第十五章 轴对称 单元基础卷（3）2026-2027学年人教版八年级数学上册 （原卷+详解）

第十五章轴对称单元基础卷(3)2026-2027学年人教版八年级数学上册 姓名 班 级 数 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）· 1.下列大学的校徽图案是轴对称图形的是( 清华大学 B. 北京大学C. 中国人民大学D 浙江大学 1911 2.如图，在△ABC中，AB=AC,∠C=70°，△AFG与△ABC关于直线DE成轴对称，∠CAE=10°， 连接BF,则∠ABF的度数是( A30 B.35 C.40° D.45 3.如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是( B A AF=BF B.∠AFD+∠FBC=90 C.DF⊥AB D.∠BAF=∠CAF 第1页，共1页 4如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC,AB于点G,D.若△AGC的周长为31cm, AB=20cm,则△ABC的周长为( A.31cm B.41cm C.51cm D.61cm 5.如图，直线与线段AB交于点O,点P在直线l上，且PA=PB,则下列结论正确的有( ①AO=BO;②PO⊥AB;③∠APO=∠BPO:④点P在线段AB的垂直平分线上. A1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.已知点P1(a-1,5)和P22,b-1)关于x轴对称，则a+b的值为( A0 B.-1 C.1 D.5 7.如果等腰三角形的一个角是80°，那么它的底角是( A80°或50 B.50°或20 C.80°或20 D.50° 8.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF/IBC交AB于E,交AC于 F,过点O作OD⊥AC于D,下列选项中结论错误的是( A EF=BE+CF BcB0c=0+ ∠A C.点O到△ABC各边的距离相等 D.设OD=m,AE+AF=n,则SAAEF=mn 第2页，共1页 9.如图，在△ABC中，AC=BC,AB=6,△ABC的面积为12，CD⊥AB于点D,直线EF垂直平分 BC交AB于点E,交BC于点F,P是线段EF上的一个动点，则△PBD的周长的最小值是( A6 B.7 C.10 D.12 10.如图，等边△ABC的边长为1，D是△ABC外一点，且∠BDC=120°，BD=CD,∠MDN=60°， △AMN的周长为( A1 B.2 C.3 D.无法计算 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）. 11.如图，是4×4正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，现在从剩余的13个白色小正方形中选 出一个涂成黑色，使涂成黑色的四个小正方形所构成的图形是轴对称图形，则这样的白色小正方形有 个 第3页，共1页 12.如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P,AC、BE相 交于点M,AD、CE相交于点N,则∠APM= 13.如图，∠BAC=30°，AB=4,点P是射线AC上的一动点，则线段BP的最小值是 14.如图，在△ABC中，AB=5,AC=7.MN为BC边上的垂直平分线，若点D在直线MN上，连接AD, BD,则△ABD周长的最小值为 15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D,过C点作CG⊥AB于点G, 交AD于点E,过D点作DF⊥AB于点F.下列结论中正确的是 ①∠CED=∠CDE;②SAAEC:SAAEG=AC:AG;③∠ADF=2∠FDB,④CE=DF. 三、解答题：本题共8小题，共75分 16.(本小题9分)如图，在△ABC中，∠C=40°，∠B=30° 第4页，共1页 (1)尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D: ②连接AD,作∠CAD的平分线交BC于点E;(要求：保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)所作的图中，求∠DAE的度数. A B 17.(本小题9分)如图，△ABC中，∠ABC的平分线上有一点D,点D恰好在线段AC的垂直平分线上， 点E在边BC上，BE=AB,求证：点D在线段CE的垂直平分线上. 18.(本小题9分)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E, 且BD=DE.若△ABC的周长为15.6cm,AC=6cm,求DC的长. BDE 第5页，共1页 19.（本小题9分)如图，在平面直角坐标系中，A(2,4),B(3,1),C(-2,-1)」 (1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B,C1,并直接写出点C1的坐标： (2)求△ABC的面积： (3)点P(a,a-2)与点Q关于x轴对称，若PQ=8,直接写出点P的坐标. y 6 B -6-54-3-2Z123456x 20.(本小题9分)用一条长44cm的细绳围成一个三角形，已知第一条边长为xcm,第二条边长比第一条边 长的3倍少6cm, (1)直接用含x的式子表示第三条边长； (2)若能围成一个等腰三角形，求这个三角形的三边的长： (3)若第一条边长最短，则x的取值范围为 第6页，共1页 21.(本小题9分)如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC,点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于 点E,交CA延长线于点F, (1)证明：△ADF是等腰三角形：(2若∠B=60'BD=4'AD=2求EC的长. 22.(本小题10分)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D是AC边上一点，连接BD, EC⊥AC,且AE=BD,AE与BC交于点F. 第7页，共1页 (1求证：CE=AD:(2)当AD=CF时，求证：BD平分∠ABC 23.(本小题11分)问题探究：如图(1)，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，为探究 Rt△ABC中30°角所对的直角边AC与斜边AB的数量关系，学习小组成员已经添加了辅助线， (1)请叙述辅助线的添法，并完成探究过程. (2)探究应用1：如图(2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，点D在线段CB上，以AD为边 作等边三角形ADE，,连接BE,为探究线段BE与DE之间的数量关系，组长已经添加了辅助线：取AB的 中点F,连接EF.线段BE与DE之间的数量关系是 一，并说明理由 (3)探究应用2：如图3)，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，点D在线段CB的延长线上， 以AD为边作等边三角形ADE,连接BE.请直接写出线段BE与DE之间的数量关系， B (1) (2) (3) 第8页，共1页 答案和解析 1.B 解：A、不是轴对称图形，本选项错误： B、是轴对称图形，本选项正确： C、不是轴对称图形，本选项错误： D、不是轴对称图形，本选项错误. 故选B, 2.C 解：.△AFG与△ABC关于直线DE对称， △BAC≌△FAG' ,AB=AC'∠C=70' ∴.∠ABC=∠AGF=∠AFG=70°1 .∴.∠BAC=∠FAG=40' .CAE=10。' .∠GAE=10° .∴.∠BAF=40°+10°+10°+40°=100°' .∠ABF=∠AFB=40 故选C. 3.D 4C 第9页，共1页 解：，DG是AB的垂直平分线， .GA=GB' :△AGC的周长为31cm ..AG+GC+AC=BC+AC=31cm'XAB=20cm' :△ABC的周长=AB+AC+BC=51cm 故选C, 5.A 解：：直线与线段AB交于点O,点P在直线l上，且PA=PB, :.①OA=OB:直线，不一定垂直于AB所以直线，不一定垂直平分AB'A0不一定等于OB错误： ②P01AB:理由同O:错误： ③∠AP0=∠BPO'理由同O错误： .AP=PB' .④点p在线段AB的垂直平分线上，正确. 故选A. 6.B 解：，点P1(a-1,5)和P2(2,b-1)关于x轴对称， ∴.a-1=2'b-1=-5 解得：a=3,b=-4, 第10页，共1页 .∴.a+b=-1 故选B. 7.A 解：根据题意，一个等腰三角形的一个角等于80°， ①当这个角是底角时，即该等股三角形的底角的度数是0。： ②当这个80的角是顶角时， 设等腰三角形的底角是X, 则2x+80°=180°， 解得，x=50°，即该等腰三角形的底角的度数是50°： 那么它的底角是50°或80°. 故选A. 8.D 解：，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O, ∠0BC=3∠ABC,∠0CB=3∠ACB, 20Bc+20cB-2<ABc+号<ACB-180-∠A1=90-3<A .∠B0C=180-(∠0BC+∠0CB=90+号∠A, 故B选项结论正确： .在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O, .'.∠OBC=∠OBE,∠OCB=∠OCF, EF//BC, 第11页，共1页 .∴.∠OBC=∠EOB,∠OCB=∠FOC, ∴.∠EOB=∠OBE,∠FOC=∠OCF, ∴.BE=OE,CF=OF, .∴.EF=OE+OF=BE+CF, 故A选项结论正确： 过点O作OM⊥AB于M,ON⊥BC于N,连接OA,如图， A M B .在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O, .∴.ON=OD=OM=m, S=SaoE+Sa号AE0M+吃A-0D OD(AE+AF)=方mn,放D选项结论错误： .'在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O, ∴点O到△ABC各边的距离相等，故C选项结论正确. 故选D. 9.B 第12页，共1页 解：如图，连接CP, F B .AC=BC,CD⊥AB, .∴BD=AD=3, :S克ABCD=2, .CD=4, .EF垂直平分BC, ∴.PB=PC, ∴.PB+PD=PC+PD, PC+PDCD, ∴.PC+PD≥4， ∴.PC+PD的最小值为4， 第13页，共1页 ∴.△PBD的最小值为4+3=7， 故选B. 10.B 解：延长AC到E,使CE=BM,连接DE, .BD=DC'∠BDC=120o ∴.∠CBD=∠BCD=30' .'∠ABC=∠ACB=60 ∴.∠ABD=∠ACD=∠DCE=90 在△BMD和△CED中， BM=CE ∠MBD=∠ECD, BD=CD .△BMD≌△CED(SAS' ∴.∠BDM=∠CDE'DM=DE' 又'.·∠MDN=60°， 第14页，共1页 ∴.∠BDM+∠NDC=60o .∠EDC+∠NDC=∠NDE=60°=∠NDM 在△MDN和△EDN中， DM=DE ∠NDM=∠NDE, ND=ND .△MDN≌△EDN(SAS: .MN=NE=NC+CE=NC+BM' 所以△AMN周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2. 故选B. 11.4 解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形. 3 4 2 故答案为4. 12.60° .'△ABC和△DEC都是等边三角形， ∴.AC=BC'CE=CD'∠BCA=∠ECD=60' ∴.∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE'∠ACE=60' .∠BCE=∠ACD 第15页，共1页 在△ACD和△BCE中， AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE .△ACD≌△BCE(SAS)' ∴.AD=BE'∠DAC=∠EBC' 即∠PAM=∠CBM, .'∠AMP=∠BMC' .∴.∠APM=∠BCM' ∴.∠APM=∠BCM=60: 故答案为60° 13.2 解：由题意得：当BP⊥AC时，线段BP的值最小， ·∠BAC=30'AB=4 B股-专B=2 故答案为2， 14.12 第16页，共1页 解：如图，连接CD, ,MN是BC边上的垂直平分线， ∴BD=CD, ∴.△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+CD+AD, .CD+AD≥AC ∴.当A、D、C三点共线时，CD+AD的值最小，此时△ABD的周长取得最小值，如图， M D B ,'.△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+CD+AD=AB+AC, .AB=5,AC=7, 第17页，共1页 ∴.AB+AC=12, .△ABD的周长最小值为12， 故答案为12 15.①②④ 解：AD平分∠BAC, ∴∠CAD=∠BAD: .∠ACB=90°，∠CGA=90°， .∴.∠CDE=90°-∠CAD,∠AEG=90°-∠BAD, .∠AEG=∠CDE, ∴.∠CED=∠CDE,故①正确： 如图，过点E作EH⊥AC于点H,则EH=EG, .Se-AC.EH-AC-EG. SAG-AG-FG. .SAAEC:S△AEG=AC:AG,故②正确： 无法证明∠ADF=2∠FDB: ,∠CED=∠CDE, .CE=CD, .AD平分∠BAC,∠ACB=90°，DF⊥AB, ∴CD=DF, ∴.CE=DF,故④正确， H GFB 故答案为①②④】 第18页，共1页 16.解：(1)①如图，直线DF即为所求. ②如图，射线AE即为所求. (2),直线DF为线段AB的垂直平分线， ∴.AD=BD, ∴.∠BAD=∠B=30. .∠C=40°，∠B=30°， ,∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=110°， .∴.∠DAC=∠BAC-∠BAD=80°， .AE为∠DAC的平分线， .∠DAE=∠DAC=400 2 17.证明：，BD平分∠ABC, ∴.∠DBA=∠DBE, 在△ABD与△EBD中 第19页，共1页 AB=BE ABD=∠EBD BD=BD ∴.△ABD≌△EBD(SAS), .∴.DA=DE, 又，'点D恰好在线段AC的垂直平分线上， ∴DA=DC .DE=DC .点D在线段CE的垂直平分线上 18..AD⊥BC,BD=DE, ∴.AD垂直平分BE. ∴.AB=AE. 又.EF垂直平分AC, ∴.AE=EC. ∴.AB=EC .'△ABC的周长为15.6cm,AC=6cm, ∴.易得AB+BE+EC=9.6cm, 即2DE+2EC=9.6cm. .∴.DC=DE+EC=4.8cm. 19.解：(1如图所示.C1（-2,1). 第20页，共1页 -6-5-4-3-2T23456x C -6 25e=5x5-x5×2-2x5×4×1x3 2 (3)(-2,-4)或(6,4) 【解析】 (3依题意得1a-2=4 解得a=6或-2 故P的坐标为-2，-4)或(6,4) 20.解：(1)，三角形的第一条边为xcm,第二条边是第一条边的3倍少6cm. :第二条边是(3x-6)cm :第三条边的长度为44-x-(3x-6)=(50-4x)(cm): (2)若x=3x-6:则X=3不能组成三角形： 若x=50-4x,则x=10,不能组成三角形： 若3x-6=50-4x,则x=8, .3x-6=50-4x=18符合题意， :.该等腰三角形的三边长分别为：18cm18cm利8cm (3)7<x<28 3 第21页，共1页 【解析】 (3)由题意得3x-6≥x且13x-6+x>50-4x 50-4x≥x50-4x+x>3x-61 解得7<X<28 21.（1)证明：.AB=AC, .∠B=∠C .FE⊥BC' ∴.∠F+∠C=90'∠BDE+∠B=90 ∴.∠F=∠BDE' 而∠BDE=∠FDA, ∴.∠F=∠FDA .∴.AF=AD' ∴.△ADF是等腰三角形： (2)解：DE⊥BC ∴.∠DEB=90' ,∠B=60’BD=4' ∴.∠BDE=30° 第22页，共1页 :'BE=BD=2. .AB=AC' ∴△ABC是等边三角形， .∴.BC=AB=AD+BD=6' .∴.EC=BC-BE=6-2=4 22.证明：(1)，EC⊥AC,∠BAC=90°， ∴.∠ACE=∠BAC=90°， 在Rt△CAE与Rt△ABD中， AE=BD, CA=AB, .∴.Rt△CAE≌Rt△ABD(HL), ∴CE=AD (2)设BD与AE交于G点， A D G C 第23页，共1页 由(1)得Rt△CAE≌Rt△ABD, .∴.∠EAC=∠DBA,∠E=∠ADB, 由(1)得CE=AD, AD=CF, ∴.CE=CF, ∴∠CFE=∠E, .∠CFE=∠AFB, .∠AFB=∠E, .∠E=∠ADB, .∴.∠AFB=∠ADB, .∠AGB=∠EAC+∠ADB,∠AGB=∠DBC+∠AFB, .∴.∠EAC=∠DBC, .∠EAC=∠DBA, ∴.∠DBA=∠DBC, .BD平分∠ABC. 23.解：(1)作CB的垂直平分线分别交AB,BC于点P,D,连接PC, .PC=PB. 第24页，共1页 ∴.∠PCB=∠B=30°. .∠ACB=90, ∴.∠A=60°，∠ACP=60. ∴.∠APC=∠A=∠ACP=60°. ∴.△ACP是等边三角形， .∴.AC=AP=PC .AC-AP-PB-T AB, 即AC号AB (2)BE=DE.理由如下： .F是AB的中点， 2.AF-AB. .∠C=90°，∠ABC=30°， AC=AB.∠CAB=60. ∴.AC=AF .△ADE是等边三角形 .∴.AD=AE=DE,∠EAD=60. .∴.∠CAB=∠DAE. ∴.∠CAB-∠3=∠DAE-∠3，即∠1=∠2. 在△ACD和△AFE中， AC=AF, ∠1=∠2， AD=AE, △ACD≌△AFE(SAS). .∴.∠C=∠AFE=90°. .EF⊥AB. .F是AB的中点， ∴EF是AB的垂直平分线. 第25页，共1页 ∴.AE=BE ∴BE=DE (3)BE=DE. 【解析】取AB的中点F,连接EF, .AF=IAB. 2 .∠C=90°，∠ABC=30°， AC-AB CAR-60. ∴.AC=AF .'△ADE是等边三角形， ∴.AD=AE=DE,∠EAD=60°. ∴∠CAB=∠DAE. .∴.∠CAB+∠BAD=∠DAE+∠BAD, 即∠CAD=∠BAE. 在△ACD和△AFE中， AC=AF, ∠CAD=∠FAE, AD=AE, .△ACD≌△AFE(SAS. ∴.∠C=∠AFE=90°. .∴.EF⊥AB F是AB的中点， ∴.EF是AB的垂直平分线， .AE=BE. ∴BE=DE 第26页，共1页