精品解析：四川省叙永第一中学校2026-2027学年高三上学期质量检测二数学试题

高2024级2026年秋期质量检测（二） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知集合，集合， 所以. 2. 已知复数，则z在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由复数求出在复平面内，复数对应的点的坐标得答案． 【详解】解：复数在复平面对应的点的坐标为：，位于第四象限． 故选：D． 3. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 4. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 【答案】C 【解析】 【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案. 【详解】首先确定相同得读物，共有种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种， 根据分步乘法公式则共有种， 故选：C. 5. 已知为的三个内角的对边，向量.若⊥，则（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为⊥，所以， 因为，所以，所以 6. 已知函数为奇函数，则的值为（ ）. A. 0 B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求解即可． 【详解】因为函数为奇函数， 当时，，则，所以， 又，则，即. 故选：C 7. 若两个随机事件相互独立，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立事件的运算公式和性质，结合条件概率的运算公式、对立事件的概率公式、和事件的概率公式进行求解即可. 【详解】因为两个随机事件相互独立， 所以两个随机事件也相互独立， 由， 由， 所以 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，推出函数的图象关于点对称以及关于轴对称，即可依次求得的值，根据周期性即可求得答案. 【详解】因为为奇函数，所以． 对上述等式两边求导得， 即，所以的图象关于轴对称． 因为为偶函数，所以． 对上述等式两边求导得，即， 所以的图象关于点中心对称， 所以为周期为4的函数，且． 由，，以及对称性可得，， 则， 则． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，因为为第二象限角，， 故，故A正确， 对于B，，故B错误， 对于C，，故C正确， 对于D，，故D错误. 10. 在等比数列中，，，则（ ） A. 的公比为 B. 的前项和为 C. 的前项积为 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，根据等比数列的基本量关系，结合等比数列的定义判断即可；对B，由A可得，再根据等差数列求和公式求解即可；对C，根据求解即可；对D，代入求解即可. 【详解】对A，设等比数列的公比为，则，得， 所以，所以， 所以， 所以数列的公比为，故A正确 对B，因为，所以的前项和为 ，故B正确； 对C，的前项积为，故C错误 对D，因为， 所以的前项和为，故D错误． 故选：AB 11. 已知实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可知，构造函数，求导得到的单调性，从而得到，可判断A；代入可判断B；根据，构造函数，求出的范围，再根据的单调性可判断C；根据构造函数可证明，求出的范围，再根据可证明，可判断D. 【详解】由题干易知，， 令，则恒成立，所以在单调递增. ，已知，所以，即， 又在单调递增，所以，选项A正确； 由，代入得，即，选项B错误； ，设，， 令得，得， 所以在单调递增，在上单调递减， 设，， 令得，得， 所以在单调递增，在单调递减， 由，，，所以， 因为在单调递增，所以，即，选项C正确； ，函数在单调递增，，所以 ， 由，，，在单调递增,所以， 又，，所以， 由对勾函数图象可知，当时，，即， 所以，选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】化弦为切齐次化计算即可. 【详解】. 故答案为： 13. 已知幂函数的图象过点，则_______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据幂函数定义可得，代入点运算求解即可. 【详解】因为函数为幂函数， 则，解得，即， 又因为幂函数的图象过点，所以. 故答案为：16. 14. 平面四边形中，，则的最大值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，设，且， 在中，利用余弦定理，求得，即，再在中，利用余弦定理，化简得到 ，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】如图所示，因为，设，且， 在中，可得 ， 即，可得， 在中，可得， 所以， 当时，即时，取得最大值，最大值为， 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的最大值为1. （1）求的值； （2）将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，求的单调递减区间以及在区间上的值域. 【答案】（1） （2），值域为 【解析】 【分析】（1）先结合余弦的两角和差公式及辅助角公式对进行化简，然后结合余弦函数的性质即可求解； （2）对进行伸缩变换，得到，再结合余弦函数的图像性质即可求解. 【小问1详解】 由题意， ， 当时，取得最大值，即， 又函数的最大值为1，即，解得； 【小问2详解】 由（1）得， 将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到， 令，解不等式得， 所以函数的单调递减区间为， 当时，则，所以， 所以，即在区间上的值域为. 16. 在等差数列中，，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意列出关于的方程组，求出首项、公差即可； （2）由等比数列求和公式以及错位相减法即可求解. 【小问1详解】 设数列的首项为，公差为， 所以 解得，， 故的通项公式为． 【小问2详解】 因为， 所以，① ，② ①-②得 ， 故． 17. 设的内角、、的对边分别为、、，已知． （1）求角的大小； （2）若，且，求边上中线的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用正弦定理可得出的值，利用余弦定理得出的值，利用中线向量可得出，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值，即为所求. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得 ， 即， 因为、，则，即，可得，故. 【小问2详解】 由正弦定理可得， 所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，， 因为为边上的中线，所以， 所以 ，故， 因此，边上的中线的长为. 18. 某校为庆祝建校百年，由学校团委、学生会组织开展“奋斗进程”校史知识竞赛活动，每位参赛者均需要回答个题目，可以从个组题目和若干个组题目中，共选择3个题目作答.A组题目每正确回答1个得10分，B组题目每正确回答1个得分，不能正确回答的题目均不得分，参赛者总得分为3个题目得分之和.已知小王恰能正确回答A组题中的4个题目，B组题目每个正确回答的概率均为，且能否正确回答A组和B组题目互不影响. （1）已知小王两组题目均有选择，以他至少答对1个题目的概率为依据，试确定他分别选择两组题目的数量的策略； （2）记小王总得分为. （i）若选择的3个题目均为A组题目，求的分布列及数学期望； （ii）试确定，使小王在选择3个题目时，无论怎样调整A、B组题目数量，其总得分保持期望稳定，并说明理由.（参考公式：，其中、为随机变量） 【答案】（1）小王应选择2个A组题目和1个B组题目的策略 （2）（i）记小王所选题目中A组题目得分为，B组题目得分为，， 由于选择的三个题目均有A组题目，其得分为， 则，，， 故的分布列为： 10 20 30 故， （ii）设小王选择的3个题目中组题目数量为，组题目数量为，其中， 则服从超几何分布，，，， ， 当时，的值与无关， 即当时，无论小王如何调整组题目数量，其总得分的期望均为20分. 【解析】 【分析】（1）小王两组题目均有选择的方案有两种，1个A组题目和2个B组题目；2个A组题目和1个B组题目，分别记两种情况下小王至少答对1个题目的概率为，，求得，，可得结论； （2）记小王所选题目中A组题目得分为，B组题目得分为，，（i）由于选择的三个题目均有A组题目，其得分为，利用超几何分布求得分布列，可求数学期望；（ii）设小王选择的3个题目中A组题目数量为，B组题目数量为，其中，则服从超几何分布，，计算数学期望可得结论. 【小问1详解】 小王两组题目均有选择的方案有两种， 1个A组题目和2个B组题目；2个A组题目和1个B组题目， 分别记两种情况下小王至少答对1个题目的概率为，， ， ， 因为，所以， 以至少答对1个题目的概率为依据，小王应选择2个A组题目和1个B组题目的策略. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 19. 已知函数 （1）求曲线过点的切线方程； （2）若 （i） 当 时，求的极值; （ii） 若恒成立，求实数. 【答案】（1） （2）（i）极小值为，无极大值；（ii） 【解析】 【分析】（1）设切点为，由导数的几何意义即可求解； （2）（i）求导，确定函数单调性即可求解；（ii）令，问题转换成，，通过和讨论函数单调性，求最值即可求解. 【小问1详解】 设切点为，则， 故切线方程为， 将代入可得，解得， 故切线方程为，即. 【小问2详解】 （i）当时，． 的定义域为，且； 令得，或（舍去）； 所以当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 故函数的极小值为，无极大值． （ii）令，， 所以． 由当时，恒成立， 得，恒成立， 而，所以是函数的最小值． ①当时，，； 令，，所以当时，， 所以在上单调递减，则当时，， 故当时，， 则，； 所以，， 则在上单调递增， 则当时，，不符合题意． ②当时，令，， 所以，则在上单调递增； 又当时，，当时，， 所以存在唯一，使得； 所以当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 故函数，则，所以． 综上，得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2024级2026年秋期质量检测（二） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则z在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 5. 已知为的三个内角的对边，向量.若⊥，则（     ） A. B. C. D. 6. 已知函数为奇函数，则的值为（ ）. A. 0 B. C. 2 D. 1 7. 若两个随机事件相互独立，满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为第二象限角，，则（ ） A. B. C. D. 10. 在等比数列中，，，则（ ） A. 的公比为 B. 的前项和为 C. 的前项积为 D. 11. 已知实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 13. 已知幂函数的图象过点，则_______． 14. 平面四边形中，，则的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的最大值为1. （1）求的值； （2）将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，求的单调递减区间以及在区间上的值域. 16. 在等差数列中，，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 设的内角、、的对边分别为、、，已知． （1）求角的大小； （2）若，且，求边上中线的长． 18. 某校为庆祝建校百年，由学校团委、学生会组织开展“奋斗进程”校史知识竞赛活动，每位参赛者均需要回答个题目，可以从个组题目和若干个组题目中，共选择3个题目作答.A组题目每正确回答1个得10分，B组题目每正确回答1个得分，不能正确回答的题目均不得分，参赛者总得分为3个题目得分之和.已知小王恰能正确回答A组题中的4个题目，B组题目每个正确回答的概率均为，且能否正确回答A组和B组题目互不影响. （1）已知小王两组题目均有选择，以他至少答对1个题目的概率为依据，试确定他分别选择两组题目的数量的策略； （2）记小王总得分为. （i）若选择的3个题目均为A组题目，求的分布列及数学期望； （ii）试确定，使小王在选择3个题目时，无论怎样调整A、B组题目数量，其总得分保持期望稳定，并说明理由.（参考公式：，其中、为随机变量） 19. 已知函数 （1）求曲线过点的切线方程； （2）若 （i） 当 时，求的极值; （ii） 若恒成立，求实数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $