1.1.2　空间向量的数量积运算 同步练习题-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过“基础夯实+例题精练”分层设计，以空间向量数量积运算为核心，构建从定义应用到几何体综合求解的巩固路径，培养数学思维与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础夯实|数量积计算、投影向量、模长等单一知识点|单选/多选/填空覆盖基础考点，解答题初步应用，夯实运算能力| |例题精练|长方体、正方体、正四面体中的数量积综合应用|结合典型几何体设置阶梯式问题，示范推理过程，提升空间观念|

1.1.2　空间向量的数量积运算 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】已知长方体中，，为侧面的中心，为的中点.求： (1)； (2)； (3)的长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将分别用表示，再根据数量积的运算律即可得解； （2）将分别用表示，再根据数量积的运算律即可得解； （3）将用表示，再根据数量积的运算律即可得解. 【详解】（1）如图所示， 因为为侧面的中心， 所以点为的交点， ， 则 ； （2）， ， 则 ； （3）， 则 . 【例2】如图，已知正方体的棱长为1，M和N分别是和的中点．    (1)求的值； (2)求证：； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由向量的线性运算及数量积的运算律计算即得； （2）计算得到即可证明. 【详解】（1）正方体中，，， 有，， 所以. （2）证明：正方体中，，， 有，， 因为M和N分别是和的中点，则N为的中点， 所以且，即， 则有， 所以． 【例3】已知正四面体的棱长为1，如图所示.求： (1)； (2). 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据题意易得，，进而根据空间向量的数量积计算即可； （2）根据空间向量的数量积的运算性质求解即可. 【详解】（1）在正四面体中，， ， 则. （2） . 【基础夯实】 一、单选题 1．已知向量和的夹角为，且，则等于 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵向量和的夹角为，且， ∴，故选D． 2．在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】借助空间向量线性运算与数量积公式，结合正三棱柱性质计算即可得. 【详解】 . 3．在正方体中，为中点，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先建立空间直角坐标系，并用坐标表示向量 和 ，再求出空间向量的点积及模长，最后运用向量在另一向量上的投影向量公式求解即可. 【详解】 设正方体棱长为 ，且 为 中点，并以 为原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以， ， 所以， ， 所以向量在向量上的投影向量为：. 故选：D. 4．在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的夹角余弦公式计算求解. 【详解】设的棱长为2，分别是的中点， 则，夹角为，所以， 则， 又为边长为2的等边三角形，， 故选:C． 5．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算及数量积运算求解． 【详解】由题意可得， 以顶点为端点的三条棱长均为6，, ,得 ， ， 则： . 故选：C 6．如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（   ） A．12 B． C．16 D． 【答案】B 【分析】由平面可得，再结合空间向量的线性运算、数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】由平面，平面，得， 由题可知， . 故选：B 二、多选题 7．已知是正方体，以下正确命题有（    ） A． B． C．向量与向量的夹角为 D．正方体的体积为 【答案】AB 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算法则，空间向量的数量积的运算，结合正方体的几何结构，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由空间向量的运算法则，可得： ，所以A正确； 对于B中，在正方体中，可得平面， 因为平面，所以， 又因为，且，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以，所以B正确； 对于C中，在正方体中，可得平面， 因为平面，所以，所以， 所以向量与所成的角为，所以C错误； 对于D中，在正方体中，可得， 该正方体的体积为，所以D错误. 故选：AB. 8．正方体的棱长为1，体对角线与，相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律结合正方体的性质即得. 【详解】方法一：，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误； 方法二： ，故A正确； 由正方体的性质可知，，， ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：AC． 9．在正方体中，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意画出几何体，再由平面向量的加法运算逐一分析四个选项得答案. 【详解】如图，    对于A, , 故 A 正确; 对于B，， 易知，则为等边三角形, ，即 ，故 B 正确; 对于C, ， 故 C错误; 对于D，，故 D正确. 故选: ABD. 三、填空题 10．已知空间中的单位向量，其两两夹角均为，则___________． 【答案】 【分析】利用向量模长公式，结合数量积的性质计算即可. 【详解】由已知，， 所以， 所以 所以， 故答案为：. 11．若线段，在平面内，，，且，，，则______． 【答案】4 【分析】由线面垂直得到线线垂直，由两边平方，根据空间向量数量积公式可得，求出答案. 【详解】因为，线段，在平面内，所以， ，又， 所以 ， 所以． 故答案为：4 12．已知正方体的棱长为1，若动点在线段上运动，则的最大值是_________． 【答案】1 【分析】利用空间向量基底法结合数量积公式计算即可. 【详解】依题意，设，其中， . 因此的最大值是1. 故答案为：1. 四、解答题 13．如图，四棱锥的各棱长都为． (1)用向量法证明； (2)求的值． 【答案】 (1)证明：设AC、BD交于点O，连接PO，如图所示： 四棱锥P﹣ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝a， ∴四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，且OA＝OC，即⊥，0； 又PB＝PD＝a，∴PO⊥BD，即⊥，0， ∴()＝0，即0， ∴⊥，即BD⊥PC； (2)． 【分析】(1)根据题意得出四边形ABCD是菱形，得到；是等腰三角形，，然后利用平面向量的数量积求出，即证； (2)根据题意，利用，求出，的大小，结合空间向量的数量积公式即可求出模长． 【详解】(1)略 (2)根据题意，四棱锥P﹣ABCD是棱长相等的正四棱锥，且AB＝a， ∴顶点P在底面的射影是正方形ABCD的中心O， 在Rt△POC中，PC＝a，OCa， ∴OP＝OCa， ∴∠ACP，，， ∴2•2a×a×cosa2＝5a2； ∴||a． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.2　空间向量的数量积运算 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】已知长方体中，，为侧面的中心，为的中点.求： (1)； (2)； (3)的长. 【例2】如图，已知正方体的棱长为1，M和N分别是和的中点．    (1)求的值； (2)求证：； 【例3】已知正四面体的棱长为1，如图所示.求： (1)； (2). 【基础夯实】 一、单选题 1．已知向量和的夹角为，且，则等于 A． B． C． D． 2．在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．在正方体中，为中点，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 6．如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（   ） A．12 B． C．16 D． 二、多选题 7．已知是正方体，以下正确命题有（    ） A． B． C．向量与向量的夹角为 D．正方体的体积为 8．正方体的棱长为1，体对角线与，相交于点，则（    ） A． B． C． D． 9．在正方体中，设，，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．已知空间中的单位向量，其两两夹角均为，则___________． 11．若线段，在平面内，，，且，，，则______． 12．已知正方体的棱长为1，若动点在线段上运动，则的最大值是_________． 四、解答题 13．如图，四棱锥的各棱长都为． (1)用向量法证明； (2)求的值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $