3.3.1 抛物线及其标准方程 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册（北京专用）

**基本信息** 以“概念—运算—应用”为巩固路径，通过基础题、中档题、综合题三层设计，适配新授课知识内化需求，培养数学抽象与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|抛物线定义、标准方程、焦点准线|选用北京期末题（如单选1-6），聚焦核心概念辨析| |中档应用|距离计算、轨迹方程、几何意义|结合拱桥情境（单选7），强化数学建模与空间观念| |综合提升|方程综合求解|解答题融合椭圆、双曲线知识，发展逻辑推理与综合应用能力|

3.3.1抛物线及其标准方程同步练（北京专用） 教材知识梳理 1．抛物线的定义 平面内到一个定点的距离和一条直线（定点不在直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫作抛物线的____，定直线叫作抛物线的_____． 【答案】 焦点 准线 2．抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程          _________   ________          _________     ________ 【答案】 3．抛物线标准方程的特点 （1）是关于x，y的二元二次方程． （2）p的几何意义是_________的距离． 【答案】焦点到准线 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（25-26高二上·北京西城·期末）已知抛物线：的焦点为，点在上.若到直线的距离为7，则（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】由抛物线准线方程结合抛物线定义即可求解. 【详解】由题可得抛物线开口向左，准线方程为， 因为抛物线上的点到直线的距离为7，所以到直线的距离为5， 所以. 故选：C 2．（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义即可得解. 【详解】因为动点到定点的距离比到轴的距离大， 所以动点到定点的距离等于到的距离， 所以动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以动点的轨迹方程是. 故选：B. 3．（2026·北京·三模）已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离列方程求解. 【详解】由抛物线可得，即，因此其准线方程为， 已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3， 即 ，解得. 4．（25-26高二上·北京·期中）抛物线的焦点坐标为，则其准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线的标准方程及性质计算即可. 【详解】由题意可知该抛物线开口向上， 又焦点坐标为，所以准线方程为. 故选：C 5．（24-25高三上·北京朝阳·期末）已知抛物线．若其焦点到准线的距离为4，则抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合抛物线方程可得，即可得抛物线的焦点坐标. 【详解】因为抛物线的焦点为，准线为：， 所以焦点到准线的距离为：， 所以焦点坐标为：. 故选：C. 6．（2026·北京·二模）已知点在抛物线上，则抛物线C的准线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知求出抛物线方程，即可求解抛物线C的准线方程． 【详解】因为点在抛物线上， 所以，即抛物线方程， 所以抛物线C的准线方程为． 7．（25-26高三上·北京东城·期末）在中国古代桥梁的建筑中，有不少是世界桥梁史上的创举．如图所示，某抛物线形拱桥的桥拱跨度为10m，拱高为4m．以桥拱最高点为原点，桥拱的对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则桥拱所在的抛物线的标准方程为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设抛物线的标准方程为，由题意可知，点在抛物线上，代入即可求得值，进而可求得抛物线的标准方程. 【详解】根据题意，设抛物线的标准方程为， 因为抛物线形拱桥的桥拱跨度为10m，拱高为4m， 所以点在抛物线上， 代入可得，解得，所以抛物线的标准方程为. 故选：B 8．（2026·北京丰台·三模）若点为抛物线上一点，则点P到其焦点的距离为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】先将点代入抛物线方程，求出横坐标，再利用抛物线定义或两点间距离公式计算点到焦点的距离即可. 【详解】∵ 点 在抛物线 上， ∴ ，，即 ， 由得：，即 ， ∴ 焦点，准线方程， ∵抛物线上任一点到焦点的距离 = 该点到准线的距离， ∴点到准线 的距离为， 即点到焦点的距离为 . 9．（25-26高二上·北京·期末）已知抛物线和点，F是抛物线的焦点，P是抛物线上一点，则的最小值是（    ）． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义得到，将的最小值转化为的最小值，然后根据两点之间线段最短得到当，，三点共线时最小，最后求最小值即可. 【详解】 如图，为点在准线上的投影， 根据抛物线的定义可得，所以的最小值即的最小值，根据两点之间线段最短可得，当，，三点共线时最小，所以最小值为. 故选：B. 10．（24-25高三上·北京东城·阶段检测）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，将问题转化为点P到点的距离与点P到准线距离之和的最小值，再利用抛物线的定义求解即得. 【详解】抛物线的焦点，准线， 过作于，交于点，则，， 记点为，于是， 当且仅当为线段与抛物线的交点时取等号， 所以点P到点的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为2. 故选：B    二、填空题 11．（2026·北京朝阳·二模）顶点在原点，关于轴对称，且过点的抛物线的标准方程是___________． 【答案】 【详解】根据抛物线关于轴对称，且过的点在第一象限， 因此抛物线开口向上，可设抛物线的标准方程为， 所以，解得， 所以抛物线的标准方程是. 12．（2026·北京通州·一模）已知直线过抛物线的焦点，则________． 【答案】2 【详解】抛物线的焦点为， 因为直线过抛物线的焦点， 所以，解得. 13．（2026·北京西城·一模）设抛物线的准线为l，为C上一点，则P到l的距离为______． 【答案】 【分析】根据题意，利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】由抛物线，可得焦点为，准线方程为， 因为为C上一点， 根据抛物线的定义，可得点到准线距离为. 14．（2026·北京门头沟·一模）已知抛物线的焦点到其准线的距离为，点在上，若，则点的横坐标为________． 【答案】6 【详解】由题知抛物线的焦点F到其准线的距离为2，故， 而点在上，，根据抛物线定义可知到准线的距离，解得. 15．（25-26高二上·北京平谷·阶段检测）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则___________． 【答案】4 【分析】先求椭圆的右焦点，再根据抛物线的焦点坐标求的值. 【详解】对椭圆，，所以， 所以椭圆的右焦点坐标为， 又抛物线的焦点为， 由 . 故答案为：4 三、解答题 16．（25-26高二上·北京·期末）根据下列条件，分别求出曲线的标准方程： (1)焦距是，过点，焦点在轴上的椭圆； (2)一个焦点是，一条渐近线方程为的双曲线； (3)焦点到准线的距离是，而且焦点在轴上的抛物线. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据椭圆的焦距与顶点及焦点在轴上写出椭圆标准方程即可； （2）根据双曲线的焦点及渐近线方程写出双曲线标准方程即可； （3）根据抛物线的性质及焦点在轴上写出抛物线标准方程即可. 【详解】（1）由题意可设， 可知， 则椭圆的标准方程为：； （2）易知双曲线的焦点在横轴上， 可设标准方程为， 则，且是其一条渐近线， 即，故，所以双曲线的标准方程为：； （3）若焦点在纵轴正半轴，可设抛物线标准方程为：， 因为焦点到准线的距离是，则有，所以， 若焦点在纵轴负半轴上，可设抛物线标准方程为：， 因为焦点到准线的距离是，则有，所以， 综上抛物线的标准方程为：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $3.3.1抛物线及其标准方程同步练（北京专用) 教材知识梳理 1.抛物线的定义 平面内到一个定点F的距离和一条直线！（定点F不在直线！上）的距离相等的点的轨迹叫做 抛物线，定点F叫作抛物线的，定直线叫作抛物线的 2.抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px(p>0] 号o X=、卫 y2=-2pxp>0 o x2=2py(p>0 f0, y= x2=-2pyp>0 3.抛物线标准方程的特点 试卷第1页，共3页 (1)是关于x,y的二元二次方程， (2)p的几何意义是 的距离 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1.(25-26高二上北京西城期末)己知抛物线C:y2=-8x的焦点为F,点M在C上.若 M到直线x=4的距离为7，则MF=() A.7 B.6 C.5 D.4 2.(23-24高二上·北京延庆期末)到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1的动点且动点 不在x轴的负半轴的轨迹方程是() A.y2=8x B.y2=4x C.y=2x D.y=x 3.(2026北京：三模)已知抛物线x=4y上的一点MX,y,到其焦点F的距离为3，则 y,的值为() 23 47 A.1 B.2 D.16 4.(25-26高二上·北京·期中)抛物线x2=ay的焦点坐标为0,1，则其准线方程为() A.X=-1 B.x=1 C.y=-1 D.y=1 5。(24-25高三上北京朝阳期未)已知抛物线C:y=2px(p>0八若其焦点到准线的距 离为4，则抛物线C的焦点坐标为() A.-2,0 B.1,0 C.2,0 D.4,0 6.(2026北京.二模)已知点-2，-1在抛物线C:x=my上，则抛物线C的准线方程为 () A.X=2 B.X=1 C.y=2 D.y=1 7.(25-26高三上·北京东城期末)在中国古代桥梁的建筑中，有不少是世界桥梁史上的 创举.如图所示，某抛物线形拱桥的桥拱跨度为l0m,拱高为4m.以桥拱最高点为原点， 桥拱的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，则桥拱所在的抛物线的标准方程为() 试卷第2页，共3页 4m 10m A.2-25 B.x2=-25 C.x2=-25 ) D.x2=-25y 8.（2026北京丰台三模)若点PX,2为抛物线y=4x上一点，则点P到其焦点的距离 为() A.2 B.4 C.6 D.8 9.(25-26高二上·北京期末)已知抛物线y2=4x和点A5,3,F是抛物线的焦点，P是 抛物线上一点，则PA+PF的最小值是(). A.5 B.6 C.7 D.8 10.(24-25高三上·北京东城阶段检测)已知点P是抛物线y=4x上的一个动点，则点P 到点(0,22的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（） A.3 B.2 C.3 D.4 二、填空题 11.(2026北京朝阳·二模)顶点在原点，关于y轴对称，且过点2,1的抛物线的标准方程 是 12.（2026北京通州一模)已知直线y=3x-1过抛物线C:y'=2pxp>0的焦点， 则p= 13.(2026北京西城一模)设抛物线C:y=8x的准线为1，P(4,m)为C上一点，则P 到1的距离为· 14。(2026北京门头沟：一模)已知抛物线C:Y=2pxp>0)的焦点p到其准线的距离为 2,点M在C上，若MF=7,则点M的横坐标为 15.(25-26高二上·北京平谷·阶段检测)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆 +=1的右 6.2 焦点重合，则P= 试卷第3页，共3页 三、解答题 16.（25-26高二上·北京·期末)根据下列条件，分别求出曲线的标准方程： (1)焦距是6，过点(0,5)，焦点在y轴上的椭圆： (2)一个焦点是(5,0)，一条渐近线方程为3x-4y=0的双曲线： (3)焦点到准线的距离是4，而且焦点在y轴上的抛物线。 试卷第4页，共3页