第四章指数函数与对数函数单元复习作业设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

作业设计大赛参选作品 ——《指数函数与对数函数单元复习作业》 目录 1、 单元简介............................................1 二、4.1指数.............................................1 三、4.2指数函数（第一课时）.............................5 四、4.2指数函数（第二课时）............................11 五、4.3对数............................................16 六、4.4对数函数（第一课时）............................20 七、4.4对数函数（第二课时）............................24 八、4.5函数的应用（二）（第一课时）....................29 九、4.5函数的应用（二）（第二课时）....................35 十、第四章单元作业设计..................................42 第四章《指数函数与对数函数》 一、单元信息 基本信息 年级 教材版本 单元名称 高一 人教A版 必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 章节信息 4.1 指数——共42分钟 4.2 指数函数（共二课时）——课时1共35分钟，课时2共40分钟 4.3 对数——共45分钟 4.4 对数函数（共二课时）——课时1共35分钟，课时2共40分钟 4.5 函数的应用（二）（共二课时）——每课时各45分钟 章末单元作业——共65分钟 二、学情分析 学生在第三章已系统学习函数的概念与性质，具备利用图象研究函数性质的基本经验，为本章学习奠定了一定基础.但高一学生的抽象概括能力与数形结合能力尚在形成之中，主要存在以下困难：一是对分数指数幂、对数运算及换底公式的掌握不够熟练，运算能力有待加强；二是对指数函数与对数函数互为反函数、图象关于直线 对称这一抽象关系的理解存在困难；三是对“定义域为 ”与“值域为 ”两类含参问题容易混淆；四是运用零点存在定理时，对“存在性”与“唯一性”的论证不够严密.因此，作业设计需分层递进，兼顾基础巩固与能力提升. 三、作业目标 本单元作业围绕“指数函数与对数函数”展开，旨在引导学生：①熟练掌握指数运算与对数运算，理解指数与对数的互化关系，能运用运算性质与换底公式进行化简求值；②理解指数函数与对数函数的概念、图象与性质，能运用其单调性解决比较大小、求值域、求参数范围等问题；③理解函数零点与方程的解的关系，能运用零点存在定理并结合单调性判断零点个数；④能建立指数型、对数型函数模型解决简单的实际问题，体会函数模型的应用价值.在解题过程中发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模等核心素养. 四、作业设计思路 分层式作业 侧重点 目标要求 基础性作业 侧重概念理解及基础掌握 全体学生完成 巩固性作业 强化知识内容掌握，构建知识框架，注重应用 中层及以上学生全部完成，下层学生通过教师讲解可理解 提升性作业 体现探究性、综合性、实践性，挂钩热门考点 上层学生挑战完成，其他学生选择性完成 4.1 指数 作业1．基础性作业（时间要求：12分钟） 1．（多选）下列各式正确的是（　　） A．　　 B． C． 的 次方根是 　　D． 【答案】AD 【参考解答】A 选项，，故 A 正确； B 中，，故 B 错误；C 中， 的 次方根只有一个，为 ，故 C 错误； D 中，，故 D 正确．故选 AD． 【设计意图】 本题以 次方根与根式化简为载体，考查奇次方根的唯一性、偶次方根的双值性与算术根的非负性。解题需经历“逐项还原根式—依据方根定义判断正负—用绝对值刻画偶次算术根”的过程，发展数学抽象与数学运算素养，渗透分类辨析与化归的思想方法。批改中应重点关注 的符号处理，这是学生由“开方得负”的错误直觉走向“算术根非负”的关键节点。 【核心素养】 ☑数学抽象　☐逻辑推理　☐直观想象　☑数学运算　☐数学建模　☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能准确区分奇次方根与偶次方根，逐项写出化简依据；对 能说明“先平方再开方须加绝对值”的理由；多选不漏选、不多选，判断完整。 良好 能判断出 A、D 两项，对 B 项的符号错误有所察觉，但尚未能用“算术根非负”把理由说清，导致漏选或多选。 合格 知道方根的含义并会化简简单根式，但在 与 的取舍上混淆，反映出“方根”与“算术根”两个概念尚未区分清楚。 待提高 不能正确复述方根的定义，化简时以“开方得负”的直觉代替符号判断，需回到教材重新梳理定义与符号规则。 2．【改编自人教A版课本习题4.1第4题】用分数指数幂表示 （）的结果为______． 【答案】 【参考解答】由根式与分数指数幂的互化，，故 ． 于是 ． 【设计意图】 本题以嵌套根式的化简为载体，考查根式与分数指数幂的互化及幂的运算性质。求解需经历“由内向外逐层化指数—同底幂相加—幂的乘方相乘”的转化过程，体现数学抽象与数学运算素养，渗透化归与整体的思想方法。本题能有效诊断学生是否真正理解“根式即分数指数幂”这一本质，还是仅靠公式的机械记忆。 【核心素养】 ☑数学抽象　☐逻辑推理　☐直观想象　☑数学运算　☐数学建模　☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能自主确定化简顺序，准确完成 、、 的全过程，指数运算无误、书写规范。 良好 转化方向正确，能由内层根式写出分数指数，但在指数相加或相乘时出现失误，如写成 或 。 合格 知道根式与分数指数幂可以互化，但面对嵌套结构不会确定处理顺序，只能化简外层而中途停步。 待提高 记不清 的对应关系，需回到方根定义重建“根式—指数”的双向联系。 3．【改编自24-25高一上·四川成都·开学考试】某市为改善人居环境，计划每年将绿化面积在上一年的基础上增加 ．若该市现有绿化面积 万平方米，则经过 年后绿化面积 （万平方米）与 的函数关系式为______． 【答案】（） 【参考解答】经过 年后，绿化面积为 ； 经过 年后，绿化面积为 ； 依此类推，经过 年后，绿化面积 （）． 【设计意图】 本题以城市绿化面积增长为真实情境，考查从“比上年增长 ”这一描述中抽象出指数型增长模型的能力，指向数学建模与数学运算素养。解题需经历“逐年递推—发现规律—用指数幂概括 年的结果”的归纳过程，渗透特殊到一般的思想方法。教学中可借此帮助学生理解底数 表示“每年为上年的 倍”，并与 这一线性模型作辨析。 【核心素养】 ☐数学抽象　☐逻辑推理　☐直观想象　☑数学运算　☑数学建模　☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能从第 1 年、第 2 年的具体计算中发现“每乘一次 ”的递推规律，正确写出 ，并能说明 取非负整数、底数 的实际意义。 良好 能写出含 的关系式，但把指数写成 ，或在“增长 ”与“增长到原来的 ”之间理解偏差。 合格 能算出 1 年后、2 年后的绿化面积，但未能把结果推广到任意 年，思维仍停留在算术层面。 待提高 把“每年在上一年基础上增长”误作线性增长 ，说明指数增长与线性增长尚未区分，需借助数据表或递推过程强化理解。 作业2．巩固性作业（时间要求：14分钟） 1．【改编自人教A版课本4.1例4】化简：（，）． 【答案】 【参考解答】分子 ．原式 ． 【设计意图】 本题考查同底数幂乘除运算性质的运用，指向数学运算素养。求解需把握“系数与字母分别运算”的结构化策略：先算系数 ，再按同底幂指数相加、相减处理 、。这体现了代数运算中分类处理的合理性与目的性，也有助于学生形成“先观察结构、再选择顺序”的良好运算习惯。 【核心素养】 ☐数学抽象　☐逻辑推理　☐直观想象　☑数学运算　☐数学建模　☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能主动分离系数与字母分别运算， 的指数 与 的指数 计算准确，结果化为最简 ，过程条理清晰。 良好 运算思路正确，能完成系数运算与 的指数处理，但 的指数相减或 的处理有疏漏，结果仍留有 的幂。 合格 知道同底幂相乘、相除的法则，但面对分数指数时通分不熟练，出现计算错误。 待提高 分不清指数相加与相乘的适用情形，或把系数与指数混在一起运算，需回到幂的运算法则逐条辨析。 2．【改编自26-27高一上·全国·课堂例题】已知 ，，求 的值． 【答案】 【参考解答】设 （），由 得 ，故 ． 由立方和公式，． 因为 ，所以原式 ． 【设计意图】 本题以 为条件考查整体代换思想与立方和公式的运用，指向数学抽象与数学运算素养。解题的关键是把 视为一个整体，将所求式识别为“立方和除以和”的结构，从而约去 ，实现由未知向已知的化归，充分体现转化与整体的思想方法。本题的诊断价值在于区分“会算”与“会看结构”。 【核心素养】 ☑数学抽象　☐逻辑推理　☐直观想象　☑数学运算　☐数学建模　☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能主动设 完成形式化归，准确识别 的立方和结构，约分后代入 、 得 ，逻辑严密。 良好 能正确换元并写出 的等价信息，但因未识别立方和公式而绕行，计算冗长或在中间步骤受阻。 合格 能由 求出 的平方等部分量，但不清楚分子与分母之间的因式关系，无法完成约分。 待提高 面对 、 无从下手，未意识到“把指数式看成整体”的必要性，需补充因式分解与整体代换的专项训练。 3．设 ，化简：． 【答案】 【参考解答】原式 ． 当 时，，原式 ； 当 时，，原式 ． 综上，原式 ． 【设计意图】 本题考查根式化简中的分类讨论，辨析偶次根式开方后须加绝对值、奇次根式开方不需加绝对值，指向逻辑推理与数学运算素养。解题需经历“识别根式次数—化为 与 —按 的符号分类去绝对值—用分段函数规范表达”的完整过程，是训练分类讨论“不重不漏”的优良素材。 【核心素养】 ☐数学抽象　☑逻辑推理　☐直观想象　☑数学运算　☐数学建模　☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能准确区分奇、偶次根式的开方规则，以 为分界完整讨论两种情形，结果用分段函数规范书写，并能说明分类的依据与完整性。 良好 知道偶次根式需加绝对值并能写出 ，但分类时临界值归入哪一段或 情形下 的符号处理有疏漏。 合格 能化为 并意识到需要讨论，但只讨论了一种情形，分类不完整，结论写成单一的表达式。 待提高 直接把 写成 ，忽略绝对值，暴露出对“算术根非负”的理解缺陷，需重做基础练习。 作业3．提升性作业（时间要求：16分钟） 1．【改编自2026·重庆渝中·模拟预测 】某科研团队监测某湖泊中一种藻类的密度，发现其密度与时间的关系满足 （， 且 ， 的单位为天）．已知第 天该藻类密度为 个单位，第 天为 个单位． （1）求 与 的值； （2）求第 天该藻类的密度． 【答案】（1），；（2） 个单位 【参考解答】（1）由题意得 ②①得 ，故 ，代入①得 ，解得 ． 所以 ． （2）当 时，． 即第 天该藻类的密度为 个单位． 【设计意图】 本题以湖泊藻类密度监测为真实情境，考查由两组数据确定指数模型参数的完整建模过程，指向数学建模与数学运算素养。解题需经历“将第 2 天、第 5 天的数据代入模型得方程组—两式相除消去 求出底数 —回代求 —用模型预测第 8 天”的建模链条，渗透方程思想与消元策略。情境本身亦承载了生态监测的育人价值。 【核心素养】 ☐数学抽象　☐逻辑推理　☐直观想象　☑数学运算　☑数学建模　☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能准确写出 ，选择“相除消元”求出 、，正确预测第 8 天密度为 ，并能说明参数 、 的实际意义。 良好 能根据两组数据列出方程，但消元方式选择不当（如试图相减）导致运算复杂，或回代求 时出现失误。 合格 能把数据代入 得到方程，但不会处理含两个参数、两个方程的求解，建模过程中途停止。 待提高 不能把“第 2 天密度为 ”翻译为 ，由文字信息到数学模型的语言转译能力薄弱，需借助列表梳理数据。 2．【改编自22-23高一上·江苏宿迁·期中】（结构不良题，答案不唯一）请从下列三个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答． 已知正实数 满足 ______，求 的值． ① ；　② ；　③ ． 【答案】选①得 ；选②或③均得 【参考解答】关键恒等式：，． 若选①：，又 ，故原式 ． 若选②：由 得 ，且 ，故 ； 所以 ，原式 ． 若选③：由 得 ，同上得原式 ． 【设计意图】 本题以条件开放的结构不良题形式考查完全平方恒等式的灵活运用，指向逻辑推理与数学运算素养。三个条件给出不同的转化路径：①可直接得到 ；②、③需先由平方关系求出 再作二次转化，学生需在比较中作出选择，这正是结构不良题的独特价值。求解时还须依据 对平方结果开方取正，体现运算的严谨性。 【核心素养】 ☐数学抽象　☑逻辑推理　☐直观想象　☑数学运算　☐数学建模　☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能自主判断所选条件的转化路径并完整推理，准确写出 两组恒等式，开方时依据正数条件合理取舍，结论规范。 良好 能完成所选条件的推理并得出正确结果，但开方时未说明 的理由，也未利用其他条件作交叉验证。 合格 能写出平方恒等式并在条件①下求解成功，但面对条件②、③中“由 求 ”的二次转化出现困难。 待提高 不会运用完全平方公式沟通已知与所求，看不出 与 之间的平方关系，需补充恒等式变形的专项训练。 4.2 指数函数 第一课时 作业1.基础性作业（时间要求：10分钟） 1．[改编自26-27高一上·全国·课堂例题]下列函数中，是指数函数的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【参考解答】指数函数的形式为 （ 且 ），要求底数为常数、指数为自变量、系数为 ．A 中自变量在底数位置，是幂函数；B 中 ，系数不为 ；C 中系数为 ，不符合定义；D 中 符合 的形式（），是指数函数．故选 D． 【设计意图】 本题考查指数函数的定义，指向数学抽象素养中“从具体函数中抽象出共同的形式特征”.解题需抓住定义的三条结构性要点——底数为大于 且不等于 的常数、指数为自变量、系数为 ，并据此逐项比对；其中把 化为标准形式以指出系数不为 ，是本题的关键步骤，渗透等价变形的思想方法. 【核心素养】 R数学抽象 ☐逻辑推理 ☐直观想象 ☐数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能用自己的语言概括 （ 且 ）的三条要点，逐项给出不符合的具体原因，特别是主动把 化为 以说明系数不为 . 良好 能选出正确选项 D，但对 B 项的排除理由表述含糊，说明对“指数为自变量”与“系数为 1”两个条件的区分尚不牢固. 合格 知道指数函数的表达形式，能排除自变量在底数位置的明显错误选项，但在 型函数是否属于指数函数上判断犹豫. 待提高 把 误认为指数函数，说明幂函数与指数函数的区别尚未建立，需借助列表对比 与 强化辨析. 2．[改编自25-26高一上·江苏·期中]若函数 （ 为自变量）为指数函数，则实数 的取值范围是______． 【答案】 且 【参考解答】由指数函数的定义，底数需满足 且 ． 解得 且 ． 【设计意图】 本题考查由指数函数的定义逆向求参数范围，指向数学抽象与数学运算素养.解题需把定义中的“底数大于 ”“底数不等于 ”转化为关于 的不等式组，体现由形式特征反推参数条件的逆向思维；同时通过排除 强化学生对底数限制必要性（ 时函数退化为常函数）的理解，渗透条件完备与分类检验的意识. 【核心素养】 R数学抽象 ☐逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能完整写出 与 两个条件，解得 且 ，并能说明 时底数为 、函数退化为常函数而被排除. 良好 能写出 得 ，但遗漏 的限制，结果少了 . 合格 知道底数须满足一定范围，但只凭经验写出单个条件，不能系统列出不等式组，也未意识到需考虑 的情形. 待提高 不清楚指数函数定义中对底数的限制，需回到定义逐字解读，并配合 、 等反例加深体会. 3．[改编自人教A版课本4.2例1]已知指数函数 （ 且 ）的图象经过点 ，则 ______． 【答案】 【参考解答】因为图象经过点 ，所以 ． 由 ，得 ，即 ．故 ． 【设计意图】 本题考查用待定系数法确定指数函数的解析式并用其求值，指向数学运算素养.解题需经历“由点的坐标建立方程 —观察两边化为同指数形式求底数—代入 计算”的过程，其中由 反求 依赖观察与配凑能力，渗透指数式同构与转化的思想方法. 【核心素养】 ☐数学抽象 ☐逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能由 结合 得 ，指出“指数相同则底数相同”的依据，并正确计算 . 良好 能求出底数并写出解析式，但负指数幂的运算出错，如把 算成 . 合格 知道把点的坐标代入解析式求底数，但不会把 化为 的形式，求解过程中断. 待提高 不清楚图象上的点与解析式之间“坐标满足解析式”的对应关系，无法建立待定系数的方程. 作业2.巩固性作业 时间要求：15分钟 作业内容： 1． [改编自24-25高一上·天津河北·期末]已知指数函数 （ 且 ）的图象经过点 ． （1）求 的解析式； （2）解关于 的方程 ． 【答案】（1）；（2） 或 【参考解答】（1）由 且 ，得 ，故 ． （2），由 在 上单调递增，得 ，即 ． 因式分解得 ，故 或 ． 【设计意图】 本题考查指数函数解析式的确定以及利用单调性把指数方程转化为代数方程，指向数学运算与逻辑推理素养.解题需经历“待定系数求解析式—将 化为 使两边同底—由单调性去掉函数符号—解一元二次方程”的过程，其中“同底化”是核心步骤，渗透等价转化与函数思想（把方程问题化为函数值相等问题）. 【核心素养】 ☐数学抽象 R逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能由 求出 ，准确将 化为 并借助 的单调性得 ，解得 或 ，过程规范完整. 良好 能求出解析式并化为同底，但解一元二次方程时因式分解出错或只得到一个解，遗漏负根. 合格 能求出解析式，但不会把 化为 ，或去掉函数符号时未说明所用的是单调性依据. 待提高 无法由图象经过点 求出底数，或不理解 中变量所处位置的含义，需补充基础训练. 2． [改编自25-26高一上·宁夏石嘴山·期末]已知函数的图象经过点(2,16)． (1)求的值； (2)设； （i）判断函数的奇偶性，并说明理由； （ii）求不等式的解集． 【答案】(1)； (2)（i）奇函数；（ii）. 【参考解答】（1）因为函数的图象经过点(2,16)， 所以，且，得 ，故 （2）（i）由（1）知 ，定义域为关于原点对称， 又=，所以是奇函数； （ii）因为是增函数， 由 ，得，解得或， 所以原不等式的解集为． 【设计意图】 本题以指数函数为载体，采用由浅入深、层层递进的设计思路：第一问通过待定系数法求解函数解析式，旨在夯实基础知识与基本技能；第二问(i)通过构造新函数考查指数幂运算及函数奇偶性的判定，重点培养逻辑推理与数学运算核心素养；第二问(ii)则需借助函数单调性脱去抽象符号“”，将问题转化为一元二次不等式求解，深刻渗透转化与化归、函数与方程等数学思想方法. 【核心素养】 ☐数学抽象 R逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 逻辑严密，步骤规范.单调性论证充分，抽象不等式转化准确，解集书写无误，满分. 良好 思路正确，答案无误.但在细节上有小瑕疵，如未先求定义域、未舍去负值或书写不够规范. 合格 能正确求解析式并判断奇偶性.但在利用单调性解不等式时逻辑不清或计算错误，综合应用能力较弱. 待提高 概念不清，运算失误多（如错写指数幂）.缺乏利用单调性脱去“g”的意识，无法建立知识联系，仅能完成极少步骤. 3． [改编自24-25高一上·湖南常德·期中]已知指数函数的图象过点(2,9)，函数 (1)求的解析式； (2)判断在)上的单调性，并用定义证明； 【答案】(1)；(2)在)上单调递减． 【参考解答】（1）设（ 且 ）， 因为指数函数的图象过点(2,9)， 所以由 且 ，得 ，故 ． （2）在)上单调递减．证明如下： 由（1）易知， 因为，且，所以 ， 因为<0，所以，<0，此时， 可得<0，所以，, 则在)上单调递减． 【设计意图】 本题在于立足指数函数的核心概念，通过待定系数法求解解析式以夯实数学运算基础；进而以对称区间为探究载体，融合函数的奇偶性，重点考查利用定义法证明单调性的逻辑推理能力.整体设计引导学生运用数形结合与转化化归思想，从具体的代数运算中抽象出函数性质，不仅强化了“定义法”证明的严谨规范，更有效提升了学生的数学抽象与逻辑推理等核心素养. 【核心素养】 R数学抽象 R逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 解析式与单调性结论均正确；严格遵循“取值—作差—变形—定号”四步，代数变形熟练（能提取公因式化为乘积判断符号），逻辑严密. 良好 解析式和结论正确；证明步骤完整，但代数变形略显繁琐（如未化简到位）；细节说明不够精炼，整体逻辑通顺. 合格 解析式正确；能猜出单调性结论，但证明受阻（如变形失败或仅代入特殊值论证）；对任意性把握不足，逻辑欠严密. 待提高 解析式求解错误；单调性判断错误或不会判断；定义法证明毫无思路；指数运算与基础概念薄弱. 作业3：提升性作业（时间要求：10分钟） 1． [改编自20-21高一上·广东深圳·期中]某放射性物质经过年后，其剩余质量是原来的．设质量为的该物质经过年后的剩余量为． （1）求与的函数关系式； （2）求经过年后该物质的剩余质量（结果精确到）． 【答案】（1）；（2）约 【参考解答】（1）设每年剩余量变为上一年的倍，则 ，故 ． 所以． （2）当 时，． 即经过年后剩余质量约为． 【设计意图】 本题以放射性物质衰变为真实情境，考查指数型衰减模型的构建与应用，指向数学建模与数学运算素养.解题核心是把“经过年剩余”理解为“年后剩余量变为原来的倍”，从而由 确定年衰减底数，再由得.这一“周期—底数—指数”的转化充分体现化归思想，也体现对模型参数实际意义的理解. 【核心素养】 ☐数学抽象 ☐逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 R数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能正确设立“每年变为上年的倍”的模型，由求出并化为，准确算出60年后剩余约，能说明指数 表示“经过了多少个20年”. 良好 能写出以为底的指数形式，但把指数直接写成而非 ，混淆了“每20 年”与“每1年”两个时间尺度. 合格 理解物质按周期等比衰减的规律，能算出20年、40年后的剩余量，但未能把结果概括为关于的函数关系式. 待提高 把直接当作每年衰减率使用，或误用线性模型，说明对“指数衰减”与“平均衰减率”的区别理解不清，需借助数据表逐期计算加以体会. 2． [改编自23-24高一上·湖南常德·期中] 已知 是定义在R上的奇函数，当 时，． （1）求 的值； （2）求 时 的解析式； （3）若不等式 成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1）；（2）（）；（3） 【参考解答】（1），由奇函数性质，． （2）设，则，故． 由，得（）． （3）当时 单调递增；当时 也单调递增，且 处连续，故在R上单调递增． 由，得，解得． 【设计意图】 本题综合考查奇函数的性质、分段函数解析式的求法以及单调性在解不等式中的应用，指向逻辑推理与数学运算素养.解题需经历“由对称性把的情形化归为 的情形—求出反面区间的解析式—分段说明函数的单调性—把抽象不等式转化为具体不等式”的完整推理链条，渗透转化与分类整合的思想方法，是抽象函数与分段函数交汇的综合性问题. 【核心素养】 ☐数学抽象 R逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能熟练运用求出 时的解析式，正确说明分段函数在两段上均递增且衔接处连续、从而在R上单调递增，并据此把 转化为 ，得 . 良好 能完成（1）（2）两问，但在（3）中直接由去掉函数符号而未说明单调性，论证存在跳跃. 合格 能利用奇函数性质求，但求的解析式时未通过进行转化，或结果未标明适用区间. 待提高 不清楚奇函数在两段区间上解析式的关系，直接沿用的表达式，需重点补充分段函数与函数性质结合的练习. 第二课时 作业1.基础性作业（时间要求：10分钟） 1．[改编自25-26高一下·河北衡水·开学考试]函数 （ 且 ）的图象恒过定点（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【参考解答】指数函数 的图象恒过定点 ，即当 时 ． 令 ，即 ，此时 ． 故函数图象恒过定点 ．故选 C． 【设计意图】 本题考查指数型函数图象恒过定点的求法，指向直观想象与数学运算素养.解题的关键是把 看作 平移后的结果，抓住“令指数为 时函数值为 ”这一不变量确定纵坐标，再由 确定横坐标，体现由图象变换把握函数特征的数形结合思想.本题与对数型函数定点问题形成对偶结构，有助于学生建立整体认识. 【核心素养】 ☐数学抽象 ☐逻辑推理 R直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能指出 恒过 的本质是“指数为 时函数值为 ”，据此令 求出 ，完整代入得定点 ，并能说明平移不改变该本质. 良好 知道要令指数为 求横坐标，但求纵坐标时遗漏向上平移 的增量，误选 一类的选项. 合格 记得指数函数图象过 ，但面对含平移的复合形式不会处理，只能凭记忆猜测选项. 待提高 不清楚 的图象特征，需借助具体数值列表描点或动态演示建立直观认识. 2．[改编自21-22高一上·江西景德镇·期中]下列各组函数中，图象关于 轴对称的是（　　） A． 与 　　 B． 与 C． 与 　　D． 与 【答案】B 【参考解答】两函数图象关于 轴对称，需满足 ． A 中 与 满足 ，且二者图象关于 轴对称； B 中 ，设 ，则 ，故图象关于 轴对称，正确； C 中 与 的图象关于直线 对称；D 中 与 无对称关系． 故选 B． 【设计意图】 本题考查指数函数图象的对称关系，指向直观想象与逻辑推理素养.解题需建立“关于 轴对称等价于 ”的解析判定，并结合关于 轴、关于直线 等不同情形加以辨析；其中把 化为 完成等价变形是关键，渗透数形结合与等价转化的思想方法. 【核心素养】 ☐数学抽象 R逻辑推理 R直观想象 ☐数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能依据 判定 B 项正确，并准确说明 A 项图象关于 轴对称、C 项关于直线 对称、D 项无对称关系，四类对称关系辨析清晰. 良好 能选出正确答案并说明 B 项的理由，但对 C 项“互为反函数故关于 对称”的认识模糊. 合格 知道判断对称要看解析式之间的关系，但把关于 轴对称与关于 轴对称的判定条件混淆，如误把与判为关于 轴对称. 待提高 不能将图象的对称关系与解析式建立联系，判断时只能凭图形印象猜测，需借助逐点描图或动态演示形成“关于轴对称则横坐标互为相反数、纵坐标相同”的直观经验. 3．[改编自人教A版课本4.2练习1]函数 的值域为______． 【答案】 【参考解答】因为 ，且 关于 单调递减， 所以 ．故函数的值域为 ． 【设计意图】 本题考查含绝对值的指数型函数的值域，指向直观想象与数学运算素养.解题需先分析指数 的取值范围 ，再结合底数小于 时函数递减确定 的范围；其中“指数函数值域恒正”是保证下界 取不到的关键，体现对单调性与值域的复合分析能力，渗透分段与整体的分析思想. 【核心素养】 ☐数学抽象 ☐逻辑推理 R直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能准确写出 并以 为桥梁，由 递减得 ，注意区分端点 不可取、 可取，值域写作 . 良好 能求出最大值为，但遗漏“恒大于 ”这一事实，把值域写成或. 合格 知道需要分析指数的取值范围，但不会结合函数单调性把指数的范围转化为 的范围，结论不完整. 待提高 不清楚指数函数的值域为 ，需结合图象重新建立“指数函数图象恒在 轴上方”的直观认识. 作业2.巩固性作业（时间要求：15分钟） 1． [改编自25-26高一上·贵州遵义·期末]已知函数 （ 且 ）在区间 上的最大值与最小值的比为 ，求实数 的值． 【答案】 或 【参考解答】因为 在 上单调，所以最大值与最小值必在区间端点处取得． 若，则 单调递增，最大值为，最小值为 ，由 得（ 舍去）； 若，则单调递减，最大值为，最小值为，由得（ 舍去）． 综上， 或 ． 【设计意图】 本题考查指数函数在闭区间上的最值问题，指向逻辑推理与数学运算素养.解题的关键是识别“指数函数在闭区间上单调，故最值必在端点取得”，再按底数 与 两种情形分类讨论，并对求出的 作范围检验与舍解.本题是训练分类讨论“标准明确—逐类求解—最后整合”完整流程的典型载体. 【核心素养】 ☐数学抽象 R逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能阐明“单调函数在闭区间上最值在端点取得”的依据，按 、 两种情况完整讨论，分别求出 与 ，并检验各值是否落在对应范围内、合理舍去负值. 良好 能正确处理的情形求出，但遗漏的讨论，答案不完整. 合格 知道最大值与最小值在端点取得，会写出 、，但不会按底数分类确定哪个是最大值，只能凭假设推进. 待提高 不清楚指数函数的单调性与底数的关系，无法判断最值在哪个端点取得，需先巩固图象与单调性. 2． [改编自25-26高一上·新疆喀什·阶段检测]求函数 的单调区间与值域． 【答案】单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，值域为 【参考解答】设 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ． 因为 在 上单调递减，由“同增异减”， 函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． 又 ，故 ，即值域为 ． 【设计意图】 本题考查复合函数“同增异减”的单调性判断以及二次函数与指数函数值域的复合求法，指向逻辑推理与数学运算素养.解题需把函数分解为内层的 与外层的 ，先判断内层单调性，再依据外层递减确定复合方向；值域则需由 借助外层递减求出最大值，渗透分解与整合、数形结合的思想方法. 【核心素养】 ☐数学抽象 R逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能准确配方写出 ，指明其在 递减、 递增且 ，由外层递减得出复合函数的单调区间，并由 求出值域 ，两问论证均完整. 良好 能正确判断单调区间，但值域计算时把 对应的 的范围方向弄反，得出 或端点取舍有误. 合格 知道复合函数要用“同增异减”，但内外层的单调性匹配出错，把递增区间写成了 . 待提高 不了解复合函数单调性的判定法则，或不会对二次函数配方求最值，需分层补充基础训练. 3． 解关于 的不等式：． 【答案】 【参考解答】因为 ，原不等式化为 ． 因为 在 上单调递减，所以 ，即 ． 因式分解得 ，解得 ． 故原不等式的解集为 ． 【设计意图】 本题考查利用指数函数的单调性解指数不等式，指向逻辑推理与数学运算素养.解题需经历“把 化为 使两边同底—依据底数小于 时函数递减、不等号方向改变—化归为一元二次不等式—求出解集”的过程，其中“不等号反向”是本题最核心的易错点，渗透等价转化思想. 【核心素养】 ☐数学抽象 R逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能准确完成同底化，并自觉指出底数 时不等号须反向，得 ，因式分解求得 ，解集书写规范、过程完整. 良好 能正确化为同底并写出不等式 ，但解一元二次不等式时因式分解出错或解集端点的开闭写错. 合格 知道要把两边化为同底，但忘记底数小于 时不等号方向改变的规则，得出 的错误结论. 待提高 不会把 写成 ，无法完成同底化，需先巩固分数指数幂与指对互化的基本技能. 作业3.提升性作业（时间要求：15分钟） 1．[改编自21-22高一上·广东佛山·阶段检测] 已知函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围． 【答案】 【参考解答】设 ，其图象开口向上，对称轴为 ． 因为 在 R上单调递减，要使 在 上单调递增，需 在 上单调递减． 故 的对称轴满足 ，此时 在 上单调递减， 单调递增． 所以实数 的取值范围为 ． 【设计意图】 本题考查由复合函数的单调性逆向求参数范围，指向逻辑推理与数学运算素养.解题需先明确外层 递减，从而把“复合后在 上递增”等价转化为“内层 在 上递减”，再由二次函数对称轴 满足 求出参数范围.这一由整体性质反推局部条件的过程，渗透逆向思维与等价转化的思想方法. 【核心素养】 ☐数学抽象 R逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能准确判断外层递减，从而得出“内层 在 上递减”的等价条件，结合抛物线开口向上、对称轴为 ，正确写出 ，并说明取等号时 在 上仍单调递减. 良好 能判断内外层单调性的关系，但把对称轴的条件写成 ，不等号方向出错，说明“开口向上时对称轴右侧才递增”的判断不够熟练. 合格 知道要用复合函数单调性法则，但不清楚需把条件转化为对称轴与区间的位置关系，分析中途停止. 待提高 不能将“复合函数在给定区间上单调”转化为对内层函数的要求，需借助图象与具体数值试验建立直观理解. 2.[改编自25-26高一上·广东·阶段检测] 已知函数 是定义域为的奇函数． (1)求，的值； (2)判断并用定义证明函数的单调性； 【答案】(1)， (2)在上为减函数 【参考解答】（1）解：因为是上的奇函数，所以，即，解得， 所以 ，又由，知 ，解得， 经检验，当 时，满足，满足题意； 所以. （2）在上为减函数，证明： 由（1）知， 任取，且， 则 ， 因为，所以>0，所以>0，即 ， 所以在上为减函数. 【设计意图】 本题以指数函数为背景，通过引入参数构造奇函数模型，旨在综合考查函数的奇偶性、单调性及指数函数性质等核心知识点；在求解参数与代数证明单调性的过程中，重点培养学生的数学运算、代数变形与逻辑推理能力；解题过程深度渗透了方程思想、转化与化归思想以及从特殊到一般的思想方法，有助于发展学生的数学抽象与逻辑推理等核心素养. 【核心素养】 R数学抽象 R逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 参数求全且准确验证定义域；定义法证明步骤严密，代数变形与定号精准无误，逻辑完备. 良好 参数求对但漏验定义域；定义法步骤完整，但代数变形或说理表述存在小瑕疵. 合格 能靠特殊值求部分参数；知道用定义法证明，但卡在通分与因式分解，无法准确判断符号. 待提高 无法建立方程求参；不懂定义法证明流程，指数运算与逻辑推理能力薄弱. 4.3对数 作业1．基础性作业（时间要求：15分钟） 1．【改编自23-24高一上·吉林延边·期中】在对数式 中，实数 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【参考解答】要使该对数式有意义，需同时满足三个条件： 由 得 ；由 得 ；由 得 ． 所以 且 ，即 ．故选 A． 【设计意图】 本题考查对数式有意义的条件，指向数学抽象与逻辑推理素养.解题需把“对数式有意义”这一语言表述转化为底数大于 、底数不等于 、真数大于 三个不等式并求交集，其中“底数不等于 ”最易遗漏.本题的价值在于训练条件的完备性与集合运算的严谨性，渗透由文字语言到符号语言的转译思想. 【核心素养】 ☑数学抽象　☑逻辑推理　☐直观想象　☐数学运算　☐数学建模　☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能完整列出三个条件并正确求解，用区间形式写作 ，并指出 会使底数为 而不满足要求，条件意识完备. 良好 能列出底数大于 与真数大于 两个条件，但遗漏底数不等于 ，把解集写成 . 合格 知道真数需要大于 ，能写出 ，但对底数的双重限制认识不清，条件列写不完整. 待提高 不清楚对数式中底数与真数的取值范围，需结合对数定义 重新理解各字母限制条件的来源. 2．【改编自人教A版课本4.3练习】（多选题）下列指数式与对数式的互化正确的是（　　） A． 与 　　B． 与 C． 与 　　D． 与 【答案】ABD 【参考解答】指数式 与对数式 中，底数相同、真数与幂相同、对数值与指数相同． A 中由 得 ，正确； B 中由 得 ，正确； C 中由 应得 ，而非 （事实上 ，错误； D 中由 得 ，正确．故选 ABD． 【设计意图】 本题考查指数式与对数式的等价互化，指向数学抽象与逻辑推理素养.解题需把握互化的结构对应：底数相同、真数与幂相同、对数值与指数相同，并特别注意 C 项中 与 互换位置的错误.本题以多选题形式呈现，能有效诊断学生是真正理解互化规则，还是仅靠形式记忆作判断. 【核心素养】 ☑数学抽象　☑逻辑推理　☐直观想象　☐数学运算　☐数学建模　☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能熟练完成各式的互化判断，不仅指出 C 项底数与真数互换的错误，还能进一步算出 加以佐证，多选判断完整无遗漏. 良好 能完成 A、B、D 三项的互化，但对 C 项的差错辨识不清，仅凭“形式相似”便判为正确. 合格 知道互化的基本规则，能处理整数指数与常用对数的情形，但遇到分数底数、分数指数时容易出错. 待提高 混淆指数式 与对数式 中各字母的对应位置，需借助具体数值反复对比记忆. 3． 【改编自人教A版课本习题4.3第3题】计算： （1）； （2）； （3）; 【答案】（1）；（2）；（3） 【参考解答】（1）；；； 由对数恒等式 （，，），． 所以原式 ． （2），． 原式 ． （3）由换底公式的推论 ，得 ．又 ． 所以原式 ． 【设计意图】 本题考查对数恒等式与常用对数的求值，指向数学运算素养.本题体现“遇到不同底先统一底数”的运算策略，也训练学生对推论的选择与使用意识.渗透指对互化与化归的思想方法，是检验基本运算熟练度的基础题. 【核心素养】 ☐数学抽象　☐逻辑推理　☐直观想象　☑数学运算　☐数学建模　☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能迅速把各项还原为指数式并准确读数，三道题运算全部正确、格式规范，化简简明快捷，能说明每一步所依据的运算性质. 良好 答对其中2题，可能出现以下其中的一种情况，（1）中对 的符号或 的值判断有误导致最终结果偏差.、（2）中未想到把 合并为 ，停在 处无法得出结果或（3）中 的换底处理不熟练，或化成了 一类的错误形式 合格 知道各式的含义并能完成部分求值，运用不熟练，运算不能全部完成. 待提高 不清楚对数恒等式的意义或常用对数的底数，需要结合 重新建立认识.不熟悉积、商、幂的对数运算性质，或误用 一类的错误结论，需重新梳理性质并作对比辨析. 作业2．巩固性作业（时间要求：14分钟） 1．已知 ，则 ______． 【答案】 【参考解答】由 ，得 ． 再由 ，得 ． 经检验， 使原式有意义，故 ． 【设计意图】 本题考查嵌套对数式的逐层求解，指向数学运算与逻辑推理素养.解题需由外向内逐层转化为指数式（、），把复合结构拆解为两次基本的指对互化，渗透“分层处理、由表及里”的化归思想，也是帮助学生理解对数符号层次结构的典型题目. 【核心素养】 ☐数学抽象　☑逻辑推理　☐直观想象　☑数学运算　☐数学建模　☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能准确把握由外到内的转化顺序，先求出 再得 ，并自觉检验 使原式有意义，过程完整、方向清晰. 良好 转化方向正确，能求出 ，但最后一步把 算成 ，暴露了底数与指数对应关系的混淆. 合格 知道需要逐层求解，但把外层转化为 ，反映出对 含义的理解有误. 待提高 面对嵌套对数式无从下手，不能识别 作为内层结果的整体角色，需补充复合结构的层次分析训练. 2．【改编自26-27高一上·全国·课堂例题】计算下列各式的值： (1) 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8； (2) (3 + 3)(2 + 2)． 【答案】(1) 3；(2) ． (1) 由换底公式 b = ，连乘后约分： 原式 = = ． (2) (3 + 3)(2 + 2)． 原式 = (3 + 3)(2 + 2) = 3 2 == 【设计意图】 考查换底公式的两种典型应用：(1)连乘换底望远镜约分，求值简洁；(2)异底对数加减后乘积的化简，需分别对两括号化为同底求和.强化换底公式的灵活运用，渗透代数变形的结构化思维. 【核心素养】 ☐数学抽象　☑逻辑推理　☐直观想象　☑数学运算　☐数学建模　☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 (1)能迅速识别连乘约分结构，一步得到 8=3；(2)能化简底数指数分别将两个括号统一为 lg2、lg3 形式，准确求和后相乘，约分过程干净利落； 良好 (1)正确；(2)在对两个括号分别求和时，系数 的化简出错，导致最终结果偏差； 合格 (1)能完成连乘约分；(2)在把 3 等分子分母拆解失误，约分受阻； 待提高 对换底公式 b = 的应用不熟练，面对连乘结构时无法建立约分信心. 3．【改编自人教A版必修第一册第四章习题4.2第6题】声音的强弱用声强级（单位：分贝，记作 dB）表示，声强级 L 的计算公式为L = 10·lg，其中 I 为声强（单位：W/m²）， = W/m² 为人耳能听到的最低声强． (1)正常交谈时声强约为 I = W/m²，求其声强级； (2)轻声耳语时声强约为 I = W/m²，求其声强级； (3)声强级每增加 10 dB，声强变为原来的多少倍？请用对数运算性质说明理由． 【答案】(1) 60 dB；(2) 20 dB；(3) 10 倍． (1) L = 10·lg() = 10·lg= 10·6 = 60 dB． (2) L = 10·lg() = 10·lg = 10·2 = 20 dB． (3) 设声强级由 L 增至 L + 10，对应声强由 I 增至 I′，则 L + 10 = 10·lg，L = 10·lg， 两式相减：(L + 10) − L = 10·[lg− lg]⇒ 10 = 10·lg，故 lg = 1，即 = 10， 所以声强级每增加 10 dB，声强变为原来的 10 倍． 【设计意图】 以分贝为真实情境，综合考查对数运算的实际应用：(1)(2)正向代入公式求值；(3)逆向分析声强级增量与声强倍数的关系，需用对数的减法性质将L增量转化为I倍数的对数，渗透对数运算性质的实际意义. 【核心素养】 ☐数学抽象　□逻辑推理　☐直观想象　☑数学运算　☑数学建模　☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 (1)(2)能准确代入公式并正确化简对数；(3)能敏锐识别 L 增量 = 10·lg(倍数) 这一关键关系，由lg = 1 推出倍数为 10，推理严密、过程完整； 良好 (1)(2)正确；(3)能设未知量建立方程，但在两式相减或对数运算性质应用环节出错，未能由 lg = 1 推出倍数为 10； 合格 (1)(2)能完成正向代入；(3)难以将声强级增加 10 dB翻译为对数等式，缺乏方程建模意识； 待提高 对公式仅停留在机械套用层面，不能将其中的对数结构作为运算对象处理，需要从 lg 的基本定义重新推导. 作业3．提升性作业（时间要求：16分钟） 1.【改编25-26高一上·江苏·阶段检测】已知 ，，且 ． （1）求证：； （2）若 ，求 的值． 【答案】（1）证明见参考解答；（2） 【参考解答】（1）设 ，因为 ，，所以 ，且由换底公式 ， 于是 ，当且仅当 （即 a=b）时取等号，命题得证． （2）由（1）知 ，整理得 ，解得 或 ． 当 时，，代入 得 ，故 ，得 ，；当 时，同理得 ，．两种情形下均有 ，且 ． 所以 ． 【设计意图】 第（1）问设 ，由换底公式得 ，用基本不等式证明 ，把互倒结构显性化；第（2）问在第（1）问的基础上解方程 ，分两类情形求出 (a，，4) 或 (4，2)，再把所求通分化为 .全题的知识落点集中在换底公式与对数运算法则，思维链条完整而运算量可控，是提升性作业的理想载体. 【核心素养】 ☐数学抽象　☑逻辑推理　☐直观想象　☑数学运算　☐数学建模　☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 两问均能独立完成：第（1）问能说明 及取等条件；第（2）问能完整讨论 与 两种情形，并用“通分”或“分别计算”两种方法之一求出 ，过程规范. 良好 能完成换底与解方程，求出两组解，但只讨论其中一种情形便下结论，或最后的倒数运算出现符号错误. 合格 知道用换底公式处理 与 的关系，能列出方程，但在回代求 a、b 或最后的求值中出现运算错误. 待提高 没有意识到 与 互为倒数，或对条件 无从下手，需要从“换底公式的倒数形式”重新建立认识. 2.【改编自24-25高一上·全国·课后作业】设正实数 x, y, z 满足 = = （x, y, z 均不为 0），求证：． 【答案】证明见解析. 设 = = = k，则 k > 1，且x = k，y = k，z = k． 由换底公式： 由对数的运算法则：6 = (2·3) = 2 + 3，故，证毕． 【设计意图】 考查指对互化与对数运算法则的综合运用：通过将 2^x=3^y=6^z 统一设为 k，把指数条件翻译为对数问题，再用换底公式与对数的乘法法则完成等式——是整章指数与对数互化思想的浓缩体现，渗透数学的统一美. 【核心素养】 ☑数学抽象　☑逻辑推理　☐直观想象　□数学运算　☐数学建模　☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能敏锐识别指数式—对数式的互化关系，巧妙设公共值 = = = k后用换底公式统一形式，再用对数乘法法则完成证明，思路清晰、论证严密； 良好 能设公共值 k 并写出 x = k等式子，但对 的等价变形感到陌生，需多次尝试才能完成； 合格 知道设公共值的方法，但在换底等价变形上卡壳，最终未能完成证明； 待提高 面对指对混合的等式条件，不会引入中间变量将问题转化为对数运算，需在指数与对数互化等专题中加强训练. 3.【改编自25-26高三上·陕西西安·期末】若正数 m，n 满足 ，求 的值． 【答案】 【参考解答】由 得 ． 又 ，构造函数 ，其在 R 上单调递增， 所以 ，即 ，． 代入 得 ，解得 （ 舍去），故 ． 所以 ． 【设计意图】 本题改编后仍保留同构构造的主线：把条件变形为 ，再将右边写成 ，由 的单调性得 ；结合第三个条件解出 、 后，新设问 还要求学生对结果做一次倒数与求和运算，使“指对互化—同构—求值—再运算”的链条完整闭合，指向对数运算的综合运用. 【核心素养】 ☑数学抽象　☑逻辑推理　☐直观想象　☑数学运算　☐数学建模　☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能主动发现同构特征并构造 ，完整解出 、，并检验 不合题意后舍去；对新设问能直接由 得 ，推理链完整. 良好 能在提示下完成移项与同构，得到 ，但在方程 的求解或根的检验上出现遗漏. 合格 能把指数式与对数式互相转化，但不能独立发现两边的结构联系，需要提示“把 表示成 3 的幂”. 待提高 只能对指数部分或对数部分单独变形，不能建立两边的对应关系，需要从“同构”这一观察方法开始引导. 4.4对数函数 第一课时 作业1.基础性作业（时间要求：10分钟） 1．[改编自26-27高一上·全国·课后作业]下列函数中，是对数函数的是（　　） A．　　B． C．　　　 D． 【答案】C 【参考解答】由对数函数的定义，对数函数的形式为 （ 且 ），要求真数为自变量、底数为大于0不等于1的常数，系数为 ． A 中真数为 ，不是自变量；B 中系数为3，真数为 ；D 中底数为自变量，均不符合定义； C 中 符合对数函数的形式，故选 C． 【设计意图】 考查对数函数的定义，掌握对数函数的共同形式特征，解题需抓住定义的结构特征——真数为自变量、底数为大于且不等于的常数、系数为，据此逐项辨析，渗透结构化对比的方法. 【核心素养】 R数学抽象 ☐逻辑推理 ☐直观想象 ☐数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能准确概括对数函数的形式 及其真数、底数、系数三条要点，逐项说明 A、B、D 不符合定义的具体原因，辨析条理清晰、依据充分. 良好 能掌握基本概念，能选出正确选项 C，但排除理由表述不充分，对自变量位置、底数必须是常数的区分不够明确，或是误认为为与函数有关的未知参数，可能在选项C、D中有稍微混淆. 合格 知道对数函数的一般形式，能排除明显不符合的选项，但仅凭印象或感觉排除，无法流利说出排除或选择的依据. 待提高 对对数函数的知识内容尚未完全理解，把含对数的复合函数与混为一谈，忽略对数函数的形式定义，需通过与指数函数定义的对照梳理概念. 2. [改编自西藏自治区拉萨市2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题] （多选）函数中，实数a的取值可能是（ ） A. B.3 C.4 D.5 【答案】ABC 【参考解答】由对数函数的定义，对数函数的形式为 （ 且 ），要求真数大于0，底数为大于0不等于1的常数，系数为 ．因为，所以可得，解得，即参数a 满足，故选ABC. 【设计意图】 考查对数函数的定义，掌握对数函数底数和真数的严格限制条件，明确同一个题目中出现的相同参数是统一的，发现不等式中恒成立的部分，明确其带来的影响，建立并求解含参不等式组，同时强调条件整合的完备性，做到“不重不漏”. 【核心素养】 R数学抽象 ☐逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能完整列出底数大于0且不等于1、真数大于0的条件，主动利用 恒成立，将真数条件化简，准确解得 且 ，能求解出完整解集，并说明排除选项D 的理由，过程规范、条理清晰. 良好 能列出三组条件并正确解出与 ，对照选项选出选项ABC，但对 这一限制未加说明，可能忽略底数要求不等于1；或求解过程有跳步. 合格 知道底数与真数都有限制，能列出部分不等式（如 与 ），但不完整，忽略其余条件等；或解不等式组时出现符号、端点取等错误，计算过程出现错误等. 待提高 对对数函数的知识内容尚未完全理解，结构条件认识模糊，需回到定义中的底数、真数、系数三要素重新梳理. 3．【改编自22-23高一上·辽宁·期末】已知对数函数 （ 且 ）的图象经过点 ，则 ______，______． 【答案】； 【参考解答】由图象经过点 得 ，即 ． 又 且 ，故 ，即 ． ，， 所以 ． 【设计意图】 考查代入函数解析式求解析式，运用指数与对数互化的关系进行运算，确定对数函数的解析式后求值.由 转化为 ，结合 且 确定底数，再依据1的对数为0( )、代入自变量 求值，体现指对互化的双向运用与化归思想. 【核心素养】 ☐数学抽象 ☐逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能由对数式化为指数式准确求出底数，并注意底数的限制条件，正确算出 、，两空作答完整规范. 良好 能求出 ，但第二空中 的求值出错，出现常见错误，计算成倍乘，如写成 等. 合格 能把点的坐标代入 求底数，但不熟悉由对数式化为指数式的转化，后续步骤无法推进求解，过程不完整. 待提高 不明白由图象上的点代入函数解析式，说明对数符号的含义以及对数函数的概念尚未内化. 作业2.巩固性作业（时间要求：15分钟） 1．[改编自人教A版必修一教材P131 练习]求下列函数的定义域： (1)； (2). 【答案】(1)；(2). 【参考解答】(1)∵，且，又，∴，由上述不等式解得：. (2)∵，∴， 又∵，即分式不等式，解得：，综上所述，解得：. 【设计意图】 本题考查含根式、分式的对数型复合函数的定义域，需同时考虑偶次根号内非负、分母不为零、真数大于 、底数大于0且不等于1的条件并求交集.由多条件取交集培养学生的严谨性，强调“不重不漏”的逻辑意识. 【核心素养】 ☐数学抽象 R逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能完整列出2个小题中的情况，讨论函数式有意义的过程准确严谨，正确取交集得结果，解题过程逻辑清晰，书写规范. 良好 能处理主要条件，但可能出现遗漏的情况，例如(1)中忽略分母不为0导致遗漏计算对数式得结果，(2)中忽略底数中也包含变量x，遗漏讨论底数的过程等，取交集求得定义域缺少部分范围. 合格 知道基本条件并能列出部分不等式，并正确求解，但不会把所有条件求交集，而是把各条件的结果简单罗列；或是计算(2)中的分式不等式时方法出现问题，盲目去分母等，导致计算结果出现问题等. 待提高 不能明确复合函数的定义域需同时满足多个条件，不清楚需借助逐条列条件、最后取交集的规范流程求解；或是解不等式时多处出现错误，求解结果有误等. 2．将一张厚度约为 0.1 mm 的纸连续对折，对折 n 次后纸的厚度d = 0.1×2ⁿ mm.假设纸可以对折足够多次，那么纸的厚度达到珠穆朗玛峰的海拔高度 8848.86 m（约为 8.85×10⁷ mm）约需要对折多少次？（参考数据：lg 2 ≈ 0.301，lg 8.85 ≈ 0.947，结果取整数）. 【答案】30次 【参考解答】设需要对折 n 次，则，即， 两边取常用对数得：，所以 ， 由于对折次数为整数且厚度需达到该高度，故约需要对折 30 次. 【设计意图】 考查真实问题情境中指数与对数的互化及计算，需理解题意后列出指数式，关键在于两边取对数，把“已知幂值求指数”的实际问题转化为对数运算，体会对数在解决指数问题中的独特价值，并注意结合实际意义取整. 【核心素养】 R数学抽象 R逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 R数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能准确理解题意并正确建立指数式方程，再由两边取对数，并运用对数的运算性质，正确求解出次数n ≈ 29.7，能够意识到次数为整数且须达到高度，合理取整为 30 次，过程完整. 良好 能建立指数模型方程并取对数求解，但取整时直接四舍五入写 30 而未说明实际意义，或运算中出现有效数字处理的偏差. 合格 能理解题意建立指数式方程，但不会把指数方程转化为对数式求解，后续步骤无法推进. 待提高 不理解题意中对折次数与厚度之间的数量关系得出指数式，或不熟悉将指数式转化为对数式的求解策略，需借助具体数值的代值重新体会. 作业3：提升性作业（时间要求：10分钟） 作业内容： 1. [改编自人教A版必修一教材P134 例题4]溶液的酸碱度用 pH 表示，其计算公式为 ，其中 表示溶液中氢离子的浓度（单位：mol/L）.（参考数据：≈ 2） (1)分别求 mol/L 的柠檬汁和 mol/L 的海水的 pH； (2)经检测，某品牌纯净水的pH为 6.7，求其氢离子浓度（结果用科学记数法表示，系数保留整数）； (3)若将（1）中的柠檬汁稀释 100 倍，稀释后溶液的pH约为多少？你发现了什么规律？ (4)查阅资料可知，人体内各种体液的 从 到 不等，跨越了 7 个数量级.请结合对数运算的性质，说明科学家为什么用 pH 而不用 直接表示溶液的酸碱强弱. 【答案】（1）柠檬汁的 ，海水的 ；（2） mol/L；（3）稀释后 ；（4）见参考解答（言之有理即可）. 【参考解答】（1）柠檬汁的 ，海水的 （2）由 ，得，即（mol/L） （3）柠檬汁稀释100倍后，故 ；(1)中柠檬汁的，稀释100倍后，稀释了倍后溶液浓度增加了2个pH值，可以发现溶液稀释了倍后，浓度会增加n个pH值，但结合实际，稀释至中性的溶液pH值会趋近于7，不会继续增大. （4）主要内容：①跨越好几个数量级，若直接标注，数值冗长且不便比较，取对数后把指数式信息“压缩”为线性数值； ②由，浓度的倍数关系（乘法）转化为 的差（减法）， 每相差1即浓度相差10倍，便于直接读出强弱差异； ③对数刻度把“相差悬殊”的浓度差异变为便于加减比较的数值差异. 【设计意图】 考查对数函数概念、指对互化、对数运算性质与近似估算，以生活中常见的溶液酸碱度（pH值）为真实背景，感受对数运算在实际问题中的灵活应用，从第(1)问直接代入公式求值；第(2)问需通过指对互化，把 反解为计算，借参考数据，把拆分为进行估算，拆分策略是思维关键点；第(3)问中要理解稀释100倍导致变化的具体影响，尝试从具体的实例计算中发现规律，渗透从特殊到一般的数学思想方法；第(4)问为开放性问题，要求学生用数学语言阐释pH值刻度的合理性，体会数学工具在跨学科描述中的应用价值，提升模型观念与数学表达能力. 【核心素养】 R数学抽象 ☐逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 R数学建模 R数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 第（1）问能准确利用公式计算出基础pH值；第（2）问能熟练运用指对互化进行逆运算，并结合参考数据正确表示科学计数法；第（3）问能正确计算稀释后浓度并归纳出稀释的倍数与pH值增加的规律，且能结合实际说明pH趋近于7；第（4）问能从数据量级跨越、便于乘除转化为加减运算等角度清晰阐述使用对数表示法的优势. 良好 能完成基础的正逆运算；在归纳稀释规律时未能结合实际情况（忽略无限稀释趋近中性）或表达不够严谨；对第4问能用“数值大小便于书写或比较”进行简单描述，但缺乏严谨的数学语言提炼. 合格 第（1）问能根据公式完成正向代入求pH，但在第（2）问逆运算或科学计数法转换中出现计算失误；或第（3）问无法从稀释中准确总结数量级变化规律；对第（4）问无法作答或仅回答“因为pH更好写”. 待提高 没有理解题意及条件，无法掌握pH值与氢离子浓度之间的对数换算公式，对数基本运算法则存在明显漏洞，混淆对数的运算性质等；完全无法理解跨学科的实际问题背景，未能提取题目中的数学模型，导致四个小问均无法作答. 第二课时 作业1.基础性作业（时间要求：10分钟） 作业内容： 1.[改编自25-26高一下·湖南长沙·开学考试]函数 的图象恒过定点（　　） A．　　B．．　　C．　　D． 【答案】B 【参考解答】对数函数 的图象恒过定点 ，即当 时 ． 令 ，即 ，此时 ． 故函数图象恒过定点 ．故选 B． 【设计意图】 考查对数型函数图象恒过定点问题，关键是抓住函数图象“定点”的本质——它与底数无关，由所决定，无论底数如何变化，当真数为1时对数值恒为0.需令真数整体求出横坐标，再代入求纵坐标，体现整体代换的思想. 【核心素养】 ☐数学抽象 R逻辑推理 R直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能结合函数图象特征，说明定点的本质与底数无关，令真数整体为0，得到等式建立方程，准确计算出定点为(2,2)并正确选B. 良好 知道图象过定点问题应令真数等于1，但在处理图象平移规律或代入计算时出现小失误，导致算错x或y的值. 合格 知道基本对数函数 过定点(1,0)，知道要把1代入真数求解，但对图象平移规律理解不清，求解错误；或试图用盲目代入选项的方法验证. 待提高 对对数函数的基本图象特征和性质缺乏概念，完全无法入手；或者将“恒过定点”问题与求“函数零点”等概念混淆，出现严重的知识性错误等. 2. [改编自辽宁省沈阳市五校协作体2022-2023学年高一上学期期末数学试题] 已知，，，则，，的大小关系为(    ) A. B. C. D. 【答案】A 【参考解答】解：由对数的运算性质，可得，则， 且， 又由指数函数的性质，可得，则，所以．故选：． 【设计意图】 以典型的指数式与对数式的比较大小的问题，考查学生对指数函数、对数函数的性质的灵活运用，利用函数的单调性判断数值大小，a,b,c三个量置于不同的基准区间内，要求学生有估算数值范围和寻找中间量的数学策略，是高中阶段数学运算中非常经典且高频的考点. 【核心素养】 ☐数学抽象 R逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能够精准地运用指数与对数函数的单调性，主动选取合适的中间量作为基准，迅速且准确地判断出两两比较大小的结果，从而得出正确结论，依据清楚、思路清晰、运算严谨. 良好 基本掌握了利用中间量比较大小的方法，能够判断出b最大，或正确判断三者范围，但在估算a或c的具体范围时，存在一定困难或估算不够精确，只找到0<a<1之类的粗糙界限，导致最终排序犹豫或出错. 合格 缺乏寻找中间量的意识，无法有效结合函数的单调性进行估算；可能尝试直接利用计算工具求解；或在无法准确比较时，盲目依赖选项进行猜测. 待提高 对指数函数与对数函数的基本单调性判断错误，混淆底数在不同区间（大于1和介于0与1之间）时的增减性；或不会借助指数、对数找到特殊值，导致无法判断数据的正负与大小，解题完全缺乏依据. 3.已知函数（ 且 ）在区间上的最大值为，实数的值为 ． 【答案】 【参考解答】当 时，，且随增大而增大． 若 ，则 单调递增，最大值为 ，由 得 ，符合 ； 若 ，则 单调递减，最大值为 ，不符合题意． 综上，． 【设计意图】 以含参对数函数在闭区间上的最值问题为背景，考查学生对不同范围内的底数的对数函数单调性的理解，学生需准确判断函数在给定区间上的单调性，进而确定取得最大值的端点位置，对函数性质与参数之间动态关系的把握，以及分类讨论思想和转化与化归思想的运用. 【核心素养】 ☐数学抽象 R逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能够迅速抓住对数函数单调性取决于底数的特点，准确地将底数a分为a>1和0<a<1两种情况进行分类讨论.能结合真数部分的内层函数 的单调性，准确判断复合函数的最值端点，正确列出方程，并验证解是否符合前提条件，最终得出结果. 良好 具有分类讨论的意识，能针对的情况求出正确结果，但在讨论的情况时出现计算失误，或在解完方程后忘记验证a是否符合所设的范围条件. 合格 缺乏分类讨论的严谨意识，默认函数单调递增，直接令，求出；或不知道如何利用单调性求闭区间上的最值，试图通过代入端点得到解答，并无依据与逻辑推理. 待提高 对含参对数函数的性质完全不理解，不知道底数a的不同取值会改变函数的增减性，无法建立参数a与函数最大值之间的联系，导致完全无法入手. 作业2.巩固性作业（时间要求：15分钟） 1. [改编自河南省漯河市2020-2021学年高一上学期期末数学试题] 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 由函数解析式，可得，即，解得， ∴函数的定义域为，关于原点对称. ∵，∴函数是一个奇函数 ∵，在上，，又 ∴在上，，图象在(0,2)上位于x轴上方，故选B. 【设计意图】 考查由函数解析式识别函数图象，沿“定义域—奇偶性—函数值符号”三个层次逐步排除，体现函数“定义域优先”的原则，把抽象的解析式转化为可观察的图象特征，渗透数形结合的数学思想方法，同时以数学文化名言作为背景，实现知识升华与学科育人的统一. 【核心素养】 ☐数学抽象 R逻辑推理 R直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能按“定义域→奇偶性→符号”的完整程序分析：求出定义域(−2,2)，用f(−x) =−f(x)说明奇函数并排除C、D，再选取正数的范围0<x<2，由真数大于1获取函数值在此区间上的正负f(x)>0，排除A，三层依据充分，论证完整. 良好 能由备选选项的图象特点，判断奇偶性排除C、D并选出B，但符号判断只取特殊值代入验证，如，未说明一般情形；或忽略了定义域优先，未说明定义域的求解. 合格 能正确求出定义域，或判断出奇偶性中的一方面，排除部分选项，但最后符号判断失误，如误以为对数式可正可负，无法从A、B中排除；或忽略了定义域优先，未说明定义域的求解；或没有说明符号判断时的具体范围等. 待提高 不会求函数的定义域；或忽略了定义域优先，未说明定义域的求解；不理解奇偶性与图象对称性的联系，只会逐点代入计算比对图象，耗时且易错. 2.[改编自浙江省强基（培优）联盟2023-2024学年高二下学期7月学考联考（期末）数学试题] 近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示训练迭代轮数，则学习率衰减到0.2及以下所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（    ） A．46 B．45 C．73 D．74 【答案】A 【参考解答】由题意知，只要解不等式，化简得， ． ∵，所以， ∴． 故选：A． 【设计意图】 围绕指数函数与函数零点核心知识，通过四个判断选项系统考查零点概念辨析（零点为横坐标而非点）、零点存在性定理应用、方程与函数转化（通过指幂方程交点探究凸显数形结合与直观想象素养）及参数范围求解（将区间内存在零点转化为值域与不等式交集问题）.着力培养学生逻辑推理与数学运算能力，蕴含函数与方程、化归与转化等思想方法. 【核心素养】 ☐数学抽象 R逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 R数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能理解题意，准确建立不等式模型，熟练运用对数运算性质，正确处理各对数式的化简，结合参考数据正确估算出 不等式结果，并根据“至少”及“轮数为整数”的实际意义向上取整，答案正确，且解析过程严谨完整. 良好 能建立不等式模型，但在取对数运算时出现计算失误，或算出 不等式结果 后未理解“至少”含义而错误地向下取整，误选 B，思维的严谨性有待加强. 合格 能理解题意需列含指数的不等式求解，但无法正确进行指对互化，后续步骤无法推进；或忽略了题目给出的参考数据，导致无法算出具体数值. 待提高 不理解题意中的数量关系得出不等式，或不熟悉将指数式转化为对数式的求解策略，或混淆指数函数与对数函数的单调性，需回归指对数运算的基础训练. 3.[改编自26-27高三上·重庆九龙坡·开学考试]（多选）已知函数 ，则下列说法正确的是（　　） A. 函数的定义域为(−1, 1) B. 函数为奇函数 C. 函数在(−1, 1)上单调递增 D. 函数的值域为R 【答案】ABD 【参考解答】对于A，由 ，即 ，解得 ，故定义域为； 对于B，定义域关于原点对称，且，故为奇函数； 对于C，令，在上单调递减，而对数函数在上单调递增， ∴由复合函数的单调性同增异减，在上单调递减，C错误； 对于D，当 时，取遍上的一切值，故取遍一切实数，值域为R； 故选ABD. 【设计意图】 以复合对数函数为研究对象，考查对数型复合函数与分式函数基本性质的理解与掌握，通过多选题的形式，依次对函数的定义域、奇偶性、单调性及值域四个核心维度进行设问，引导学生从单一到综合，系统梳理函数知识体系.其中，定义域考查分式不等式的解法；奇偶性考查代数变形与化简能力；单调性考查复合函数“同增异减”法则的运用；值域则考查内层函数值域与外层函数的映射关系. 【核心素养】 R数学抽象 R逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能准确求解分式不等式，完整求出定义域，并说明其关于原点对称，熟练运用代数变形判定奇偶性；深刻理解复合函数单调性法则（同增异减），准确判断内层函数的值域对外层以及复合函数的影响. 良好 能准确判断定义域和奇偶性，但在处理复合函数单调性时，对“同增异减”法则运用不熟练，或对内层函数的单调性判断有误，导致复合函数单调性判断错，；或者在求值域时，未能建立内层与外层函数的对应关系. 合格 能正确求出定义域；但在判断奇偶性或复合函数单调性时，只能解决单一问题，无法融会贯通，通过排除法或代入特殊值验证，可能得出部分正确选项. 待提高 缺乏复合函数的分析框架，对分式不等式求解、奇偶性定义、复合函数单调性法则等基础知识存在明显漏洞，无法对选项做出有效的数学判断. 作业3.提升性作业（时间要求：15分钟） 1. [改编自江苏省南通市如东县2026年高三上学期第一次学情检测数学试题] 若函数 是对数函数， (1)求实数a的值； (2)对于定义在区间D上的函数f(x)，若对任意，均满足不等式：，则称函数f(x)在区间D上为上凸函数（简称凸函数）. 对于任意的，，证明：函数是上凸函数. 【答案】 【参考解答】(1)由函数 是对数函数，可得系数， 解得：. 而a也是对数中的底数，∴，∴. (2)由(1)可得，函数解析式为， ∴， 由基本不等式有：对于∀，当且仅当时，等号成立， 而在定义域上单调递增，∴， 即满足，∴函数是上凸函数. 【设计意图】 采用"新定义+证明"的探究形式，第(1)问考查对数函数的定义，需同时满足“系数为 1”与“底数大于0且不等于1”两个条件，要求定义中系数这一易忽略要素以及舍去不符合底数要求的增根的完整把握；第(2)问考查对数运算性质、基本不等式与对数函数单调性的综合应用，将代数变形、不等式放缩与新定义阅读理解融为一体，培养学生面对新情境的迁移能力与理性思维. 【核心素养】 R数学抽象 R逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 第(1)问能列出“系数为1”与“底数a>0且a≠1”两组条件，求解后主动舍去增根a=1并说明理由；第(2)问能利用对数运算性质把化为 ，再借助基本不等式与对数函数的单调性完成不等式传递，能指出等号成立条件、变量范围等细节，书写规范、论证逻辑完整. 良好 第(1)问能正确求解并舍去增根；第(2)问结论正确、主要步骤齐全，但对数运算性质的运用有跳步；或没有阐述对数函数的单调性，完成不等式的转化等，论证过程有所欠缺. 合格 第(1)问能由系数为1解方程，但忘记舍去增根a=1；第(2)问能读懂新定义，会写出、的表达式，但不会利用运算性质把两者按合并为同一结构，证明无法推进；或联想不到利用基本不等式展开论证等. 待提高 第(1)问忽略系数为1的要求；或误认为系数为0；或求解方程出错；第（2）问读不懂新定义中的不等式结构，或对数运算性质、基本不等式不熟练，需先复习巩固对数运算性质、对数函数性质的基础运用. 2.[改编自黑龙江省哈尔滨市第六中学校2023-2024学年高一下学期开学测试] 若是奇函数，则          ，          ． 【答案】 【参考解答】方法1：由， ，， ，由， ∴，即自然对数值固定为一个常数，不受自变量x的影响， 故，， 故． 方法2：由函数解析式可知，定义域包括0，而是一个奇函数，可令，有， ∴， 当时，有，当时，有， 有， ∴， 有，即或， 若，解得：；若，方程无实数根； ∴，代入，解得：. 【设计意图】 考查奇函数的定义与对数运算法则的综合运用，要求将奇函数的定义式具体化到对数绝对值表达式中，其中“含参数分式恒为常数”的等价转化是本题的思维难点，对学生的代数推导与恒等变形能力提出要求，学生也可以通过代入特殊值进行联立求解，一题多解，提升学生的发散思维，渗透恒成立、转化与化归、从特殊到一般的数学思想方法. 【核心素养】 R数学抽象 R逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能准确利用奇函数定义建立 0并指明其对定义域内任意x恒成立，熟练运用对数运算性质将绝对值内的式子分离整式并化简，能敏锐捕捉“真数恒为常数，与自变量 x无关”这一核心条件，建立方程 和 ，准确解出参数a、b；或能尝试用特殊值代入、再验证恒等式成立的策略完整作答，书写严谨规范，不重不漏. 良好 能建立正确的奇函数关系式，但没有想到“真数恒为常数，与自变量 x无关”，没有掌握解得a的取值的方法，后续步骤无法推进；或在绝对值内的分式通分拆项的过程不够严谨；或能注意到奇函数的特征，尝试用特殊值代入，但代值过程对数运算出现错误等. 合格 知道奇函数的含义在题中的应用，会代入 −x 并尝试合并对数，但通分或对数运算法则不熟练导致出错；或不会利用"恒成立"条件，没有想到“真数恒为常数，与自变量x无关”，建立关于 a 的方程，求解中断；也可能真数部分含绝对值易导致产生困惑，尝试代入特殊值过程中，仅能想到由得到一个方程后无法确定两个参数，后续步骤无法推进. 待提高 对复合函数有畏难心理，不懂得结合题干“奇函数”条件找到数量关系，导致无从下手；或代入个别特殊值，但无法提取含参数a、b的等式并求解. 4.5 函数的应用（二） 第一课时 作业1.基础性作业（时间要求：15分钟） 1.[改编自2025年福建省宁德市期末考试] （多选）函数在定义域上有且仅有一个零点，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】AD 【参考解答】当时，函数有且仅有一个零点，满足题意； 当时，由函数有且仅有一个零点，可得，解得． 【设计意图】 考查函数的零点与方程的根的等价转化，以及二次函数判别式与根的个数关系，检验学生是否具备“系数是否为零”的系统思维习惯，结合一元二次方程根的判别式找到正确的系数等量关系，体会分类讨论的数学思想。 【核心素养】 R数学抽象 R逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能先确定二次函数定义域为实数集R，主动对二次项系数参数a进行分类讨论：先考虑时函数退化为一次函数，确认有唯一零点；再考虑时的二次函数情形，明确函数零点与方程的根的转化，由方程有两个相等的实数根，正确运用根的判别式 求解；最终完整得出或，两个符合的参数a的值，推理完整严谨。 良好 能默认考虑的二次函数情形，正确运用判别式，求得其中一个解，但忽略的一次函数情况，未作分类讨论；或虽想到针对二次项系数参数a进行分类但表述不够完整、清晰。 合格 能默认考虑的二次函数情形，确定函数零点与方程的根的关系讨论个数，直接套用二次函数判别式，计算出错。 待提高 没有联想到函数零点与方程的根的转化，进而没有考虑到一元二次方程中根的判别式与根的个数关系，建立等式求解；或完全忽略参数a对函数类型的影响，随机代入选项求解零点；或根的判别式记忆出错，没有正确列出系数等量关系，无法得出正确结果。 2.[改编自2025年内蒙古赤峰市三模] 已知函数，若函数至少有2个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【参考解答】若函数至少有2个零点，即函数与的图象至少有2个交点， 当时，， 当时，，当时，， 当时，， 函数的图象如下， 结合图象可得 当函数有3个零点时，的取值范围满足； 当函数有2个零点时，的取值范围满足或， 所以函数至少有2个零点时，的取值范围即为. 故选：C. 【设计意图】 考查函数零点与方程的根、图象交点的等价转化、函数零点的分段分布情况讨论，二次函数、对数函数的图象与性质，以及分段函数的边界分析；此为最典型的函数图象交点个数判断零点个数、求解参数范围的题型，结合函数图象与直线相交，体会数形结合、分类讨论的数学思想。 【核心素养】 ☐数学抽象 R逻辑推理 R直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能准确画出分段函数的图象，分析第一段二次函数顶点(-2,-1)、端点(0,3)，及其单调性，第二段对数函数部分过定点(1,0)且单调递减，特别注意时有2个零点、而时有3个零点的临界情况，正确分别得出2个零点与3个零点的两种对应情况 良好 能画出函数图象并得出范围，但忽略对临界点细节的分析；或能够正确分析2个零点或3个零点各自的情况，没注意审题，理解题干中“至少有2个”的含义，遗漏其中一种情况 合格 能理解函数零点个数即为图象交点个数的等价转化，但出现计算错误，没有准确画出分段函数图象，导致求解参数范围出错 待提高 未能理解函数零点与组成函数交点的转化，或无法正确画出分段函数图象，从而导致求解参数范围出错 3．[改编自22-23高三上天津南开阶段检测] 函数在区间上有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【参考解答】当时，，不合乎题意. 当时，由于函数、在上均为增函数， 此时函数在上为增函数. 当时，由于函数、在上均为减函数， 此时函数在上为减函数. 因为函数在区间上有零点，则，即+2)，解得.故选：A. 作业2.巩固性作业（时间要求：15分钟） 1．[改编自22-23高三上天津南开阶段检测] 函数在区间上有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【参考解答】当时，，不合乎题意. 当时，由于函数、在上均为增函数， 此时函数在上为增函数. 当时，由于函数、在上均为减函数， 此时函数在上为减函数. 因为函数在区间上有零点，则， 即+2)，解得.故选：A. 【设计意图】 以“含参函数零点存在性”为载体，考查指、对数函数的单调性，函数零点存在定理及代数恒等变形；强化从函数本质出发分析问题的意识，体会分类讨论的数学思想，回归初等函数单调性的原始判定。 【核心素养】 ☐数学抽象 R逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能独立、完整地完成三种情况的讨论，单调性判断准确严谨；对开区间端点处理极其敏锐，能明确说明 而非 的原因，且能运用零点存在定理严谨论证零点的存在性；解题过程逻辑清晰，书写规范，能主动反思并对比分离参数法的优劣。 良好 能正确完成三种情况的分类讨论，单调性判断正确，端点值计算无误，最终答案准确；但对开区间端点处“为何不能取等号”的解释不够充分或略显模糊，或对零点存在定理的表述不够严谨，书写过程有少量跳跃，但不影响整体逻辑。 合格 能意识到需要根据的符号进行分类讨论，并在<0时单调性判断正确，能计算出+2并得出临界值；但在分类时可能遗漏>0或=0的情况，或在判断单调性时出现混淆；开区间端点处理存在等号误取（写成），最终答案虽有偏差但思路方向基本正确。 待提高 不能正确分类或分类混乱；无法判断不同取值下的函数单调性；零点存在定理使用错误或完全未使用；不能正确计算端点函数值；解题过程缺乏逻辑，书写潦草，最终答案与正确选项偏离较远。 2．[改编自2017黑龙江佳木斯市高一期末]已知函数. (1)若的解集为或，求的值； (2)设函数，证明：不存在实数，使得函数有两个异号零点. 【答案】(1)， (2)详细看解析 【参考解答】（1）不等式， ∵不等式的解集为或， ∴是方程的根， ∴，解得. （2） 令，得； 若函数有两个异号零点，则需满足： 不等式组无实数解，故不存在实数，使得函数有两个异号零点. 【设计意图】 考查一元二次不等式的解确定参数，二次函数的零点分布问题。由二次函数的零点与函数图象与x轴交点、方程的根的等价转化，将图象信息转化为满足问题的限制条件，借助图象直观判断零点位置，从而得出具体结果。 【核心素养】 R数学抽象 R逻辑推理 R直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 熟悉二次不等式的解与二次方程的根的关系，应用韦达定理或者待定系数法解决(1)的两个参数值，在(2)中能准确理解题意，将问题转化为一元二次方程的根的个数问题，通过反证的思维推导问题的证明，解题过程逻辑严密、表述规范。 良好 知识掌握比较扎实，(1)能正确将问题转化为二次方程的求根问题，并通过待定系数法求解结果；(2)通过分类讨论以及求根公式判断根的范围，逐解答过程准确，但没有体现“多想少算”的数学思维。 合格 (1)的求解过程存在运算错误，(2)的求解过程同样利用分类讨论的思想，研究出,以及的情况下的结果，但不能正确判断当存在两个零点时的根的符号，解答过程有疏漏，运算能力薄弱。 待提高 未能理解题意，没有找到关键的等价关系，忽略了二次方程的根与二次不等式的解的关系。无法将问题条件转化为相关的图象信息以及方程不等式关系，运算结果有误。 3.[改编自23-24高一上·重庆·阶段检测]下列说法正确的是（    ） A．函数，是增函数，零点为 B．已知实数，则函数 的零点所在的区间是 C．函数的零点个数为3个 D．函数在上存在零点，则正实数的取值范围是 【答案】BCD 【参考解答】根据指数函数的性质知，是上的增函数，令，得，则函数零点为，故A错误； 因为函数，，易得函数为上的增函数， 又 故函数的零点所在的区间是，故B正确； 函数的零点个数，为函数与的图象交点个数，如图所示， 两个函数图象有三个交点，故函数有三个零点，则C正确； 因为函数在上存在零点，则有，解得， 故D正确，故选：BCD. 【设计意图】 围绕指数函数与函数零点核心知识，通过四个判断选项系统考查零点概念辨析（零点为横坐标而非点）、零点存在性定理应用、方程与函数转化（通过指幂方程交点探究凸显数形结合与直观想象素养）及参数范围求解（将区间内存在零点转化为值域与不等式交集问题）。着力培养学生逻辑推理与数学运算能力，蕴含函数与方程、化归与转化等思想方法。 【核心素养】 R数学抽象 R逻辑推理 R直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 答案正确，且解析过程严谨完整。能精准辨析“零点为横坐标而非点”的概念误区；能规范计算区间端点函数值并说明单调性；能通过数形结合或构造函数严谨论证指幂方程恰有3个交点（含负根的存在性）；能将区间存在零点等价转化为值域交集问题。 良好 答案正确，但解析过程存在局部瑕疵。例如C项仅凭记忆或粗略画图得出“3个零点”，未对负根的存在给出合理解释；或D项求解范围时只列出而忽略的隐含条件。整体思路正确，核心知识掌握较好，但思维的严谨性与表达的规范性有待加强。 合格 能排除A项（零点概念基本清晰），并能选对部分正确选项（如B和D），但对C项指幂函数交点个数判断失误，或对D项参数范围转化不完整，导致漏选。能初步运用零点存在性定理进行代入估算，但数形结合意识薄弱，化归与转化能力处于基础水平，仅能处理单一知识点，综合应用能力不足。 待提高 错选A项或最终选项严重偏离（如仅选A或AC等），对函数的零点概念存在根本性混淆，不理解零点存在性定理的使用条件，不会将方程根转化为函数图象交点，图象意识缺失。解题停留在机械记忆或盲目猜测层面，基本数学素养亟待强化，需从概念辨析和基本作图方法入手进行补差。 作业3：提升性作业（时间要求：15分钟） 1.[改编自25-26高一下·广东汕尾·期末] （多选题）已知定义域为的函数满足，且当时，，，若与在的图象有且仅有一个公共点，则以下可以满足要求的k值为（     ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】AB 【参考答案】由题意可知：，， 令，可得，即； 令，可得，即， 可知函数为定义域为的奇函数， 可得，，， 依次类推：可得，， 又因为，，综上所述：，， 当时，令，可得，即， 对任意有理数，，且，可得， 所以，. 因为与在的图象有且仅有一个公共点， 令，，可得与在的图象有且仅有一个公共点， 令，即，令，解得， 此时的解为，即与切于点， 由图象可知：，结合选项可知AB正确. 【设计意图】 考查抽象函数，函数方程以及含参函数零点个数问题，考查学生的数学抽象与逻辑推理能力，能先从出发，结合定义域，推出，这考查了对加法型抽象函数的理解，利用一次函数模型后题目难度下降，问题考查重点关注学生的探究能力以及问题思辨能力，学生也可以通过代入数值进行推理，培养学生的逻辑思维以及探究精神。 【核心素养】 R数学抽象 R逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 选择AB，构建能先从出发，结合定义域，推出，再利用换元法和根据函数零点个数为1，由图像和一元二次方程解的个数求解出k的取值范围，并能进行严格的证明，最终得出正确结果。 良好 只选A或者只选B，能推出，能通过条件当时，，排除D选项，只通过把k值代入，验算了部分选项从而得出答案.但无法利用换元法解出k的取值范围. 合格 选择ABC，能推出，能通过条件当时，，排除D选项，无法利用 待提高 对抽象函数有畏难心理，未能构建新函数，未理解函数零点与图象交点的关系，同时无法通过特殊值法进行排除，导致无从下手。 2.[改编自2026年俄罗斯统一国家考试] 若函数与函数的图象有两个交点，求的取值范围 【答案】 【参考解答】 设函数， 因式分解得： 依题意，函数在R上有两个零点， 当时，此时，令0，解得或，要使函数在R上有两个零点，只需，解得； 当时，令0，解得或或，不满足题意； 当时，若，令，解得，故此时函数在R上至少有3个零点，不满足题意; 若，令0，解得，满足题意. 综上所述，的取值范围为. 【设计意图】 考查函数的零点与函数图象交点的关系，多项式的因式分解，以及含参函数零点个数问题；首先要求学生具备较高的数学运算素养，能先从两个函数作差后的结果中提取出这一定零点，再通过提取公因式后对剩余的三次函数进行进一步因式分解。然后根据分析各因式的函数类型与性质，对参数展开合理分类，最后确定不同条件下满足题意的的取值范围。题目在数字上的设置上做了引导性提示，因式分解后难度下降，中等学生也可以独立完成分类讨论的过程。问题考查重点关注学生的探究能力以及问题思辨能力，打破传统套路化公式化的命题形式，培养学生的逻辑思维以及探究精神。 【核心素养】 R数学抽象 R逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 构建新函数并正确进行因式分解，根据不同函数模型对展开合理分类，最后正确分析不同的取值范围下的函数零点个数，最终得出正确结果。 良好 能正确因式分解函数，但分类讨论过程不完整，对某些的特殊取值没有进行具体分析，导致结果出错。如忽略了无法满足题意，或者时可以满足题意这两种特殊情况。 合格 无法正确进行因式分解，但经指导后可以独立完成分类讨论部分的分析，能根据函数性质给出正确结果或者大致正确结果；或者能根据题目两个函数的结构，先得出这一个特殊的满足条件项，并以此为跳板，研究以及时两个函数的交点个数情况；能估算出这一个特殊零点，通过提取公因式后，研究剩余三次函数在不同的取值范围下的函数零点个数情形。 待提高 未理解函数零点与图象交点的关系，未能构建新函数，对多项式运算有畏惧心理。同时由于不熟悉三次函数与四次函数无法通过作图研究问题，导致无从下手。 第二课时 作业1.基础性作业（时间要求：10分钟） 1.函数的零点为(     ). A.20 B. C.或20 D.15 【答案】A 【参考解答】函数的定义域为， 令，得，即，解得或（舍去）.故答案为：20. 【设计意图】 考查函数的零点概念，以及对数函数的定义域、对数的运算性质与解对数方程的基本技能；检验学生是否具备“定义域优先”的系统思维习惯，强调数学运算的严谨性与系统思维。 【核心素养】 R数学抽象 ☐逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能首先明确定义域，理解函数零点与方程的根的等价转化，运用对数运算性质化简方程并求解，能根据定义域准确舍去增根，确定最终答案 良好 能正确列出并求解方程，但对定义域的求解出现错误或舍根理由未说明 合格 能由零点概念列出方程，解出方程的两个根，但忽视函数定义域，未能舍去 ，误选C. 待提高 没有理解零点的概念，或对数运算性质运用错误，未能建立正确的方程求解 2.17世纪对数的发明被誉为"延长了天文学家寿命"的伟大创造，对天文学与航海计算产生了深远影响.已知 1＜a＜e，则 、 、 、 这四个数从小到大排列为（ ） A． ＜ ＜ ＜ 　　B． ＜ ＜ ＜ 　　 C． ＜ ＜ ＜ 　　D． ＜ ＜ ＜ 【答案】A 【参考解答】由 1＜a＜e 知， ∈(0,1)， =1. 又 ∈(1,)，且 = ，由 ln a∈(0,1) 得 ＞1. 取 a=， = ≈1.19， = = ≈2.89，故 ＜ .综上， ＜ ＜ ＜ ，故选 A. 【设计意图】 考查指数函数与对数函数的运算性质、单调性比较，检验学生对指对数运算公式与利用特殊值代入方法解决问题的能力。培养学生的：化归与转化思想（异底换底、用中间量统一变量）、函数思想（借助单调性判断函数值大小）。 【核心素养】 ☐数学抽象 R逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能正确运用指数函数与对数函数的单调性，准确判断各表达式的取值范围（ ∈(0,1)， =1， ∈(1,)， ＞1），并借助换底公式统一变量、严谨比较 与 的大小，综合排序正确，过程规范完整。 良好 能判断各表达式的取值范围，但比较 与 时未充分借助特殊值或换底公式论证，结论正确而过程不够严密。 合格 能判断部分表达式的范围（如 =1， ∈(0,1)），但对 与 的比较有误或论证不充分，整体排序存在偏差。 待提高 不清楚指数函数、对数函数的单调性，不会借助中间量或换底公式比较数的大小，无法完成排序。 3.核废料安全处理是核能可持续发展的关键课题。某核废料中放射性同位素¹⁴C的剩余量 N(t) 与衰变时间 t（单位：年）满足函数关系 N(t) = N₀· ，其中 N₀ 为初始量，λ = （半衰期约30年）。记处理10年时剩余量为 N₁，20年时为 N₂，30年时为 N₃，则下列判断正确的是（） A． B． C． D． = 2 1．B 【参考解答】依题意，λ = ， N₁ = N₀· = N₀· = N₀· ， N₂ = N₀· = N₀· ， N₃ = N₀· = N₀· = 。 对于B：· · = N₀²· ， ，故B正确； 对于A：由均值不等式，，等号当且仅当 N₁ = N₃ 时成立，而 N₁ ≠ N₃，故 N₁ + N₃ > 2N₂，A错误； 对于D： = ≈ 1.587 ≠ 2，D错误； 对于C：N₁ − N₃ = N₀( − ) ≈ N₀(0.794 − 0.5) = 0.294N₀， N₂ = N₀· ≈ 0.630N₀，因 0.294N₀ < 0.630N₀，故 N₁ − N₃ < N₂，C错误。 故选B。 【设计意图】 考查指数函数模型的应用与指数运算性质，以核废料处理为真实情境，体现数学在核安全中的应用。要求学生理解指数衰减规律，运用指数运算比较大小关系，考查逻辑推理与数学运算素养。 【核心素养】 ☐数学抽象 R逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 R数学建模 R数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 正确代入时间值，熟练运用指数运算性质逐一验证各选项，得出正确结论。 良好 能正确计算 N₁、N₂、N₃ 的值，但在比较时仅验证部分选项，推理不够严谨。 合格 能识别指数衰减模型，但计算或比较过程中出现错误，经提示可修正。 待提高 未能理解指数衰减模型的物理意义，无法正确代入计算。 作业2.巩固性作业（时间要求：20分钟） 1.[改编自2019-2020学年高一上·河南平顶山·阶段检测]已知函数，若实数是方程的解，且，则的值满足（    ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【参考解答】（方法一：函数的单调性）由于对数函数单调递增，指数函数单调递减，可得函数在定义域上单调递增， 而，由， ∴，∴0. （方法二：函数图象交点）实数是方程的解，即方程的解， 如图，画出函数与函数的图象，实数即两个函数交点的横坐标，由，可知，∴. 【设计意图】 考查函数零点转化为两个函数图象交点的关系，以及回顾组成函数的单调性来判断复合函数的单调性、对数函数与指数函数的单调性；通过函数图象直观判断交点位置与函数值大小关系体会数形结合的数学思想方法，拓展“一题多解”的数学思维。 【核心素养】 ☐数学抽象 R逻辑推理 R直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能灵活运用两种方法解题：方法一准确判断单调递增，由推出；方法二能准确画出两个指、对函数的图象，通过交点与图象位置进行动态演变判断大小关系 良好 能运用其中一种方法正确解题，单调性判断正确，或正确画出函数图象与分析，推理过程完整。 合格 能确定单调性，但没有正确判断大小关系；能画出两个组成函数的图象，但画出图象后没有根据图象位置正确判断变量的大小关系 待提高 未能理解作为零点转化为两个组成函数图象交点的几何意义，或判断函数单调性出错，影响结果 2.[改编自2024年贵州省六盘水市期末考试]（多选）关于函数的性质，下列说法正确的是(     ). A. 函数是单调递增函数 B. 函数在的值域是 C. 函数的零点是 D. 函数函数图象关于原点对称 【答案】BD 【参考解答】解：函数的定义域， 由函数的单调性定义，易得函数在上单调递增，在上单调递增， 但，，，即函数不连续，不是在定义域上单调递增，故A错误； 由函数在上单调递增，而，飘带函数 趋近于无穷大，故，故 B正确； 令，即，解得或，则函数的零点是，“零点”不是坐标系中的点，而是使得函数值为0的对应x的值，表述错误，故 C错误； ，且定义域关于原点对称，则函数是奇函数，图象关于原点对称，故 D正确． 故选：． 【设计意图】 综合考查飘带函数（反比例型函数）的性质，对函数的零点概念的理解与辨析，奇偶性的判断。本题作为多选题，各选项独立，分别对应学生各知识内容的易错点：A 选项考查不连续的定义域对于函数单调性的影响，强调“分段递增≠整体递增”；B 选项考查利用单调性与极限思想分析值域；C 选项考查函数的零点定义与求解，强调函数的零点不是“点”；D 选项借函数图象对称性的形式，考察解函数奇偶性定义的完整验证，强调满足定义域关于原点对称的前提；全面诊断学生对函数基本性质的掌握程度，体会数形结合的数学思想。 【核心素养】 R数学抽象 R逻辑推理 R直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能准确画出或想象飘带函数的图象特征，对每个选项逐一严谨判断：A 选项能举反例否定整体递增；B 选项能结合单调性与函数图象分析值域；C 选项能明确函数零点的概念，“零点是使得函数的x值”；D 选项能完整论证定义域关于原点对称的前提，和判断函数为奇函数，确定函数图象关于原点对称的特征；最终正确选出 BD选项，无漏选、无多选。 良好 能正确判断 B、D 选项，但对 A 选项误判断为“分段递增”即“整体递增，为增函数”，未能举出反例或明确函数不连续的情况；或 C 选项中对“零点”概念的掌握不够透彻，认为零点求解正确，误判断为正确，导致多选。 合格 能判断部分正确选项（如D选项函数奇偶性与对应函数图象特征），但忽略函数的定义域，或图象特征不熟悉，导致A选项误判为正确；或C选项中对“零点”概念的掌握不够透彻，未发现“零点”与“点的坐标”的表述差异；或 B 选项值域分析错误，导致漏选或多选。 待提高 完全没掌握判断或求证函数基本性质（单调性、奇偶性、零点、值域）的方法，无法正确分析飘带函数的图象与性质；或完全随机代入选项、套用结论，多选题基本无法正确判断等。 3.在乡村振兴与智慧农业的科技前沿背景下，某农业科技园引进了一套“智能水肥一体化灌溉系统”。该系统通过传感器实时监测土壤湿度，并自动调节出水量。经过技术团队实测，该系统的瞬时出水量（单位：L）与土壤实时湿度x（单位：%，0<x<1）之间近似满足函数，若2个对应的土壤实时湿度使得对应瞬时出水量的情况为0，求解a的范围. 【答案】 【参考解答】方法一：由题意，函数在有2个零点， 即方程在有2个实数根， 分离参数得：，而， 对于对勾函数，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，且， 所以，即. 方法二：由题意，函数在有2个零点，且. 则有，解得. 故满足条件的a的取值范围为. 【设计意图】 考查学生数学建模应用能力，二次函数在指定区间内零点个数的讨论，分离参数法，对勾函数单调性与最值的综合应用；分析智慧农业实际背景，识别出现实背景中的等量关系，抽象出函数零点或方程模型，求解参数问题，准确分析区间限制对于函数值域的影响，掌握借助图象直观判断零点或交点个数的方法，体会数形结合的数学思想，拓展“一题多解”的数学思维。 【核心素养】 R数学抽象 ☐逻辑推理 R直观想象 R数学运算 R数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能准确理解题意，确定求函数零点与方程的根的数学本质，根据自变量的范围为，灵活运用两种方法解题：方法一分离参数法，分析对勾函数的单调性与值域；方法二分析二次函数图象特征，在指定区间内有两个零点，确定对称轴的位置在区间内、转化为一元二次方程有2个不相等的实数根，从而确定参数具体范围的两种方法,推理过程逻辑严密、表述规范 良好 能运用其中一种方法正确解题，方法一完成分离参数，正确求出对勾函数的最小值，但在端点分析时可能忽略端点的条件，导致没有准确分析参数范围临界值，或对勾函数单调性与值域的说明过程省略；方法二能明确二次函数在指定区间内有2个零点，且区间端点函数值都为正，但忽略对称轴位置或根的判别式的条件，缺少列出关于参数a的不等式条件，解答过程有疏漏 合格 方法一能尝试分离参数并联想到对勾函数，但在求值域时计算有误，或未能根据区间的限制，准确得出对勾函数的图象范围，判断图象交点个数出错；方法二选择根的判别式法讨论二次函数零点分布，没有正确分析函数图象特征，忽略区间端点函数值为正，缺少列出关于参数a的多个不等式条件，或因涉及多个不等式而运算出错 待提高 未能理解题意，没有找到关键的等量关系，建立正确的函数零点与方程模型；或方法一列出方程后缺乏分离参数的意识，没有变形展开；方法二明确一元二次方程后，不会分析函数图象特征，仅用根的判别式讨论根的个数，缺少必要的关于参数a的多个不等式条件，结果求解错误 4. [改编自2025年安徽池州第二次模拟考] 已知函数，若有4个互不相同的根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【参考解答】令，则方程可转化为. 对进行因式分解可得，则，. 所以或. 当时，，因为指数函数在上单调递增，所以在上单调递增，且. 当时，，其中，当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以在处取得最小值，. 对于： 当时，，解得，有个根. 因为有个互不相同的根，已经有个根，所以需要有个不同的根. 结合的图象可知，当时，与有个不同的交点，即有个不同的根. 的取值范围为. 故选：B. 【设计意图】 考查复合函数的零点问题、函数零点的分段分布情况讨论，换元法、因式分解求解一元二次方程、指数函数与对勾函数的图象与性质。准确识别条件中关于函数复合函数或方程，求解方程，分析不同函数值的根的分布，分情况讨论，转化为图象交点个数求解参数范围，强调注意临界值的细节情况，体会数形结合、分类讨论的数学思想。 【核心素养】 ☐数学抽象 R逻辑推理 R直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能准确识别条件中关于函数的一元二次方程，采用换元化简、因式分解的方法解出方程，即函数的两个值，分类讨论两种情况，准确分析的两个值对应根的分布情况，画出分段函数的完整图象，分析出各段的值域与最值，确定需有3个根，结合图象确定参数a的范围，注意时只有2个交点（包括）、而时有3个交点的临界情况，正确得出. 良好 能正确换元求解方程，能分析根的分段分布情况，分类讨论，但对忽略对临界点细节的分析，验证不够完整 合格 能求解方程，但对的两个值对应根的分布情况分析有误，或对分段函数的图象特征不熟悉，交点个数判断出错，导致范围判断错误 待提高 整体二次方程的求解计算出错，或无法正确画出分段函数的图象，或未能正确分析两种情况对应根的个数，误以为有两个根等，导致范围判断错误 作业3.提升性作业（时间要求：15分钟） 1.[改编自25-26高三上·广东深圳·阶段检测]定义，设且关于的方程恰好有三个不等实根、、，则，的取值范围为__________. 【答案】 【参考答案】由题意可知函数的定义域为， 当时，可得，整理可得，解得， 即当时，； 当时，可得，整理可得，解得（舍）或， 即当时，， 即， 由题意可知，直线与函数的图象有三个交点，如下图所示： 由图可知， 不妨设，因为二次函数的对称轴为轴，则点与点关于轴对称，所以， 由可得，故，故的取值范围是. 【设计意图】 以自定义运算为背景，考查一元二次不等式、分段函数的图象分析、方程根的个数判断及根的范围求解。要求具有较高的数学抽象和数学运算素养，学生先确定的分段表达式，再通过数形结合函数图象分析方程根的个数与参数 m 的关系，最后利用根的结构求和的范围。体现数形结合思想、分类讨论思想和整体代换思想，综合性强，具有挑战性。 【核心素养】 R数学抽象 R逻辑推理 R直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能化简函数的解析式，数形结合可得出的取值范围，不妨设，由二次函数的对称性求出的值，由可求出的范围，可求出的取值范围. 良好 能化简函数的解析式，数形结合可得出的取值范围，但不能找出当，不能利用二次函数的对称性求出或者能化简函数的解析式，能进行数形结合，但忽略定义域解错m的取值范围 合格 能化简函数的解析式，由于忽略定义域解错m的取值范围，且不能进行数形结合分析出m的取值范围, 待提高 能利用列出关于x的不等式，但不能解出定义域，从而未能构建新函数，未理解函数零点与图象交点的关系，导致无从下手。 2. [改编自23-24高一下 ·山东滨州·开学考试]已知，求证：有且仅有一个零点，且. 【参考答案】 ，当时，，所以在上不存在零点； 易得在上单调递增，且，， 根据零点存在定理，有且仅有一个零点，且 所以，则. 所以， 因为函数在上单调递减， 所以，即， 因为函数在上单调递增，所以,所以， 即，变形得. 【设计意图】 以不等式证明为背景，考查学生利用隐零点进行转化以及不等式放缩，单调性（利用指数函数和反比例函数判断函数单调性）与零点存在性定理结合说明零点的唯一性，列出零点方程，得出，并结合的单调性得到零点的范围，体会设而不求的数学方法，函数与方程的核心思想；将零点方程进行指对互化适当变形，整体代入最值式子进行化简或者含零点的式子中进行不等式证明，考查学生能否能利用隐零点的关系等价转化为简洁的代数不等式，并利用进行精准放缩，体会转化和化归能力 【核心素养】 R数学抽象 R逻辑推理 R直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能利用单调性的性质或定义证明得出函数的单调性，得出函数有唯一的零点，并推出；能将目标不等式进行利用等价转化证，再构造函数，利用证明不等式成立. 良好 能得出函数的单调性，得出函数有唯一的零点，并推出；能够想到将原不等式转化，能将目标不等式进行利用等价转化证,但放缩过程不够严谨或不够简洁. 合格 能将函数的零点转化为方程的根，能从函数交点个数即数形结合能得出零点的唯一性，但无法利用单调性和零点存在性定理结合进行严格证明（即未说明为什么有且只有一个）,能得出这个结论后无法对不等式进行化简 待提高 未能将函数的零点转化为方程的根，或能将函数的零点转化为方程的根却无法得出其唯一性，未能利用单调性和零点存在性定理进行证明,无法将不等式进行转化. 第四章单元作业设计 作业1．基础性作业（时间要求：20分钟） 1．计算下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【参考解答】 （1）， ，， 故原式 . （2）由换底公式 ，得 【设计意图】 考查分数指数幂与根式的互化及运算性质、负整数指数幂，以及对数运算性质与换底公式的运用；通过根式化成分数指数幂、连乘约分，检验学生对指数、对数运算法则的掌握程度，巩固运算基本功，为后续研究指数函数、对数函数的性质奠定基础. 【核心素养】 R数学抽象 ☐逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能熟练地将根式与分数指数幂互化，正确运用指数、对数运算性质及换底公式，两小题结果均正确，过程书写规范、运算零失误. 良好 运算基本正确，但对换底公式的连乘约分不够熟练，或第（1）小题符号处理出现小失误，经检查能自行改正. 合格 能正确完成部分运算，但对分数指数幂的运算性质或换底公式掌握不牢，出现法则混淆或计算错误，需借助提示才能完成. 待提高 对指数幂的运算性质、对数运算性质及换底公式不熟悉，无法独立完成计算，运算符号与法则混乱. 2．[改编自25-26高一上，云南，期末] 函数 的图象恒过定点 ，函数 的图象恒过定点 ，则 、 两点间的距离为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【参考解答】指数函数 的图象恒过定点 ， 将图象向右平移 1 个单位、再向上平移 1 个单位，即得 的图象，故 ； 对数函数 的图象恒过定点 ， 同理将图象向右、向上各平移 1 个单位，得 的图象，故 . 所以 . 故选 B. 【设计意图】 考查指数函数、对数函数图象恒过定点及其平移变换规律，以及平面两点间距离公式；检验学生对基本初等函数图象特征的识别能力，渗透数形结合思想，为后续研究函数图象变换奠定基础. 【核心素养】 ☐数学抽象 ☐逻辑推理 R直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能准确写出指数函数、对数函数的定点，正确应用平移规律得到 A、B 的坐标，距离公式运用准确，结果正确. 良好 定点与平移判断正确，但距离计算出现小失误，或对平移方向判断偶尔混淆但能自查修正. 合格 能写出指数函数或对数函数其中一方的定点，另一方的平移规律判断有误，距离公式能列出但结果出错. 待提高 不清楚指数函数、对数函数的基本定点，不理解图象平移对定点的影响，无法确定 A、B 的坐标. 3.[改编自19-20高一上·山东临沂·期末] 已知 ，，，则 ，， 的大小关系为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【参考解答】 【设计意图】 考查指数函数、对数函数单调性及借助中间量比较数的大小的方法，将 a、b、c 分别与中间量 0、1 比较，确定各自落在 (1,+∞)、(0,1)、(∞,0) 中的哪个区间，再依区间排定大小关系.渗透“化归”思想——把不能直接比较的数通过中间量（尤其是 0 与 1）架桥，实现“同界”比较；同时培养先定性（判断符号与是否大于 1）、后定序的解题习惯. 【核心素养】 ☑数学抽象 ☐逻辑推理 ☐直观想象 ☑数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能准确判断三个数的符号及与 1 的大小关系，正确选取 0、1 为中间量，完整写出比较过程并排序正确. 良好 能利用单调性判断出部分数的大小或符号，但中间量选取不全（如只用了 1 未用 0），导致排序不完整或个别错误. 合格 知道指数、对数函数的单调性方向，能判断个别数与 0、1 的大小，但无法整合三个量完成完整排序. 待提高 不清楚指数函数、对数函数的单调性，或不会用中间量比较数的大小. 4.[改编自19-20高一上·北京西城·期末]某放射性元素每经过 3 年，其质量减少为原来的一半.现有该元素 800 g，则经过 年后，其剩余质量 （单位：g）为（　　） A．　　B． C．　　D． 【答案】B 【参考解答】每经过 3 年质量减半，即每经过 1 年质量乘以 .经过 年后，剩余质量为 .故选 B. 【设计意图】 考查指数函数模型在实际“半衰期”问题中的应用.先明确“每 3 年减半”意味着每 1 年质量乘以 t；再结合条件 建立函数.渗把实际问题中的“周期性等比例变化”抽象为指数函数，体会“底数与周期的对应关系”这一建模关键，培养由特殊（每 3 年）到一般（任意 t 年）的抽象能力. 【核心素养】 ☑数学抽象 ☐逻辑推理 ☐直观想象 ☐数学运算 ☑数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能正确识别底数与指数为 t，准确写出，并能说明建模依据. 良好 能写出含 的指数形式，但底数与指数的对应关系处理不当 合格 能理解“质量减半”这一规律，但不会将周期与底数、指数对应，无法构建完整解析式. 待提高 不理解按周期等比例衰减的指数模型，无法建立 m(t) 的表达式. 5．已知 ，，则： （1）______；（2）______；（3）______（结果用含 的式子表示）. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【参考解答】（1）由对数的积的性质，. （2） 由对数的商的性质，. （3）由换底公式及对数运算性质，. 【设计意图】 考查对数的运算性质（积、商、幂的对数）与换底公式的运用，以及“用已知对数表示所求对数”的转化方法；检验学生灵活运用对数运算法则进行变形、代换的能力. 【核心素养】 ☐数学抽象 R逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能正确运用对数运算性质与换底公式，三空全部正确，第（3）空的换底过程书写规范、结果最简. 良好 第（1）（2）空正确，第（3）空换底思路正确但结果未化到最简，或分子分母变形出现小失误. 合格 能正确完成第（1）（2）空的简单运算，但对第（3）空的换底公式运用不熟练，无法完整转化. 待提高 对数运算性质（积、商、幂）记忆错误，或不会换底公式，无法用 a、b 表示所求对数. 6.[改编自2015·湖南长沙·一模] 某商品按标价的九折出售，利润率为 50%；若改为按标价的八折出售，则利润率为______（结果用百分数表示，保留1位小数）. 【答案】约 33.3% 【参考解答】设标价为 元，进价为 元.按九折出售且利润率为 50%，得 ，解得 .按八折出售，售价为 ，利润率为 .故利润率约为 33.3%. 【设计意图】 考查利用方程思想解决实际生活中的折扣与利润率问题.渗透“方程思想”与“数学建模”思想，通过设元、列等式把折扣与利润率之间的数量关系结构化，体会“引入未知数统一表达各量”的建模方法，培养用数学解决实际经济问题的能力. 【核心素养】 ☐数学抽象 R逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能正确设元并建立方程 0.9x=1.5c，准确求出 ，再正确计算八折利润率约 33.3%，过程规范完整. 良好 能列出标价与进价的关系式，思路正确，但在代入计算利润率时出现数值或比例换算错误. 合格 能理解利润率 = 利润/进价 的定义，但不会设元列方程求解标价与进价的关系. 待提高 不理解利润率与折扣之间的数量关系，无法建立方程求解. 作业2．巩固性作业（时间要求：20分钟） 1．[改编自19-20高一上·福建厦门·期中] 已知函数 （ 且 ）. （1）求函数 的定义域； （2）若对任意 ，都有 ，求实数 的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【参考解答】（1）由 ，得 ，故定义域为 . （2）当 时，. ①当 时， 单调递增， 即 ，需对任意 恒成立，即 不小于 的所有取值，但 无上界，不可能； ②当 时， 单调递减， 即 ，因 （）恒成立. 综上， 的取值范围为 . 【设计意图】 考查对数函数定义域与单调性在恒成立问题中的应用，训练分类讨论.解题思路：第（1）问由真数大于 0 求定义域；第（2）问按 a>1 与 0<a<1 分两类，分别利用单调性将 f(x)≤1 等价转化为真数与 a 的大小关系，再判断能否对任意 x≥3 恒成立，最终确定 a 的范围.思想方法：渗透“分类讨论”与“转化化归”思想——将对数不等式 f(x)≤1 转化为真数不等式，是处理对数问题的核心技巧；底数含参时必须讨论其与 1 的大小关系，培养分类完整、等价转化的能力. 【核心素养】 ☐数学抽象 ☑逻辑推理 ☐直观想象 ☑数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 定义域求解正确，能分 a>1 与 0<a<1 两类严密讨论，并正确判断恒成立条件，得出 0<a<1，过程完整. 良好 能正确分类讨论，但个别不等式的等价转化或恒成立判断出现细节错误. 合格 能正确求出定义域，但不会将对数不等式 f(x)≤1 转化为真数不等式，或不会处理恒成立. 待提高 不理解定义域的含义，或不掌握对数不等式与单调性之间的关系. 2．[改编自 25-26高一上•上海•期中]已知函数 ，. （1）求 的最小值；（2）若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【参考解答】 （1）令 ，由 ，得 .则 .当 ，即 时， 取得最小值 . （2） 对任意 恒成立，等价于 对任意 恒成立，即 .由（1），， 在 上单调递增，故 .所以 ，即实数 的取值范围为 . 【设计意图】 考查换元法将指数型复合函数转化为二次函数求最值，以及“不等式恒成立”问题向“最值”问题的转化；通过整体换元（）实现化归，检验学生的转化与化归、数学运算能力，渗透函数与方程思想. 【核心素养】 R数学抽象 R逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能正确换元并确定新元范围，将问题转化为二次函数最值，第（1）（2）两问均完整正确，能清晰说明“恒成立”与“最大值”的等价关系. 良好 换元与最值求解正确，但对“恒成立⟺a≥最大值”的转化表述不够严谨，或未明确写出新元 t 的取值范围. 合格 能完成换元，但对新元 t 的范围确定有误，或求最值时忽略了区间端点，导致结果偏差. 待提高 不会换元化归，无法将指数型函数转化为二次函数，或对二次函数最值与恒成立问题缺乏思路. 3.[改编自2017高二上·广东广州·学业考试] 已知函数（）. （1）若 ，求函数 的零点； （2）若函数 在区间 上恰有一个零点，求 的取值范围. 【答案】（1）2 和 3；（2）. 【参考解答】（1）当 时，，令 ，得 或 ，故零点为 2 和 3. （2），零点为 和 .要使 在 上恰有一个零点： ①当 时，，在 上恰有一个零点 ，符合； ②当 时，两零点为 和 . 恒在 内，故 或 . 综上， 或 ，即 . 【设计意图】 考查二次函数零点分布问题，训练通过因式分解把零点分布转化为零点与区间位置关系的讨论.把抽象的零点分布问题具体化、可视化，渗透“数形结合”与“分类讨论”思想，同时体会重根这一临界情形的处理，培养讨论严密、不重不漏的思维品质. 【核心素养】 ☐数学抽象 R逻辑推理 R直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能准确分析分段函数在各段的值域，通过数形结合正确确定 m 的临界范围（-1<m≤0），对边界点 m=0、m=-1 的取舍判断准确，推理严密. 良好 能画出函数图象、判断交点个数，但对边界点 m=0、m=-1 的取舍分析不够清晰，导致范围端点有误. 合格 能理解“零点个数＝交点个数”的转化，能大致判断各段交点情况，但对值域分析或分类不完整，结论偏差较大. 待提高 不理解零点与图象交点的等价关系，无法分析分段函数各段的值域，不会通过数形结合确定参数范围. 4.[改编自20-21高一上·浙江宁波·期末]已知函数 ， （）.若函数 有且仅有两个零点，求实数 的取值范围. 【答案】. 【参考解答】函数 的零点即方程 的实根.当 时，，此时 ，故 ；当 时，，此时 .在同一坐标系中作出 的图象与水平直线 ，由图象可知： ①当 时，直线 只与 （）一段相交于一点， 恰有 1 个实根； ②当 时，直线 与 （）、（）两段各交于一点， 恰有 2 个实根； ③当 时，直线 只与 一段相交于一点， 恰有 1 个实根. 综上，函数 有且仅有两个零点时， 的取值范围为 . 【设计意图】 考查分段函数零点的求解，将“零点个数”问题转化为“函数图象与水平直线交点个数”问题，综合运用指数函数、对数函数的图象与性质进行数形结合与分类讨论；培养学生的直观想象与逻辑推理素养，提升综合分析能力. 【核心素养】 ☐数学抽象 R逻辑推理 R直观想象 R数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能准确分析分段函数在各段的值域，通过数形结合正确确定 m 的临界范围（-1<m≤0），对边界点 m=0、m=-1 的取舍判断准确，推理严密. 良好 能画出函数图象、判断交点个数，但对边界点 m=0、m=-1 的取舍分析不够清晰，导致范围端点有误. 合格 能理解“零点个数＝交点个数”的转化，能大致判断各段交点情况，但对值域分析或分类不完整，结论偏差较大. 待提高 不理解零点与图象交点的等价关系，无法分析分段函数各段的值域，不会通过数形结合确定参数范围. 作业3．提升性作业（时间要求：25分钟） 1.[改编自 23-24高一上•贵州贵阳•期末]某实验室培养的一种放射性物质的含量 （单位：g）随衰变时间 （单位：年）的变化满足指数函数模型 ，其中 为初始含量， 为该物质的半衰期（含量减半所需的时间）.已知某物质的初始含量为 g，半衰期为 年. （1）求经过多少年，该物质的含量恰好变为 g； （2）若规定当物质的含量低于初始含量的 时可进行安全处置，求至少需要经过多少年才能达到安全处置标准.（参考数据：） 【答案】（1）12 年；（2）40 年. 【参考解答】 （1）由题意，.令 ，得 ，即 ，所以 ，解得 .故经过 12 年，含量恰好变为 1 g. （2）初始含量的 为 g.令 ，即 .两边取常用对数，得 ，即 ，所以 .由于时间为整数年，故至少需要经过 40 年才能达到安全处置标准. 【设计意图】 以放射性物质衰变为实际背景，考查指数函数模型的建立，以及指数方程、指数不等式与对数运算在解决实际问题中的应用；引导学生经历“建模—求解—解释”的完整过程，培养数学建模素养，体会数学与生活的联系. 【核心素养】 ☐数学抽象 R逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 R数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能正确建立指数函数模型，熟练求解指数方程与指数不等式，准确运用对数运算并合理取整（40 年），过程完整、结论符合实际意义. 良好 模型建立与方程求解正确，但对数运算或取整处理略有瑕疵（如未说明为何取 40），结论基本正确. 合格 能建立模型并解决第（1）问，但对第（2）问的指数不等式与对数运算不熟练，无法完整求解. 待提高 无法根据题意建立指数函数模型，不会将实际问题转化为指数方程、不等式求解，对指数与对数运算掌握不足. 2.[改编自19-20高一上·山东淄博·期末] 某型号汽车以速度 （km/h）行驶时，每小时耗油量 （L）与 的关系，现有以下三种函数模型可供选择： ①；②；③（ 为待定常数）. 经多次测试，得到如下数据：当 时，；当 时，.某段高速公路长 km. （1）请选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）这辆车在该路段上以多大速度行驶时总耗油量最少？最少总耗油量是多少？ 【答案】（1）选模型③，；（2） km/h 时总耗油量最少，为 L. 【参考解答】（1）模型① 为正比例函数，代入 得 ，但 ，不符合；模型② 代入 得 ，但 ，不符合；模型③代入 ，两式相减得 ，即 ，解得 ，.故最符合实际的是模型③，. （2）行驶时间 （h），总耗油量 .由基本不等式，，当且仅当 ，即 ， 时取等号.故该车以 km/h 行驶时总耗油量最少，为 L. 【设计意图】 考查函数模型的选择（正比/反比/二次型）与待定系数法求解析式，结合基本不等式求最值，渗透数学建模. 【核心素养】 ☐数学抽象 R逻辑推理 ☐直观想象 R数学运算 R数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能准确排除不符合的模型，求出解析式 ，第（2）问总耗油最值计算正确. 良好 模型选择正确，解析式求解过程完整，最值结论基本正确. 合格 能选出一个模型但排除其他模型的论证不充分. 待提高 不会根据数据特征选择模型，不会用基本不等式求最值. 3.[改编自23-24高一上·山东临沂·期末] 已知函数 （）在其定义域上是凸函数，且对任意正数 满足：（当且仅当 时取等号）. （1）若 且 ，求 的最大值； （2）求函数 （）的最大值. 【答案】（1）（当 时取等）；（2）（当 时取等）. 【参考解答】 （1） 由凸函数的性质，，故 ，当且仅当 时取等号.所以 的最大值为 . （2） . 由 ，，故 ，当且仅当 时取等号. 所以 的最大值为 . 【设计意图】 考查凸函数性质（琴生不等式两点情形）的应用，以及对数运算将和化为积、结合二次函数求最值；渗透数形结合与转化思想. 【核心素养】 R数学抽象 R逻辑推理 R直观想象 ☐数学运算 ☐数学建模 ☐数据分析 【评价标准】 等级 标准 优秀 能准确应用凸函数性质，第（1）问取等条件正确，第（2）问变形与最值判断严谨. 良好 理解凸函数性质的基本应用，但等号条件或变形不够精确. 合格 能理解题意但不能严谨应用凸函数性质. 待提高 不了解凸函数与琴生不等式，无法解决此类问题. 2 学科网（北京）股份有限公司 $