＝4，OB＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°， 所以，，， 因为， 所以 ． 所以． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/8/22 13:07:38；用户：曙光；邮箱：15046884347；学号：19101398 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $