广东六校2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

**基本信息** 2027届高三九月数学月考卷覆盖集合、统计、函数、立体几何等核心知识，解答题融合数列运算、空间证明、数据建模（如指数分布应用）及函数零点探究，凸显数学思维的逻辑性与数据意识的现实应用，适配高三一轮复习阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、百分位数、复数运算等|基础概念辨析，考查抽象能力| |多选题|3/18|三棱锥体积、新定义“直径”|多解探究与创新情境，发展空间观念| |填空题|3/15|双曲线实轴、角平分线、交换概率|基础与应用结合，体现数学语言表达| |解答题|5/77|数列求和、立体几何证明、统计决策、解析几何轨迹、函数零点|综合考查运算能力与推理能力，贴合高考命题趋势|

2027届高三九月考试 数学科 试题 （满分150分。考试时间120分钟。） 一、单选题：本题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式化简集合,即可根据元素与集合的关系求解. 【详解】由可得， 结合，由于,故 故 2．数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】将数据从小到大排列：2，3，3，5，6，7，8，10， 因为，不是整数， 所以该组数据的第70百分位数为第6个数字，即7. 3．设，若，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【详解】函数， 由题意可知，，恒成立，则且. 4．的展开式中常数项是（    ） A．20 B．15 C． D． 【答案】D 5．若i为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 6．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 7．已知函数，若的零点恰为的零点，则的最大值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】C 8．设椭圆C：，点和均为椭圆C的顶点，点M，N在椭圆C上. 若，则四边形面积的最大值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】由条件先判断四边形为梯形，设出直线的方程，与椭圆方程联立求出，列出梯形的面积表达式，通过换元借助于二次函数的性质求解最大值. 【详解】由和可得，所以椭圆方程为， 因直线的斜率为，可得其方程为， 又因，故可设直线的方程为， 将其与联立消去，可得， 由解得， 由韦达定理得， 所以， 由可知四边形为梯形，而直线的方程即， 则梯形的高也即点到直线的距离为， 故梯形的面积为， 由图知面积最大值不在时（此时在上方）取得，故只需考虑， 令，则，则，则， 再令，则，， 故， 故当时，取得最大值为. 【点睛】对于形如的根式，可以利用三角换元处理. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知三棱锥，所有面均为等腰三角形，底面的外接圆半径为1，，侧棱长均为3，则该三棱锥的体积可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 10．已知，，，其中表示中较大的数，当且仅当时，，则（    ） A． B． C．若，则 D．在恰有3个零点 【答案】ABC 11．定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”.在中，，BC边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为W，其“直径”为d，则（    ） A． B．面积的最大值为 C．当时， D．d的取值范围是 【答案】ABD 【分析】A利用等面积得出，再利用余弦定理即可；B得出，再结合不等式即可；C根据即可求出；D结合基本不等式和求出的范围即可. 【详解】设A，B，C所对的边分别为a，b，c， 由已知，，得， 又由余弦定理可知， 即，故A正确； 的面积为， 又，即，当且仅当时取等， 故的面积，故B正确； 设边上的中点分别为，在上取一点M，在上取一点， 由两点间线段最短可得， 当且仅当四点共线时取等，所以， 当时，，，得， 故为以B为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，故C错误； 由A知，， 则（当且仅当时等号成立）， 又因，则， 则，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．双曲线的实轴长为_____． 【答案】 13．已知中，，为的平分线，且，则_____． 【答案】 14．甲有2个白球和1个黑球，乙有3个白球，甲乙两人每次交换1个球，经过5次交换后，黑球仍然在甲手中的概率为______． 【答案】 【分析】记次交换后黑球仍在甲手中的概率为，根据全概率公式写出与的递推关系，然后利用构造法求出数列的通项公式，将代入通项公式即可求解. 【详解】记次交换后黑球仍在甲手中的概率为，则， 若次交换后黑球已经在甲手中：交换时甲不拿出黑球，才能让黑球留在甲手中， 概率为（甲共3个球，拿白球不换出黑球的概率为）； 次交换后黑球在乙手中：交换时乙拿出黑球，才能把黑球换回到甲手中， 概率为（乙共3个球，拿出黑球的概率为）； 所以， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 故． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设公比为的等比数列的前项和为，且． (1)求和； (2)记，数列的前项和为，求． 【详解】（1）， 两式相减，即，公比， 又，即，故， 此时，检验成立． （2）由（1）知，， 所以， 故     ， 故数列的前项和. 16．如图所示，已知直四棱柱中，，，． (1)求证：平面平面； (2)若平面，求二面角的余弦值． 不妨设，， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则 （1）， ， ， 底面底面，所以， 又，平面平面。 因为平面，平面平面． （2），已知平面，则， ， 故， ， 设平面法向量，则 令，则，得， ， 设平面法向量，则 令，则，得， 故． 17．某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）： 等待时间 频数 20 14 10 6 (1)估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)记乘客等待时间为，随机变量X服从指数分布，且取值不超过的概率为，其中是自然对数的底数. （i）证明：对于任意的，有； （ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为（单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若，则坐公交车（费用2元）；若，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值. 【答案】(1)7.7分钟 (2) （i）由题意知，， 分别记已经等待s分钟和已经等待分钟为事件A和事件B， 则 . 所以对于任意的，有. （ii）元 【分析】（1）利用组中值法计算样本均值即可. （2）（i）根据条件概率公式证明即可. （ii）结合指数分布的数学期望计算即可. 【详解】（1）平均时间. （2）（i）略 （ii）由（i）知， ， 所以费用的期望是（元）. 18．设抛物线是直线上的动点，是抛物线的两条切线，且与抛物线分别相切于两点． (1)设是抛物线上任意一点，求最小值； (2)记的中点是，求的轨迹方程； (3)记抛物线的焦点是，记，证明：． 【答案】(1) (2) (3) 过点分别作准线：的垂线，垂足分别为， 由点，得，而，得， 由（2）知，由，及， 得，而，得， 则 ， 得，即， 由抛物线的定义得，则为线段的垂直平分线， 得，同理可得， 得， 所以， 则, 同理， 得，由，得， 故． 【分析】（1）设，最小值等于点到直线的距离的最小值，即可求解； （2）设，设，利用切线方程及韦达定理求出轨迹方程. （3）过点分别作准线：的垂线，垂足分别为，先证明，利用线段垂直平分线的性质及抛物线定义推理得证.． 【详解】（1）由是抛物线上任意一点,设， 点到直线的距离为， 当时，取得最小值为， 故最小值为． （2）设， 抛物线上任一点，过点的切线方程为：， 下面证明:当过点的切线的斜率存在时,设切线方程为: , 与抛物线,消去得，， 整理得，， 则， 得，而， 得，得， 得， 则切线方程为：，得， 而，代入上式，得，即． 当过点的切线的斜率不存在时，切线方程为：，此时切点为坐标原点，也满足上式， 故抛物线上任一点，过点的切线方程为：， 由点是直线上的动点， 设，则切线均过点， 即，又，代入得， ， 得， 同理，， 所以是方程的两根， 由韦达定理得，， 因为的中点是，所以， ， 联立方程：，消去，得， 故的轨迹方程为：． （3）略 19．已知函数． (1)当时，求的零点； (2)给定数集，任给，对应关系使函数的零点与对应． ①证明：是函数，并讨论该函数的单调性； ②若数列满足，证明：． 【答案】(1) (2)①当时，， 所以在上单调递增． 设，， 所以当单调递增；当单调递减； 所以，所以，即，当时取等号， 因为，， 所以，使得，所以存在唯一零点， 所以对于任意一个的值，都有唯一零点与之对应， 所以是函数． 在上单调递减；②由①知，． 由得， 由及可得，解得， 所以，解得， 所以． 由，得， 所以． 设，所以， 所以在上单调递减，所以，所以． 因为，所以 ． 所以得证． 【分析】（1）根据导数得出函数单调递增结合求解； （2）①应用导函数得出在上单调递增结合，应用零点存在定理证明；方法一：应用构造应用导数得出单调性结合单调性定义证明单调递减；方法二：两边对求导化简得出恒成立证明函数单调性； ②根据①得，构造，应用导函数得出在上单调递减得出，结合数列求和证明不等式. 【详解】（1）当 时，， 由，得在上单调递增． 因为，所以的零点为． （2）①下面讨论该函数的单调性： （方法一）在任取，且． 设， 所以，且， 所以． 因为，所以． 设， 当时， ，所以在上单调递增． 因为，所以， 所以函数在上单调递减． （方法二）由，两边对求导， 得，所以， 所以恒成立，所以， 所以函数在上单调递减． ②略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三九月考试 数学科 试题 （满分150分。考试时间120分钟。） 一、单选题：本题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 3．设，若，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 4．的展开式中常数项是（    ） A．20 B．15 C． D． 5．若i为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 6．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若的零点恰为的零点，则的最大值为（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 8．设椭圆C：，点和均为椭圆C的顶点，点M，N在椭圆C上. 若，则四边形面积的最大值为（    ） A． B．4 C． D．2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知三棱锥，所有面均为等腰三角形，底面的外接圆半径为1，，侧棱长均为3，则该三棱锥的体积可能为（    ） A． B． C． D． 10．已知，，，其中表示中较大的数，当且仅当时，，则（    ） A． B． C．若，则 D．在恰有3个零点 11．定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”.在中，，BC边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为W，其“直径”为d，则（    ） A． B．面积的最大值为 C．当时， D．d的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．双曲线的实轴长为_____． 13．已知中，，为的平分线，且，则_____． 14．甲有2个白球和1个黑球，乙有3个白球，甲乙两人每次交换1个球，经过5次交换后，黑球仍然在甲手中的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设公比为的等比数列的前项和为，且． (1)求和； (2)记，数列的前项和为，求． 16．如图所示，已知直四棱柱中，，，． (1)求证：平面平面； (2)若平面，求二面角的余弦值． 17．某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）： 等待时间 频数 20 14 10 6 (1)估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)记乘客等待时间为，随机变量X服从指数分布，且取值不超过的概率为，其中是自然对数的底数. （i）证明：对于任意的，有； （ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为（单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若，则坐公交车（费用2元）；若，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值. 18．设抛物线是直线上的动点，是抛物线的两条切线，且与抛物线分别相切于两点． (1)设是抛物线上任意一点，求最小值； (2)记的中点是，求的轨迹方程； (3)记抛物线的焦点是，记，证明：． 19．已知函数． (1)当时，求的零点； (2)给定数集，任给，对应关系使函数的零点与对应． ①证明：是函数，并讨论该函数的单调性； ②若数列满足，证明：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $