3.3.2 抛物线的简单几何性质同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本练习聚焦抛物线几何性质，通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，实现从概念理解到综合应用的递进，适配新授课知识内化与能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|抛物线定义、焦点准线、直线位置关系|选择题1-5直接考查标准方程与距离公式，强化运算能力| |中档|焦点弦、斜率关系、距离最值|选择题6-8结合图形分析，多选题9-11融入几何直观，培养推理意识| |提升|综合应用与跨知识整合|填空题12-14涉及动态几何，解答题15-16结合椭圆情境，发展模型观念与创新意识|

3.3.2 抛物线的简单几何性质 高一升高二暑假预习 人教A版选择性必修第一册——原卷版 一、选择题（共8小题） 1.抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝(　　) A.1 B.2 C.2 D.4 2.已知点是抛物线的焦点，若抛物线上的点到的距离为，则点到轴的距离为（ ） A. B. C. D. 3.已知直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 4.若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且|AF|＋|BF|＝8，则k＝(　　) A.2或－1 B.－1 C.2 D.1± 5.经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是(　　) A.6x－4y－3＝0 B.3x－2y－3＝0 C.2x＋3y－2＝0 D.2x＋3y－1＝0 6.若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　) A. B. C. D. 7.已知直线l与抛物线y2＝6x交于不同的两点A，B，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1·k2＝，则直线l恒过定点(　　) A.(－6，0) B.(－3，0) C.(－2，0) D.(－，0) 8.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是(　　) A. B. C. D.3 二、多选题（共3小题） 9.（2025-2026·湖南邵阳高二上期中）过抛物线的焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于，两点，若三角形的面积为，则的值可能为（） A.4 B.－4 C.2 D.－2 10.（2025-2026·广东揭阳高二上期中）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，若直线为的准线，则（） A. B. C.以为直径的圆与相切 D.为等腰三角形 11.（2024-2025·河南高二期末）已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点F的坐标为 C. 直线AQ与抛物线相切 D. 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·湖南衡阳高二下期中）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，为坐标原点，设的平分线交于点，交于点，若，则                   . 13.如图，已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，点D为准线l与x轴的交点，则△DAB的面积S的取值范围为                  ． 14.已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝                  . 四、解答题（共2小题） 15.已知抛物线C：过点． （1）求抛物线C的方程，并求其准线方程； （2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于两点，求线段的长度． 16.（2025-2026·上海黄浦高二下期末）已知抛物线与椭圆有一个相同的焦点，过抛物线焦点的直线与抛物线相交于、两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)求直线的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.2 抛物线的简单几何性质 高一升高二暑假预习 人教A版选择性必修第一册——解析版 一、选择题（共8小题） 1.抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝(　　) A.1 B.2 C.2 D.4 【答案】B 【解析】抛物线的焦点坐标为，其到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，解得p＝2(p＝－6舍去). 2.已知点是抛物线的焦点，若抛物线上的点到的距离为，则点到轴的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】依题意得：，即. 设，因为点到的距离为， 所以根据焦半径公式得 ，解得， 故选：A. 3.已知直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)只有一个交点，则直线l与抛物线的位置关系是(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 【答案】D 【解析】当直线l与y轴平行或重合时，直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)有一个交点，此时直线l与抛物线是相交的.当直线l的斜率存在，直线l与抛物线x2＝2py(p＞0)只有一个交点时，直线l与抛物线相切. 4.若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且|AF|＋|BF|＝8，则k＝(　　) A.2或－1 B.－1 C.2 D.1± 【答案】C 【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由消去y得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0， 故Δ＝16(k＋2)2－16k2＝64(1＋k)>0， 解得k>－1，且x1＋x2＝. 由|AF|＝x1＋＝x1＋2， |BF|＝x2＋＝x2＋2， 且|AF|＋|BF|＝8，所以x1＋2＋x2＋2＝8， 得x1＋x2＝4， 所以＝4， 解得k＝－1或k＝2， 又因为k>－1，所以k＝2. 5.经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是(　　) A.6x－4y－3＝0 B.3x－2y－3＝0 C.2x＋3y－2＝0 D.2x＋3y－1＝0 【答案】A 【解析】设直线l的方程为3x－2y＋c＝0(c≠5)．因为抛物线y2＝2x的焦点为F，所以3×－2×0＋c＝0， 所以c＝－，故直线l的方程是6x－4y－3＝0.故选A. 6.若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意知，A，B两点纵坐标的绝对值为，所以横坐标为1，线段AB所在的直线方程为x＝1， 抛物线的焦点坐标为， 则焦点到直线AB的距离为1－＝. 7.已知直线l与抛物线y2＝6x交于不同的两点A，B，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1·k2＝，则直线l恒过定点(　　) A.(－6，0) B.(－3，0) C.(－2，0) D.(－，0) 【答案】C 【解析】设直线l为x＝my＋n， 联立消去x可得y2－6my－6n＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y2＝－6n， 因为k1·k2＝，即·＝， 所以＝＝＝， 所以n＝－2， 所以x＝my－2， 所以直线l一定过点(－2，0)． 8.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是(　　) A. B. C. D.3 【答案】A 【解析】方法一　设与抛物线相切的直线，且与直线4x＋3y－8＝0平行的直线方程为4x＋3y＋m＝0. 与抛物线y＝－x2联立，消去y可得3x2－4x－m＝0， 由题意知，Δ＝16＋12m＝0， ∴m＝－. ∴最小值为两平行线之间的距离d＝＝. 方法二　设抛物线y＝－x2上一点为(m，－m2)， 该点到直线4x＋3y－8＝0的距离为 =， 当m＝时，取得最小值. 二、多选题（共3小题） 9.（2025-2026·湖南邵阳高二上期中）过抛物线的焦点且与轴垂直的直线与抛物线交于，两点，若三角形的面积为，则的值可能为（） A.4 B.－4 C.2 D.－2 【答案】AB 【解析】抛物线方程，其焦点坐标为. 过焦点且与轴垂直的直线方程为. 联立抛物线与直线方程，得，解得. 则、两点坐标为、，弦长. 的面积. 代入得，解得. 故答案为：AB. 10.（2025-2026·广东揭阳高二上期中）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，若直线为的准线，则（） A. B. C.以为直径的圆与相切 D.为等腰三角形 【答案】BC 【解析】A选项：直线中，令，得， 故抛物线焦点为，即，，A错误. B选项：抛物线方程为，联立， 消去得，整理为. 设，，则， 由抛物线定义，，B正确. C选项：中点横坐标为， 中点到准线的距离为， 而，故以为直径的圆与准线相切，C正确. D选项：由方程解得，，对应，. ，， ，故不是等腰三角形，D错误. 故答案为：. 11.（2024-2025·河南高二期末）已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点F的坐标为 C. 直线AQ与抛物线相切 D. 【答案】AC 【解析】因为点在抛物线（）上，所以，解得，所以焦点F的坐标为，故A正确，B错误； 对于C选项，易得AQ方程为，联立，得，显然，故直线AQ与抛物线相切，故C正确； 对于D选项，易得轴，，所以不成立，故D错误． 故选：AC. 故选：AC． 三、填空题（共3小题） 12.（2025-2026·湖南衡阳高二下期中）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，为坐标原点，设的平分线交于点，交于点，若，则                   . 【答案】4 【解析】由得焦点，准线. 设，，由，，共线，在线段上，，得. 过作，垂足为，由抛物线定义得，在中，，故. 由，，，共线，得，结合平分，得，故直线的斜率为. 直线过，得方程为，联立抛物线方程整理得，解得或. 由点在第一象限，得，计算得. 故答案为：. 13.如图，已知点F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，点D为准线l与x轴的交点，则△DAB的面积S的取值范围为                  ． 【答案】(4，＋∞) 【解析】由抛物线C：y2＝4x可得焦点F(1,0)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)． 由可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则x1＋x2＝2＋，x1x2＝1， ∴|AB|＝·＝·＝． 点D(－1,0)到直线AB的距离d＝， ∴S＝d·|AB|＝·＝4>4， ∴△DAB的面积S的取值范围为(4，＋∞)． 14.已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝                  . 【答案】2 【解析】由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点F的坐标为(1,0)， 所以直线AB的方程为y＝k(x－1)， 由 得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以x1＋x2＝，x1x2＝1， 因为∠AMB＝90°， 所以·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝(x1＋1)(x2＋1)＋[k(x1－1)－1]·[k(x2－1)－1] ＝(1－k－k2)(x1＋x2)＋(1＋k2)x1x2＋k2＋2k＋2 ＝(1－k－k2)＋(1＋k2)＋k2＋2k＋2＝0， 解得k＝2. 经检验，k＝2符合题意． 四、解答题（共2小题） 15.已知抛物线C：过点． （1）求抛物线C的方程，并求其准线方程； （2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于两点，求线段的长度． 【答案】解：（1）因为抛物线过点， 所以，解得， 则抛物线C：，且其准线方程为； （2）由（1）易知，抛物线C的焦点坐标为， 设直线AB：，，， 联立得，消去得：，由韦达定理得， 则由过焦点的弦长公式得． 16.（2025-2026·上海黄浦高二下期末）已知抛物线与椭圆有一个相同的焦点，过抛物线焦点的直线与抛物线相交于、两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)求直线的方程. 【答案】解：(1)椭圆中，，，得，焦点坐标为. 抛物线的焦点在轴正半轴，结合两曲线共焦点得焦点坐标为， 故，得，由此可得抛物线的方程为. (2)抛物线的焦点为，直线不与轴重合， 设直线的方程为，，， 联立方程组，消去整理得. 由恒成立，得， 结合，，化简得. 由抛物线焦点弦长公式得， 结合解得，故直线的方程为或. 学科网（北京）股份有限公司 $