江苏南京市第十三中学2025-2026学年高二上学期期末学情检测数学试题

2027届高二年级期末学情检测

数学

2601南京13中

独立命题

（时间：120分钟  满分150分）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答发卡相应位置上.

1. 过点且垂直于直线的直线方程为（   ）

A.  B.  C.  D.

2. 现有5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择种数为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知，则的值为（   ）

A. 1 B.  C.  D. 2

4. 已知数列为等比数列，，若的前3项和为7，则数列的前3项和为（　　）

A. 7 B.  C.  D.

5. （      ）

A.  B.  C.  D.

6. 在平面直角坐标系中，双曲线的左右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与相交于两点，与轴的交点为，则的离心率为（     ）

A.  B.  C. 2 D.

7. 函数的图象上的点到直线的距离的最小值为（   ）

A.  B.  C.  D.

8. 若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（）

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.

9. 已知函数的导函数的图象如下图所示，则（   ）

A. 函数的图象在处的切线斜率小于零

B. 函数在区间上单调递增

C. 当时，函数取得极值

D. 当时，函数取得极值

10. 已知数列满足，，则（    ）

A. 数列为等比数列 B.

C. ， D.

11. 将方程表示的曲线作为函数的图象，则（   ）

A. 的图象不经过第三象限

B. 在上单调递增

C. 的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为

D. 函数不存在零点

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

12. 记为等差数列的前项和，若，则的值为________.

13. 若直线：与圆和圆都相切，则符合条件的实数可以为________（写出一个符合条件的实数即可）.

14. 若对任意的，恒有，则实数的取值范围为________.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 用数字组成没有重复数字的数（结果用数字作答）.

（1）求可组成多少个四位数；

（2）求可组成多少个偶数互不相邻的六位数；

（3）将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一排，求第个数.

16. 已知直线与圆交于，两点，且.

（1）求圆的方程.

（2）若过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，和圆交于两点，且点位于轴的下方，求.

17. 已知数列的前项和满足，，且.

（1）证明数列为等差数列；

（2）若数列的首项，且，，求数列的通项公式.

18. 已知椭圆的左、右顶点为，离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合.过点且斜率不为的直线交椭圆于点，直线与直线交于点.

（1）求椭圆的方程；

（2）记，的面积分别为，，若，求直线的斜率；

（3）记直线、的斜率分别为、，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.