江苏南京市第十三中学2026-2027学年高二上学期数学周测4（9.24）

2025级高二第一学期数学周测4(20260924) 班级 姓名」 学号 命题：凡森泉 审校：李进倪琦 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上， 1.若zi=2十3i(i是虚数单位)，则=() A.2 B.3 C.13 D.3W2 【答案】c 【解析】复数z满足zi=2十3i(为虚数单位)， 3=2+3-亿+3y=-2+3, i i.i =(-2)2+32=√13， 故选C. 2.已知，n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则下列命题正确的是() A.若mln,l/a且nllB,则aUlB B.若m⊥n,/a且llB,则a⊥B C.若/a且n⊥，则n⊥a D.若m⊥n,⊥a且nLB,则a⊥B 【答案】D 【解析】若m/n,m/1a且n//B,则a,B可以是相交平面且交线平行n,故A错误： 若m⊥n,m11a且n/B,则a,B可以平行，故B错误； 若m/a且n⊥m,则n可以平行a,故C错误： 若m⊥h,m⊥且n⊥B,则a⊥B,故D正确. 故选：D. 3.已知点A(1,3),Bm一5,1)，C3,m十1)，若AB与AC共线，则AB在AC上的投影向量的坐标 为() A.(-22) B.(2,-2) C.(2,2) D.（-2,-2) 【答案】D 2025级高二第一学期数学周测4第1页共13页 【解析】AB=（m-6,-2),AC=（2,m-2), 因为AB与AC共线，所以(m-2)(m-6)=-4,解得=4， 所以A(1,3),B(-1,1),C(3,5), 所以AB=（-2,-2),AC=（2,2), 所以向量AB在AC方向上的投影向量的坐标为 AB.AC AC-4-4 22×2N52,2)=(-2-2). 4.如果AC<0,且BC<0,那么直线Ax十By十C=0不通过() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C 【解析】AC<0,且BC<0,则A,B,C均不为零， :直线A+B+C=0可化为y=合x日 又AC<0,BC<0, 0,- AB>0,六-8 >0，.直线过一、二、四象限，不过第三象限 B 故选：C. 5.有6个相同的球，分别标有数字123,4,5,6从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲 表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事 件“两次取出的球的数字之和是8'，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7，则() A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 【答案】B 【解析】由题意可知，两点数和为8的所有可能为：（2,6)，（3,5)，（4,4)，（5,3)，(6,2)， 两点数和为7的所有可能为(1,6)，（2,5)，(3,4)，（4,3)，(5,2)，（6,1)， )言N2)6)=666NTD。品6言 A:P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙)， 2025级高二第一学期数学周测4第2页共13页 B:P(甲丁)= =P(甲)P(T), 36 C:2丙)=P(乙P(丙). 36 D:P(丙丁)=0≠P(丙)P(丁)， 故选：B. 6演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评 分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分7个有效评分与9个原始评分相比， 不变的数字特征是( ) A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差 【答案】A 【解析】设9位评委评分按从小到大排列为x≤x≤x3≤x4…≤x?≤x, ①原始中位数为x,去掉最低分x,最高分x,后剩余x≤x3≤x4…≤x,中位数仍为 x,故A正确： ②原始平均数=红+名+考++…+名+小，后来平均数 1 =+++叶) 平均数受极端值影响较大，∴元与x'不一定相同，故B不正确； ®=[-+(g-++(飞-]， s=儿（飞+（飞-++（飞}由②易知，故C不正确 ④原极差=飞，一X,后来极差=一x,可能相等可能变小，故D不正确. 故选：A. 7设ae04eo且ma兴败 ) A.3a-月=号 B.3a+B=5 C.2a-B=3 D.2a+B=月 【答案】C 【解析】由tano= +simE,得nm_1+smE cos B cosa cos B sin a cos B=cosasin B+cosa, 2025级高二第一学期数学周测4第3页共13页 u(引号u引 又.函数y=sinx在 上单调递增， ∴.a-B= 2 -0, ..2a-B= 2 故选C 8.曲柄摇杆机构可以实现旋转运动与摆动运动的相互转化，被广泛应用于多个领域.已知 从某曲柄摇杆机构中可抽象出如图所示的平面图形ABCD,其中A,B为定点，C,D为动点， AB=4,BC=2,CD=3,AD=1,则cos∠ABC的取值范围是() B 553 573 553 5. 73 A.16,80 B.16,80] C.[12,80] D.[12,8O] 【答案】B 【解析】因为AD=1,CD=3,则3-1≤AC≤1+3，即得2≤AC≤4， 16+25 所以A4BC中，cos∠ABC=4AC? 89 -AC2 4 2x4x3 20 2 89-4 89 所以25_ 2-40822 73, 80 20 ≤c0S∠ABC=4 20 20 80 所以coS∠ABC的范围为 573 16'80 2025级高二第一学期数学周测4第4页共13页 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选 或有选错的得0分， 9.设z,1,为复数，z≠2，下列命题中正确的是(） A.若221=z22则z=0 B.若z=z2则zz1=|zz到 C.若1z1-z到=|z1十z则z1z2=0 D.21+z2Sz1l+|z 【答案】ABD 【解析】设==a1+bi,51=42+bi,=3=a3+bgi(4,b,a,b2,a3,b3∈R), 对于A,若三=三2，则(5-2)=0， 因为51≠2，结合复数相等的知识，所以二=0，所以选项A正确： 对于B,由1=52，所以2=a-bi 所以=(4+bi)(a+b,i)=(44-b,b)+(a4b+a,b)i, 5==(4+bi)(a-b,i)=(44+bb)+(ah-ab)i, z=V44-b6+(ab+a)2=aa,}+(6b)}+(ab)}+(a,4), 同理：=V44)}’+(b,)}'+(ab)}+(a)2, 所以=，所以选项B正确； 对于C,令=12=i,片-=5+=V2,但是2名，=≠0，所以选项C错误： 对于D,设OA,OB分别表示复数1，二2， B 由1≠2，若OA,OB不共线时， 如图：+z=oA+08=oC<oA+o8=+3,即片+<+， B←O →A 2025级高二第一学期数学周测4第5页共13页 若OA,OB共线且反向时， 如图： 易知3+z=OA+oB=oA-oB<oA+o=+l, 0 →A B 若OA,OB共线且同向时， 如图：易知l3+z=OA+0B=oA+oB=+, 综上：+≤+，所以选项D正确.故选：ABD. 10.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AC=BC=1,AC1BC,则() B A.A1B1∥平面ABC B.平面A1BCI平面ABC1 、C.异面直线4C与AB所成的角的余弦值为}3 D.点A1,A,B,C均在半径为V3的球面上 【答案】ABC 【解析】对于A,因为AB,IIAB,ABC平面ABC1,AB,丈平面ABC1, 所以AB/1平面ABC,A正确； 对于B,易证得AC,⊥AC,AC⊥BC,又BCOA,C=C,BCC平面A,BC,A,CC 平面ABC, 所以AC1⊥平面ABC,所以平面ABC⊥平面ABC,B正确； 对于C,由AC/1AC,可知∠CAB即为异面直线AC与AB所成的角， 在△CAB中，AC=1,CB=√2，AB=V5, 2025级高二第一学期数学周测4第6页共13页 所以A91BC,所以cos∠C4B=4S-V ,C正确； AB 3 对于D,三棱锥A-ABC的外接球即为直三棱柱ABC-AB,C,的外接球 而该直三棱柱可补形为棱长为1的正方体， 故其外接球的半径R VP+1+1V ,D错误 2 故选：ABC 11.点P是直线y=3上的一个动点，A,B是圆x2+y2=4上的两点.则() A.存在P,A,B,使得∠APB=90° 45 B.若PA,PB均与圆O相切，则弦长AB的最小值为 C.若PA,PB均与圆O相切，则直线AB经过一个定点 7 D.若存在A,B,使得cos∠APB=9,则P点的横坐标的取值范围是[-3V3,3V] 【答案】BCD 【解析】由图可知，当直线PA,PB与圆相切且点P在y轴上时∠APB最大， 此时1o=3,A=V5,m∠AP0=子cos∠APB=1-2sin∠Ao-写0， 9 所以∠APB最大时是锐角，故A错； 3h1P0-1o424,所以h=4o-4 4 PO 则当Po最小时，弦长AB最小，POL=3,所以AB风L=4手-5，故B正确： V93 点Pa认5以心为径的图上的丙点的方餐为 即x2+y2-x-3y=0①，又A,B是圆x2+y2=4②上的两点， 4 所以直线AB的方程为2①：+3y=4,过定点0,3 故C正确： 若存在A,B,使得co∠APB-子则cos∠APB 7 9 当直线PA,PB与圆相切时，∠APB最大，对应的余弦值最小， 当直线PA,PB与圆相切，且cos∠AP6=写时，m∠AP0背|P0=6, 2025级高二第一学期数学周测4第7页共13页 因为Pol=√a+9,所以a=±3√5，则a∈-3W5,33,故D正确 故选：BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上 12.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球.从袋中 任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为一： 【瑞1 7 ππ 13.若函数x)=sn(o.x十3)(o>0)在区间[一2,4上单调递增，则实数ω的取值范围是 【答案】 3 【解析】由x∈ 元π 、0≥0可得m+32r+I 有4o+ 1 兀1 一0兀+ π+2kπ o≤二+8k 由题意可得 32 1 ,k∈Z,解得 ,k∈Z, n π1 π+2km 5 ≤ -4k 32 因为0>0，所以k=0,0 2 31 以实数®的取值范围是0，， 故答案为： 14.设m∈R,过定点A的动直线x十2十y-7)=0和过定点B的动直线x-y一m+3=0 交于点P(x,),则PA|十|PB的取值范围是 【答案】[5,52 【解析】由题意可知，动直线x+2+(y-7)=0,经过定点A(-2,7), 动直线x-y-m+3=0即m(x-1)-y+3=0,经过定点B(1,3), m≠0时，动直线x+2+m(y-7)=0和动直线x-y-m+3=0的斜率之积为-1， m=0时，也垂直，所以两直线始终垂直，又P是两条直线的交点， :.PAL PB,PAP+PBP=4BP=(-2-1)+(7-3)=25. 设∠ABP=0,则PA=5sin6,PB=5cos日， 4e0且2820，可符00引 2025级高二第一学期数学周测4第8页共13页 ÷PA+P阳=5sm0+cas0)=55sm0+f） 2 故答案为： 「5,52 四、解答题：本大题共4小题，共47分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的 文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题10分) 如图，在△ABC中，∠B=票.4B=8,点D在边BC上，且CD=2co2ADC=月 A BD C (1)求sinzBAD: (2)求BD,AC的长. 33 【答案】(1)14；(2)7 【解折】()在aABC中，608∠ADC-号 .sin∠ADC=V1-cos2∠ADC= 则 sin∠BMD=sim(ADC-∠B)=sin∠ADC.cosB-cos∠ADC:inB=4W5x1_Lx5_3N5 727214 …5分 3W5 8× (2)在△ABD中，由正弦定理得BD= AB·sin∠BAD 14=3, sin∠ADB 4W3 7 在△ABC中，由余弦定理得 2025级高二第一学期数学周测4第9页共13页 AC2=AB2+CB2-2AB-BC.cos B=8+52-2×8×5×1=49 2 即AC=7. …5分 (两个式子如果没写“由正弦定理得，由余弦定理得”，各扣一分) 16.(本小题10分) 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随 机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为α，b,c. (1)求抽取的卡片上的数字满足α十b=c”的概率： (2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率. (注：若三个数a,b,c满足b<c,则称b为这三个数的中位数) 【路1w合a号 【解析】(1)由题意，（a,b,c)所有的可能为： (11,1),(1,1,2),(（1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3) (1,3,1),(13,2),(1,3,3),(21,1),(2,12),(2,1,3) (2,2,1),(2,2,2),（2,2,3),（2,3,1),(2,3,2),（2,3,3) (3,1,1),(3,12),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3) (3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种. …2分（不写样本空间扣2分） 设抽取的卡片上的数字满足a+b=c为事件A,则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，（2,1,3)， 共3种， 所以P(A)= 31 279 因此，“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为二 …3分 (2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B, 则B事件包括(1,1,1)，（2,2,2)，(3,3,3)，共3种. 所以P(8)=1-P()=1-3-8 279 因此，“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同的概率为8 …5分 9 2025级高二第一学期数学周测4第10页共13页 17.(本小题12分) 如图，在四棱锥P-ABCD,底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PACI平 PCD,PALCD,CD=2,AD=3, (1)设G,H分别为PB,AC的中点，求证：GH∥平面PAD: (2)求证：PA1平面PCD: (3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值. 【答案】()证明见解析：(2)证明见解析：3)V5 3 【解析】证明：(1)如图： 证明：连接BD,由题意得AC∩BD=H,∴，BH=DH, 又由BG=PG,得GH∥PD, GHa平面PAD,PDc平面PAD GH∥平面PAD;… …4分 (2)证明：取棱PC中点N,连接DN, 依题意得DNLPC, 又平面PAC1平面PCD,平面PACn平面PCD=PC,DNC平面PCD, DNI平面PAC, 又PAC平面PAC,DNLPA, 又PALCD,CDODN-=D, CDc平面PCD,DNc平面PCD, PA1平面PCD;…5分 (3)连接AW由(2)中DN1平面PAC, 2025级高二第一学期数学周测4第11页共13页 知LDAN是直线AD与平面PAC所成角，… …1分 △PCD是等边三角形，CD=2,且N为PC中点， DN=3 又DNI平面PAC,ANGE平面PAC DNIAN, DN 3 在Rt△AD中，sinzDAN=DA=3, 直线AD与平面PAC所成角的正弦值为3. 5分 18.(本小题15分) 在直角坐标系xOy中，直线：x一V3y一4=0交x轴于M以O为圆心的圆与直线1相切. (1)求圆0的方程： (2)设点Nxo,yo)为直线y=一x十3上一动点，若在圆O上存在点P,使得LONP=45°，求 xo的取值范围； (3)是否存在定点S对于经过点S的直线L,当L与圆O交于A,B时，恒有∠AMO= ∠BMO(∠AMO∠BMO不重合)？若存在，求点S的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)x2+y2=4,(2 3,s3+ 2 23)1,0 【解析】(1)圆O的半径r= 上4=2，所以圆0的方程x2+少2=4.2分 √1+3 (2)由题意，当NP与圆O相切时∠OWP最大， 此时sin∠OWP=OP三2 ONON 在圆O上存在点P,使得∠ONP=45°， 即≥m45= ON 2.Ow22 设点N(5,3-x),则OW=Vx+(3-)}, 所以VG+(3-25,解得3V5≤S3+5 -≤X≤ …4分 2 (3)直线l:x-3y-4=0交x轴于M(4,0), ①当斜率存在时，设L:y=x+m,L与圆的交点A(x,乃)，B(x2,y,), 2025级高二第一学期数学周测4第12页共13页 根据题意只需ky十k则=0，即乃十当，二0，…2分 ￥-4x3-4 把y=+,y=kx+m代人并化简得2kx+(m-4k)(x+x)-8m=0(*), y=kx+m 把L与圆联立解方程 x2+y2=4' 得k2+1x2+2x+m2-4=0,△=16k2-4m2+16>0, 2km m2-4 得x十+x3= 2+1为 …3分 -k2+11 代入图武得2必2=48=0，化简沿k+=0,即mR 此时△=12k2+16>0, 所以L:y=k(x-1),恒过(1,0)点.…2分 ②当过(1,0)点的直线L的斜率不存在时，∠AMO=∠BMO显然成立， 综上，存在点S,此时的坐标为(1,0) …2分 2025级高二第一学期数学周测4第13页共13页2025级高二第一学期数学周测4(20260924) 班级 姓名 学号 命题：凡森泉 审校：李进倪琦 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上 1若i=2+3i(i是虚数单位)，则=() A.2 B.3 c.3 D.3V2 2.己知m,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则下列命题正确的是( A.若mllm,mlla且nlB,则ap B.若m⊥n,mla且nlB,则a⊥β C.若mlla且n⊥m,则nLa D.若m⊥n,m⊥a且n⊥B,则a⊥fB 3.己知点A1,3),B(m-5,1).C(3,m十1)，若AB与AC共线，则AB在AC上的投影向量的坐标 为( A.(-2,2) B.(2,-2) C.(2,2) D.(-2,-2) 4.如果AC<0,且BC<0,那么直线Ax十By十C=0不通过() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.有6个相同的球，分别标有数字1,2.3,4.5.6，从中有放回地随机取两次每次取1个球.甲 表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2，丙表示事 件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是T”,则() A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 6演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评 分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分7个有效评分与9个原始评分相比 不变的数字特征是( A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差 7设a∈(0，，B∈(0，克.且tana=1+sng cos,则( A.3a-B-j B.3a+B= C.2a-B-Z D.2a+B= 8.曲柄摇杆机构可以实现旋转运动与摆动运动的相互转化，被广泛应用于多个领域.已知 从某曲柄摇杆机构中可抽象出如图所示的平面图形ABCD,其中A,B为定点，C,D为动点， AB=4,BC=2,CD=3,AD=1,则coS∠ABC的取值范围是() B 553 573 553 573 A.[16,8o B.[16,8o C.12,80 D.12,8o 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选 或有选错的得0分 9.设：，1,2为复数，12，下列命题中正确的是( A.若1=2则=0 B.若1=2则z=z C.若1一=1十则22=0 D.1十z2李+ I0.如图.在直三棱柱ABC一A1B1C,中，AA1=AC=BC=1,ACLBC,则( ) B A.A1B1∥平面ABC B.平面A:BC⊥平面ABC C异面直线C与AB所成的角的余法值为9 D.点A1,A,B.C均在半径为N3的球面上 11.点P是直线y=3上的一个动点，A,B是圆x2+y2=4上的两点.则() A.存在P,A,B,使得∠APB=90 45 B.若PA,PB均与圆O相切，则弦长AB的最小值为 C.若PA,PB均与圆O相切，则直线AB经过一个定点 D.若存在A,B,使得cos∠APB=9,则P点的横坐标的取值范围是[-3V5,3V) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上 12袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球.从袋中 任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为一。 13.若函数x)=si(or+3(o>0)在区间[一2,4上单调递增，则实数w的取值范围是 14.设m∈R,过定点A的动直线x十2十m0y-7)=0和过定点B的动直线mxr一y一m十3=0 交于点P(x,以，则IPA+|PB的取值范围是 四、解答题：本大题共4小题，共47分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的 文字说明，证明过程或演算步骤 15.(本小题10分) 如图，在△HBC中∠B=号，AB=8,点D在边BC上且CD=2.os2ADC=克. A BD C (I)求sinzBAD: (2)求BD,AC的长. 16.(本小题10分) 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同，随 机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c (1)求“抽取的卡片上的数字满足a十b=c”的概率： (2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同的概率. (注：若三个数a,b,c满足a<bsc,则称b为这三个数的中位数) 17.(本小题12分) 如图，在四棱锥P-ABCD,底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平 面PCD.PA⊥CD.CD=2.AD=3. (I)设G,H分别为PB,AC的中点，求证：GH∥平面PAD: (2)求证：PA1平面PCD: (3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值. 18.(本小题15分) 在直角坐标系xOy中，直线：x一V3y一4=0交x轴于M,以O为圆心的圆与直线/相切. ()求圆O的方程： (2)设点N(0,)为直线y=一x+3上一动点，若在圆O上存在点P,使得∠ONP=45°，求 o的取值范围： (3)是否存在定点S对于经过点S的直线L,当L与圆O交于A,B时，恒有∠AMO= ∠BMO(∠AMO∠BMO不重合)？若存在，求点S的坐标：若不存在，说明理由