0204 函数的对称性 专项训练-2027届高三数学一轮复习

2027届高三数学一轮复习—— 函数的对称性 专项训练 0204函数的对称性 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、判断或证明函数的对称性 例1．已知函数的定义域为，并对一切实数，都满足． (1)证明：函数的图象关于直线对称； (2)若是偶函数，且时，，求时，的表达式． 【答案】(1)证明：设是函数图象上任一点，则，点关于直线的对称点为， 因为 ， 所以也在的图象上， 所以函数的图象关于直线对称． (2) 【详解】（1）略 （2）当时，，所以． 又因为为偶函数， 所以，． 当时，， 所以， 而， 所以，， 所以 训练1-1．已知函数为奇函数． (1)求实数的值; (2)设函数． ①求的值： ②证明函数的图象关于点对称． 【答案】(1)； (2)①； ②证明：因为，其定义域为， 所以， 所以， 所以函数的图象关于点对称． 【分析】（1）由定义域关于原点对称，得，再代入检验即可； （2）①由题意可得，将代入求解即可； ②证明即可. 【详解】（1）因为为奇函数， 由，得， 即， 当时，得，定义域为，不满足题意； 当时，由，得， 又因为是奇函数， 故定义域关于原点对称， 所以， 解得； 当时，， 定义域为，关于原点对称， 且，满足题意； 所以； （2）①因为， 所以； ②略； 训练1-2．关于函数的图像的对称性，下列说法正确的是（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】设，证明函数为奇函数，结合奇函数性质及函数图象变换法则判断函数的对称性即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 设， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 且，故函数为奇函数， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称， 将函数的图象向右移动个单位，再向上移动个单位可得的图象， 所以函数的图象关于点对称，故选项B正确. 二、由对称性求函数的解析式 例2．已知函数，函数的定义域为. (1)证明：函数的图象关于点成中心对称图形，并求坐标； (2)若函数的图象关于点成中心对称图形，且时，，求函数的解析式. 【答案】(1) 函数的定义域为， 证法一： ， 所以，， 所以，函数为奇函数， 故函数的图象关于点对称，其对称中心为； 证法二：因为 ， 所以，函数的图象关于点对称，其对称中心为. (2) 【分析】（1）证法一：证明出函数为奇函数，可证得结论成立，并可求出函数图象的对称中心坐标； 证法二：计算出，可证得结论成立，并可求出函数图象的对称中心坐标； （2）分析可知，函数的图象关于点对称，根据可求出的值，可得出函数在时的解析式，当时，可得出可得出函数的解析式，综合可得出函数的解析式. 【详解】（1）略 （2）因为函数的图象关于点中心对称， 因为，解得， 当时，。 当时，，则 ， 所以，， 综上所述，. 训练2-1．已知函数的图象的对称中心为. (1)求的值； (2)用函数单调性的定义证明在其定义域上单调递减； (3)若方程在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 由上知，令， 不妨设令， 则， 易知， 又，所以， 则，即， 则在定义域上单调递减，证毕； (3) 【分析】（1）利用对称性的性质有，待定系数计算即可； （2）利用（1）的结论结合函数单调性的定义作差证明即可； （3）利用换元法结合复合函数的单调性、二次函数的性质及（2）的结论得出单调递减，计算其值域即可. 【详解】（1）根据题意有， 整理得， 即， 所以， 经检验，符合题意； （2）略 （3）方程在上有解， 即两个函数与有交点， 令，设，则时，， 则，显然时，该函数单调递减， 而单调递增， 根据复合函数的单调性知在时单调递减， 结合（2）的结论有单调递减， 所以，而接近0时，y接近正无穷， 所以，即实数的取值范围为. 训练2-2．若函数的图象关于点对称，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象的对称问题，得到为奇函数，再根据奇函数的含义得到的值，即可求得结果. 【详解】因为的图象关于点对称， 所以函数为奇函数， 则，即，且为奇函数， 所以，得， 所以， 故选：A. 三、由对称性研究单调性 例3．已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的对称性，再通过求导判断函数的单调性，计算即可. 【详解】，即， ， 令，解得：， 当时，，，则在区间单调递增； 当时，，在区间单调递减； ， 即， 关于对称， ， ，即， 两边平方得， 解得， 则实数的取值范围是. 训练3-1．已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到函数的图象关于对称，且在上单调递减，在上单调递增，结合函数的单调性和对称性，即可求解. 【详解】由函数满足，可得函数的图象关于对称， 又由，都有， 根据函数单调性的定义，可得函数在上单调递减， 结合对称性知：函数在上单调递增， 因为，所以， 又因为，所以. 故选：B. 训练3-2．已知函数满足，当时，. (1)求的解析式； (2)若不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，，所以，应用对称性求解析式；（2）结合对称性及单调性转化为即可求解. 【详解】（1）因为函数满足，所以函数关于对称， 当时，，所以， 所以， 所以． （2）由(1)可知，函数在区间单调递减，在区间单调递增， 不等式可化为，解得， 所以实数的取值范围为 训练3-3．函数是偶函数，且在上是减函数， (1)请写出一个满足条件的函数的解析式； (2)比较与的大小； (3)试比较与的大小. 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】（1）根据题意写出一个满足条件的函数的解析式即可； （2）利用偶函数的对称性进行区间转化，再利用单调性比较即可； （3）由配方法得，再进行区间转化，结合单调性可比较与的大小. 【详解】（1），根据二次函数的性质知其在上是减函数. （2）因为函数是偶函数，所以， 又在上是减函数，， 所以有，即. （3）∵函数是偶函数，且在上是减函数， ∴的图象关于轴对称，则在单调递增， ∵， ∴，又∵， ∴. 四、由函数对称性求函数值或参数 例4．已知函数． (1)若函数的图象关于点对称，求的值； (2)若是的极大值点，求的值； (3)设是的极值点，且满足，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题可得是奇函数，利用奇函数的定义即可求解； （2）根据题意可得，解得或2，代入原函数结合函数单调性检验即可； （3）由是的极值点，得，代入化简得：，解不等式即可求解. 【详解】（1）由曲线的图象关于点对称，得是奇函数， 因为，所以，解得. （2）． 因为是的极大值点，所以，解得或2. 当时，，所以当时，单调递减， 当时，单调递增，因此是的极小值点（舍去）； 当时，，所以时，单调递增， 当时，单调递减，因此是的极大值点． 综上，可得. （3）， 因为是的极值点，所以， 因为，代入上式化简可得： 由可得， 解得. 训练4-1．已知函数. (1)若为偶函数，解不等式：； (2)已知函数在上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知，函数的图象关于直线对称，由二次函数的对称性可求得的值，然后利用一元二次不等式的解法解不等式即可； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，结合可求得实数的值. 【详解】（1）因为函数为偶函数，即， 所以，函数的图象关于直线对称，所以，，可得， 所以，， 由可得，解得， 因此，不等式的解集为. （2）由于的图象为开口向上，对称轴为直线，讨论如下： 若即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，可得，解得（舍）； 若即，此时函数在上为增函数， 则，合乎题意. 综上，. 训练4-2．已知函数为R上的偶函数，且满足，当时，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性、周期性及对称性求解即可. 【详解】由题可得，所以2是函数的周期，且的图象关于直线对称. 当时，，则. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习—— 函数的对称性 专项训练 0204函数的对称性 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、判断或证明函数的对称性 例1．已知函数的定义域为，并对一切实数，都满足． (1)证明：函数的图象关于直线对称； (2)若是偶函数，且时，，求时，的表达式． 训练1-1．已知函数为奇函数． (1)求实数的值; (2)设函数． ①求的值： ②证明函数的图象关于点对称． 训练1-2．关于函数的图像的对称性，下列说法正确的是（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 二、由对称性求函数的解析式 例2．已知函数，函数的定义域为. (1)证明：函数的图象关于点成中心对称图形，并求坐标； (2)若函数的图象关于点成中心对称图形，且时，，求函数的解析式. 训练2-1．已知函数的图象的对称中心为. (1)求的值； (2)用函数单调性的定义证明在其定义域上单调递减； (3)若方程在上有解，求实数的取值范围. 训练2-2．若函数的图象关于点对称，且，则（    ） A． B． C． D． 三、由对称性研究单调性 例3．已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 训练3-1．已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 训练3-2．已知函数满足，当时，. (1)求的解析式； (2)若不等式成立，求实数的取值范围． 训练3-3．函数是偶函数，且在上是减函数， (1)请写出一个满足条件的函数的解析式； (2)比较与的大小； (3)试比较与的大小. 四、由函数对称性求函数值或参数 例4．已知函数． (1)若函数的图象关于点对称，求的值； (2)若是的极大值点，求的值； (3)设是的极值点，且满足，求的取值范围. 训练4-1．已知函数. (1)若为偶函数，解不等式：； (2)已知函数在上的最小值为，求实数的值. 训练4-2．已知函数为R上的偶函数，且满足，当时，，则（    ） A． B． C． D．1 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $