精品解析：江苏南京市第十三中学2025-2026学年高二上学期期末学情检测数学试题

2027届高二年级期末学情检测 数学 2601南京13中 独立命题 （时间：120分钟 满分150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答发卡相应位置上. 1. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 现有5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择种数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 已知数列为等比数列，，若的前3项和为7，则数列的前3项和为（　　） A. 7 B. C. D. 5. （ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，双曲线的左右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与相交于两点，与轴的交点为，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 函数的图象上的点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分. 9. 已知函数的导函数的图象如下图所示，则（ ） A. 函数的图象在处的切线斜率小于零 B. 函数在区间上单调递增 C. 当时，函数取得极值 D. 当时，函数取得极值 10. 已知数列满足，，则（ ） A. 数列为等比数列 B. C ， D. 11. 将方程表示的曲线作为函数的图象，则（ ） A. 的图象不经过第三象限 B. 上单调递增 C. 的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为 D. 函数不存零点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 记为等差数列的前项和，若，则的值为________. 13. 若直线：与圆和圆都相切，则符合条件的实数可以为________（写出一个符合条件的实数即可）. 14. 若对任意的，恒有，则实数的取值范围为________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 用数字组成没有重复数字的数（结果用数字作答）. （1）求可组成多少个四位数； （2）求可组成多少个偶数互不相邻的六位数； （3）将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一排，求第个数. 16. 已知直线与圆交于，两点，且. （1）求圆的方程. （2）若过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，和圆交于两点，且点位于轴的下方，求. 17. 已知数列前项和满足，，且. （1）证明数列为等差数列； （2）若数列的首项，且，，求数列的通项公式. 18. 已知椭圆的左、右顶点为，离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合.过点且斜率不为的直线交椭圆于点，直线与直线交于点. （1）求椭圆的方程； （2）记，的面积分别为，，若，求直线的斜率； （3）记直线、的斜率分别为、，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由. 19. 已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，恒成立，求正整数的最大值； （3）证明：， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高二年级期末学情检测 数学 2601南京13中 独立命题 （时间：120分钟 满分150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答发卡相应位置上. 1. 过点且垂直于直线的直线方程为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直的条件求解即可. 【详解】设垂直于直线的直线方程为， 因为直线过，所以，解得， 所以垂直于直线的直线方程为. 故选：Ａ. 2. 现有5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同的选择种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分步计数原理即得． 【详解】每一位同学有3种不同的选择，则5名同学去听同时进行的3个课外知识讲座， 每名同学可自由选择其中的1个讲座，不同选法的种数是. 故选：A． 3. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目条件，利用导数的定义即可求解. 【详解】. 故选：D 4. 已知数列为等比数列，，若前3项和为7，则数列的前3项和为（　　） A. 7 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设数列的公比为，由已知可得，进而计算，得解. 【详解】设数列的公比为，则，即， 所以. 故选：D. 5. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用公式逐步化简求解即可. 【详解】∵， ． 故选：B． 6. 在平面直角坐标系中，双曲线的左右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与相交于两点，与轴的交点为，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点坐标，求出直线方程，进而求得坐标，然后利用垂直的斜率关系列出的齐次方程，解之即得. 【详解】依题意，由双曲线的对称性，不妨让在轴的上方，如图， 把代入中，利用，解得：，故， 所以直线的方程为，整理得，所以， 由得，整理得，所以， 两边同除以，得，解得（负根舍去），故. 故选：B 7. 函数的图象上的点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出与直线平行的切线，切线到直线的距离即为最小距离. 【详解】，令，即， 令，，恒成立， 故函数在上单调递增，且，故函数仅有一个零点， 令，，即切点横坐标为， 代入，切点坐标为，切线方程为：， 切线与直线之间的距离. 故选：C 8. 若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导确定函数单调性与极大值点，通过分析极值点必须位于区间内，结合开区间端点函数值趋势与极大值的比较，即当右端点函数值不超过极大值时，最大值才能在区间内取到，从而解得参数的范围. 【详解】对函数求导得：， 令解得极值点和， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 因此，为极大值点，，为极小值点，， 区间需满足， 为在区间内存在最大值，必须将极大值点包含在区间内，即，得， 考察右端点的函数值，比较极大值： 若，则会成为区间最大值，但此时区间是开区间，最大值不存在， 解不等式，得，即， 由于，当时该不等式成立，此时，区间内不存在最大值； 当时，，区间内最大值即为，能够取到， 分析左端点的取值：当时，左端点， 在时，，函数严格单调递增， 因此，对于任意，有， 特别地，对左端点，有： 即在区间内，所有函数值均小于， 综上，当且仅当时，函数在区间上存在最大值. 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分. 9. 已知函数的导函数的图象如下图所示，则（ ） A. 函数的图象在处的切线斜率小于零 B. 函数在区间上单调递增 C. 当时，函数取得极值 D. 当时，函数取得极值 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导数的几何意义判断Ａ；利用导函数的正负，分析函数的单调性，判断Ｂ；利用极值点的定义判断Ｃ，Ｄ. 【详解】由图可知，所以函数的图象在处的切线斜率大于零，所以Ａ错误. 当时，恒成立，所以函数在区间上单调递增，所以Ｂ正确. 由图可知，在的附近，当时，；当时，. 即是的一个变号零点，所以在处取得极值.所以Ｃ正确. 在的附近，恒成立，所以单调递增，所以不是的极值点，所以Ｄ错误. 故选：BC. 10. 已知数列满足，，则（ ） A. 数列为等比数列 B. C. ， D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据递推关系得是以为首项，为公比的等比数列，即可求解其通项，结合选项即可逐一求解. 【详解】对于A，依题意，由可得， 整理得，∵， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列，故A正确； 对于B，，∴，，故B正确； 对于C，易知关于单调递减， ∴数列是递减数列，又，∴数列为递增数列，故C错误； 对于D， ，故D正确． 故选：ABD 11. 将方程表示的曲线作为函数的图象，则（ ） A. 的图象不经过第三象限 B. 在上单调递增 C. 的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为 D. 函数不存在零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先讨论去掉绝对值，并画出函数的图象，直接判断AB，然后数形结合，并结合椭圆和双曲线的性质判断CD选项. 【详解】当时，方程为，表示椭圆在第一象限的部分， 当时，方程为，表示双曲线在第四象限的部分， 当时，方程为，表示双曲线在第二象限的部分， 当时，方程为，无意义， 所以图象如下所示： 由图可知，函数的图象不经过第三象限，故A选项正确； 在R上单调递减，B选项错误； 由图判断图象上的点到原点距离的最小值点应在时， 即满足，设图象上的点 当时取得最小值，故C正确； 函数的零点，就是函数 和的交点， 而是曲线和的渐近线，所以没有交点. 所以函数不存在零点，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 记为等差数列的前项和，若，则的值为________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式计算得出，再应用等差数列通项公式计算求解. 【详解】记为等差数列的前项和， 因为，所以，所以， 则. 故答案为：3. 13. 若直线：与圆和圆都相切，则符合条件的实数可以为________（写出一个符合条件的实数即可）. 【答案】(中的任意一个) 【解析】 【分析】根据直线与圆相切的定义，结合点到直线的距离公式求解，可得实数的取值范围，从而写出符合条件的实数. 【详解】由 ，得； 圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为. 若直线：与圆和圆都相切， 则，化简得. 由，得或. 当时，，解得； 当时，，解得. 故答案为：(中的任意一个). 14. 若对任意的，恒有，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先对不等式进行移项，将含的部分合并得到，观察到两边可以统一为函数，利用其单调递增性将问题转化为对恒成立，进而通过求的最大值得到参数范围. 【详解】原不等式移项得：， 令，则，， 设，， 故在上单调递增； ， 原不等式等价于： 又单调递增，则， ，令， 求导：，令，得， 当时，，递增；当时，，递减， 因此， 要使得对所有成立，只需. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 用数字组成没有重复数字的数（结果用数字作答）. （1）求可组成多少个四位数； （2）求可组成多少个偶数互不相邻的六位数； （3）将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一排，求第个数. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用排列的乘法原理，先确定千位数的限制条件，再计算剩余数字的全排列数； （2）采用插空法处理不相邻问题，先排列不受限制的元素，再分类讨论偶数插入时的首位限制； （3）通过逐位分类与排列计数，结合字典序排列规则定位具体位置对应的数. 【小问1详解】 四位数的千位不能为，从数字中选不重复的四位数个数， 千位从中选，有种选法， 剩余三位从剩下的个数字中选个排列： 总数：. 【小问2详解】 用组成无重复数字的六位数，且偶数互不相邻 先排奇数，排列数：, 三个奇数从左到右形成个空隙， 个空隙中选个放入偶数（每个空隙一个偶数，保证偶数互不相邻）： 若空隙未被选：只能选空隙，偶数全排列种， 若空隙被选：空隙不能放，故从中选个放在空隙（种），剩余两个偶数放入另两个选中的空隙（种）， 包含空隙的空隙选择有种，每种对应种偶数排法，共种， 偶数排法总数：， 六位数总数：. 【小问3详解】 从小到大排列这些四位数，求第个数， 千位为时：后三位从剩余个数中选个排列，有个（第个）， 千位为时：也有个（第个）， 第个在千位为中排第个， 千位为时： 百位为：个（第个）， 百位为：个（第个）， 第个是，第个是. 16. 已知直线与圆交于，两点，且. （1）求圆的方程. （2）若过点且斜率为直线与抛物线交于两点，和圆交于两点，且点位于轴的下方，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由向量数量积求出弦所对圆心角为，利用圆心到给定直线距离等于半径乘以余弦建立方程，解出圆心横坐标，进而得到圆的方程; （2）联立过圆心的直线与抛物线，利用韦达定理得两交点横坐标和，结合抛物线定义求出弦长，再减去圆的直径即得所求线段长度之和. 【小问1详解】 已知圆的半径，且 由得： 于是弦所对的圆心角为， 圆心到直线距离 利用点到直线距离公式： 解得，即或（舍去的情形）， ，故圆的方程为. 【小问2详解】 圆心，直线过且斜率为，方程为: 联立抛物线，消去： , , 设，则：， 抛物线的焦点为（即为圆心），准线为， 由抛物线定义： ， 又是直线与圆的交点，且过圆心， 因此是直径， 由图可知，. 17. 已知数列的前项和满足，，且. （1）证明数列为等差数列； （2）若数列的首项，且，，求数列的通项公式. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据与之间的关系式，得到，即，结合等差数列的定义，即可得证； （2）根据题意，得到，结合累加法和错位相减法，即可求得数列的通项公式. 【小问1详解】 由题知，，， 则， 两式相减得，， 所以，又， 所以数列为首项为，公差为的等差数列. 【小问2详解】 解：由（1）得， 所以，可得， 又，所以 ， 所以， 两式相减得， ， 所以，所以， 当时，，适合上式， 所以数列的通项公式为. 18. 已知椭圆的左、右顶点为，离心率为，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合.过点且斜率不为的直线交椭圆于点，直线与直线交于点. （1）求椭圆的方程； （2）记，的面积分别为，，若，求直线的斜率； （3）记直线、的斜率分别为、，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由. 【答案】（1） （2） （3），证明见详解 【解析】 【分析】（1）由抛物线焦点为得椭圆右焦点，即，根据离心率可解得，再利用椭圆基本关系求得的值，从而确定椭圆的标准方程； （2）根据的坐标关系，分别表示出和的面积，利用面积比条件建立与的模长关系，设直线的参数方程后联立椭圆，通过韦达定理结合的条件建立关于斜率参数的方程并求解； （3）先由直线的方程与联立求出点坐标，进而得到直线的斜率，结合的斜率构建比值表达式，代入直线参数方程进行化简，最后利用韦达定理消去坐标变量，判断比值是否为常数. 【小问1详解】 抛物线的焦点为，故椭圆右焦点，即. 椭圆离心率，得. ，因此椭圆的方程为： 【小问2详解】 ，，. 面积， 面积. 由，得： 因为在两侧，故异号，不妨设. 设直线，与椭圆联立得： 设，， 则 代入，得： 消去得： 所以，斜率. 【小问3详解】 直线， 令得： 直线的斜率. 于是： 代入， ， 由韦达定理得：，， 可得： 代入上式，分子：， 分母： 所以： 19. 已知函数，. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，恒成立，求正整数的最大值； （3）证明：，. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得到函数在某点处的导数值，结合函数值利用点斜式写出切线方程，首先计算确定切点坐标，再计算得到切线斜率，最后代入点斜式方程完成解答； （2）利用导数研究函数的单调性，通过分类讨论确定最小值点，并根据不等式条件检验参数范围，先对和两种情况讨论单调性，再计算极小值点处的函数值，通过解不等式确定正整数的最大值； （3）借助已知函数不等式代入特定数列，通过求和、放缩与对数运算性质完成证明，将代入不等式，对从到求和，利用已知的级数不等式进行放缩，最终推导出. 【小问1详解】 当时， ，， ， 切线方程：. 【小问2详解】 ， 若，则对恒成立，单调递增，最小值为， 若，则在上递减，在上递增， 最小值在处： ，即 时，，时，， 故正整数的最大值为. 【小问3详解】 由（2）可得，当时，对有 令，因， 代入得： 对求和： ， 当时（因为）， ， 代入得： 因此： 即，证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $