第四章 指数函数与对数函数 单元试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学人教A版必修一指数函数与对数函数单元复习卷，覆盖定义、运算、性质及应用，梯度设计适配单元巩固与能力提升，体现数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|9|对数函数定义（1）、零点判定（2）、二分法适用（3）、大小比较（4、6）|基础概念辨析，结合抽象能力| |多选题|2|指数函数应用（10细菌分裂）、对数运算性质（11）|情境化问题，考查模型意识| |填空题|3|指数对数计算（12）、函数定义域与解析式（13）、奇偶性（14）|综合运算，体现符号意识| |解答题|5|函数解析式与奇偶性（15）、单调性证明（16、19）、方程求解（17）、最值问题（18）|逻辑推理与运算能力，适配单元核心素养要求|

高中数学人教A版必修一指数函数与对数函数 一、单选题 1．下列函数是对数函数的是（    ） A．y＝loga(2x) B．y＝lg 5 C．y＝log2(x2＋x) D．y＝ln x 2．函数的零点为（　　） A．1 B． C． D． 3．下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则（     ） A． B． C． D． 5．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 6．设，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．若将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，则x min后甲桶中剩余的水量符合衰减函数(其中).假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，再过m min后，甲桶的水量为 L，则m的值为（    ）. A．5 B．8 C．9 D．10 8．设为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 9．已知实数，满足，则关于下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 10．(多选)某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)．求分别经过3个小时和4个小时，这种细菌由1个可繁殖成（    ） A．511个 B．512个 C．4095个 D．4096个 11．以下说法正确的有（　　） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．（1）已知，则的值为________. （2）方程的解为________. 13．已知函数的定义域为，且，当时，，则_________． 14．函数是定义在上的偶函数，是奇函数，且当时，，则________. 四、解答题 15．已知函数，． (1)求和的函数解析式； (2)设，判断的奇偶性，并加以证明． 16．已知函数 (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)证明：函数是上的增函数． 17．解下列方程： (1) (2) 18．已知，试求的最大值和最小值 19．已知函数 (1)根据函数单调性的定义证明在上单调递增； (2)设关于的方程有两个不同的实根，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修一指数函数与对数函数参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B D D D A D D BD 题号 11 答案 BD 1．D 【分析】由对数函数定义结合选项可得答案. 【详解】形如的函数为对数函数. 据此可得仅有D选项满足题意. 2．C 【详解】令，即，解得， 故的零点为. 3．B 【分析】根据二分法的定义判断. 【详解】二分法要求函数在某个区间上有定义且区间两端点处函数值异号， A，定义域是，，，满足二分法的要求； B，定义域是R，但，不存在区间，使得，不可用二分法求根； C，定义域是，，，满足二分法的要求； D，定义域是R，，，满足二分法的要求. 4．D 【详解】， 所以． 5．D 【详解】因为二次根式被开方数大于等于0，所以且，即，， 所以，，，，, 所以原式. 6．D 【详解】，因为，所以函数在单调递减， 因为，所以，所以． 7．A 【详解】由题意，，∴， 又， 即， ∴， ∴. 8．D 【分析】将化成，通过比较得到，再利用指数函数的单调性即可判断. 【详解】 由可得：， ， ， 为正数 ， 又因为是单调增函数 所以， 所以. 9．D 【分析】先根据对数运算性质及基本不等式可得，然后构造函数：，利用函数单调性得，结合已知及指数函数的单调性得，即可判断大小． 【详解】 ， 构造函数：， 易知函数是上的减函数，且， 由，可知：， 又，所以，则， 又因为，所以． 10．BD 【详解】因为每20分钟分裂一次，故3个小时共分裂了9次，所以共繁殖细菌29＝512(个)；4个小时共分裂了12次，所以共繁殖细菌212＝4096(个)． 11．BD 【分析】对于A，利用根式的性质即可判断；对于B，综合利用幂函数与指数函数的性质即可判断；对于C，利用完全平方公式即可判断；对于D，利用指数式与对数式转换，结合对数运算性质即可判断. 【详解】对于A，等式左边中蕴含即，而等式右边，等式左右不相等，故A错误； 对于B，，所以即，故B正确； 对于C，即，所以，故C错误； 对于D，，那么即，故D正确. 12． 【分析】（1）根据对数运算性质可得； （2）根据对数定义及运算性质可得. 【详解】由，得，即 化为，解得或. 又∴.∴， （2）原方程可化为， 即 所以， 即，解得或 又且，所以. 所以不满足题意，因此应舍去. 故方程的解为 13． / 【分析】根据函数性质将问题转换为，代入求值即可. 【详解】因为， 所以， 又函数为上的增函数， 所以， 所以． 14． 【分析】根据函数的奇偶性的性质证明函数为周期为的函数，结合周期性的性质求职可得. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以， 可得． 因为是奇函数，所以， 所以，，， 所以是周期为的周期函数． 所以. 15．(1) (2)是偶函数，证明如下： ， 的定义域为，， ，所以是偶函数． 【详解】（1）由于所以，所以． （2）略 16．(1)是奇函数．理由如下： 因函数的定义域是. 由， 可得函数是奇函数． (2)任取，且， 则 因为，所以，又， 则， 即 故函数是上的增函数． 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义判断； （2）利用函数的单调性定义判断. 【详解】（1）略 （2）略. 17．(1) (2)或 【分析】（1）先求得应满足的条件，再将对数方程转化为一元二次方程，解方程即可得解. （2）先求得应满足的条件，将方程转化，再利用换元法转化为一元二次方程，解方程即可求解. 【详解】（1）， 方程中的应满足，原方程可化为， ，即， 解得或（舍去），经检验是原方程的解. （2），方程中的应满足且， 原方程可化为，即， 令，则，解得或， 即或，或， 经检验，都是原方程的解. 18．最大值为，最小值为. 【详解】令，，则， ，， 因为在上单调递减． ∴当时，取最大值为，当时，取最小值为. 故当时，取最大值为，当时，取最小值为. 故的最大值为，最小值为. 19．(1)任取，且， 则 因为，所以， 又， 所以，即， 所以在上单调递增 (2) 【分析】（1）由单调性的定义，通过作差法即可求证； （2）通过函数单调性和奇偶性，将问题转换成有两个不同的实根，再换元，通过研究函数的图象和最值即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：因为，所以， 所以函数是奇函数， 因为， 所以， 因为在上单调递增，所以有两个不同的实根，即有两个不同的实根， 令，则有两个不同的正解， 即直线与的图象有两个不同的交点， 作出的图象，如图所示． 由图可知，所以的最大值为， 结合图象可知：实数的取值范围为． 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $