精品解析：广西南宁第三十六中学2026-2027学年高三上学期9月月考数学试题

南宁市第三十六中学2026-2027（上）考试题 数学 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、座位号、考籍号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所列的4个备选项中，只有1个符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，解得，， 又， 所以. 2. 若复数 满足 ，则 （　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】 ，故 . 亦可由 . 3. 若单位向量，的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】  ， 故. 4. 已知双曲线（）的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据离心率列方程，求得，进而求得，从而求得双曲线的渐近线方程. 【详解】因为，，所以，所以，故. 所以渐近线方程为. 5. 若正四棱台的侧棱长为，上，下底面边长分别为2和4，则该四棱台的体积是（ ） A. 28 B. 32 C. 48 D. 84 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用侧棱长、上下底面对角线半长的差和高构成直角三角形求高，再代入体积公式计算. 【详解】上底边长为，对角线长为，半对角线长为； 下底边长为，对角线长为，半对角线长为. 侧棱长、高、半对角线长的差构成直角三角形，侧棱长为， 因此，解得，即. ，， 则. 因此该四棱台体积为. 6. 小明将5张互不相同的卡片全部放入编号为的3个信封中，每个信封至少放1张卡片，则不同的放卡片方法共有（ ） A. 90种 B. 120种 C. 150种 D. 300种 【答案】C 【解析】 【分析】先将5张不同卡片按“每个信封至少1张”的要求分组，分组分为两类：3张、1张、1张的不均匀分组，以及2张、2张、1张的部分均匀分组，再将分好的三组分配到3个不同的信封，结合分步乘法与分类加法计数原理计算即可。 【详解】首先将5张互不相同的卡片分为3组，满足每组至少1张，分两类讨论： 第一类：分组为3，1，1的形式， 分组方法数为种. 第二类：分组为2，2，1的形式，分组方法数为种. 则总的分组方法数为种. 因需将分好的3组分配到编号为的3个不同信封，故有分配方法数为种. 根据分步乘法计数原理，不同的放卡片方法共有种. 7. 已知，，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两角和与差的正弦、余弦公式将 展开，整理成 ，用商数关系求出 ，再由二倍角的正切公式求 . 【详解】将 展开，得 ，整理得 . 由 知 ，此时 ； 若 ，则 ，. 矛盾，故 . 于是 . 由二倍角的正切公式，. . 8. 已知函数在上可导，导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，通过求导，结合条件判断函数单调性，利用为偶函数及，推出，即得，将所求不等式等价转化为，利用单调性即得. 【详解】设，则，故函数在上为增函数， 因，且为偶函数，故，故，则， 于是等价于，即，由函数的单调性可得， 即不等式的解集为. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得2分，有选错的得0分．） 9. 已知圆，则下列说法正确的有（ ） A. 点在圆内 B. 直线截圆所得的弦长为 C. 圆与圆外离 D. 圆在点处的切线方程为 【答案】ACD 【解析】 【详解】圆的圆心为，半径. 选项：点到圆心的距离平方为， 故该点在圆内，正确. 选项：圆心到直线的距离，弦长为，错误. 选项：圆的圆心为，半径，圆心距，而，故两圆外离，正确. 选项：点满足，在圆上.，则切线斜率为， 则切线方程为，即，正确. 10. 已知是公差的等差数列，其前项和为，且，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 当且仅当时，取最小值 C. 数列是等比数列 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式、等比数列的性质，结合韦达定理及数列的函数性质求解即可. 【详解】对于A，设等差数列的首项为，则，. 可将，看作方程的两根，解得或. 因为，所以，故，. 公差，. 故通项公式为，A正确. 对于B，，这是开口向上的二次函数，对称轴. 因为，所以当或时，均取最小值，B错误. 对于C，令，则， 所以是首项为、公比为4的等比数列，C正确. 对于D，令，解得， 当时，；当时，， 易知，，，，，，，，，， 所以，D错误. 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线于交于两点，点在第一象限，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线C的准线方程为 B. 一定为钝角 C. 若直线的倾斜角为，则 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于选项A:结合题意求出准线方程即可判断；对于选项B:联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理及数量积公式判断即可；对于选项C: 设直线为，联立抛物线，求出，结合抛物线的定义即可判断;对于选项D:结合选项C可知当直线的倾斜角为时，有，，即可判断. 【详解】对于选项A: 因为抛物线，所以，即， 所以准线方程为，故选项A正确； 对于选项B: 因为，所以焦点为,设， 则, 结合题意：易知直线的斜率不为，可设为， 联立，可得， 因为，所以， 所以， 因为，易知不共线, 所以一定为钝角，故选项B正确； 对于选项C:因为直线的倾斜角为，所以斜率， 故可设直线为，且设， 联立，可得，解得， 结合抛物线的定义可知：，, 所以，故选项C正确； 对于选项D:由选项C知：当直线的倾斜角为时， 因为，. 所以，， 此时，故选项D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛:本题的解题关键在于结合抛物线的定义，利用韦达定理表示出相关的量. 三、填空题（本大题共3小题，每小题满分5分，共15分．） 12. 设等差数列的前项和为，若，，则__________． 【答案】11 【解析】 【详解】设公差为，由，，得，即，解得，所以. 13. 已知圆锥的高是其底面半径的倍，若一个球内切于该圆锥（球与圆锥的底面及侧面均相切），则圆锥的体积是球的体积的________倍． 【答案】 【解析】 【分析】借助轴截面转化为平面等腰三角形的内切圆问题.根据高与底面半径的关系表示相关边长，求出内切球半径，再代入体积公式计算两者体积之比. 【详解】设圆锥底面半径为，由题意得圆锥的高. 因为圆锥轴截面是等腰三角形，底边长，高，所以母线长为 . 设内切球半径为.轴截面中，内切球对应的轴截面是等腰三角形的内切圆. 等腰三角形的面积为. 三角形周长的一半为，由内切圆半径和周长知此等腰三角形面积. 所以，即.此时球的体积为. 因为圆锥的体积为. 所以圆锥的体积与球的体积之比为. 14. 已知函数，若，，，是方程的四个根，且，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】令，在同一坐标系中作出和的图象，结合条件与图象可得，，从而可得，再求出的取值范围，即可求解. 【详解】当时，，对称轴为，且， 令，在同一坐标系中作出和的图象，如图所示， 因为，，，是方程的四个根，则由图可知，， 且，，所以， 则，令，则， 易知在区间上单调递增，所以， 则，所以的取值范围是. 四、解答与证明题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 体育锻炼有助于学生全面发展，为研究某市学生体育锻炼时长，随机抽取了100名学生进行调查，并绘制频率分布直方图如下： （1）估计这100名学生日均体育锻炼时长的平均数; （2）若规定“日均锻炼时长不少于40分钟为运动积极型学生”， （i）采用分层抽样抽取8人，再在这8人中随机抽出3人，记抽到运动积极型学生人数为Y，求Y的分布列和数学期望; （ii）现从样本中有放回地抽取n次，每次抽取1人，若希望至少抽到1名运动积极型学生的概率不低于，至少需抽取多少次？（参考数据：） 【答案】（1）分钟 （2）（i）分布列为 Y 1 2 3 P ；（ii）3次 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图结合平均数的定义运算求解即可； （2）（i）根据分层抽样求各层人数，结合超几何分布求分布列和期望； （ii）根据独立重复实验的概率可得，结合对数运算求解即可. 【小问1详解】 由题意可得这100名学生日均体育锻炼时长的平均数为：直方图中每个小矩形底边中点乘以每个矩形面积的和， 即（分钟）. 【小问2详解】 （i）由直方图可得日均锻炼时长不少于40分钟为运动积极型学生占的比例为， 分层抽样抽取的8人中运动积极型学生有人，其他2人， 由题意可知：Y的可能取值有1，2，3， 则，，， 故Y的分布列为 Y 1 2 3 P 所以数学期望； （ii）由题意可知：每次抽到1名运动积极型学生的概率为， 可得，即， 两边取对数可得，即， 可得， 故至少需抽3次. 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形. （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）由题意得平面，平面，则， 由正方形性质得，而，平面， 所以平面， 而平面，故平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质得到，再结合并利用线面垂直的判定定理得到平面，最后利用面面垂直的判定定理求解即可. （2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再结合面面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由平面，平面， 得到，，所以建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则， 令，解得，，得到， 而为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为θ， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 17. 的内角，，的对边分别为，，，已知函数的最小正周期为，其中，，的图象关于直线对称，且. （1）求函数的解析式及的值； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据对称轴求出，再将代入函数解析式就可以求出； （2）先由面积公式得到，再由余弦定理可求得即可求出周长. 【小问1详解】 因为函数的最小正周期为，所以，又，所以. 因为的图象关于直线对称，所以， 解得， 又，所以，即函数的解析式为. 所以，又，故， 所以，解得，. 【小问2详解】 由面积，可得， 由余弦定理得，即， 解得， 所以的周长为. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在其定义域上存在个极值点，求的取值范围； （3）证明：当时，． 【答案】（1） （2） （3）当时，，要证明， 即证明，又，即证明， 令，则，当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，所以，故命题得证. 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求解； （2）根据条件，将问题转化成与的图象有个交点，利用导数与函数单调性的关系，求出的单调区间，进而得出的图象，数形结合，即可求解； （3）根据条件，将问题转化成求证，构造函数，求出的最大值，即可求解. 【小问1详解】 当时，，则，， 所以，则曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 易知的定义域为，又， 令，得到，令， 因为，当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又时，，，时，，其图象如图所示， 因为在其定义域上存在个极值点，则与图象有个不同的交点， 由图可知，得到. 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为．不与y轴垂直的直线l与C交于A，B两点． （1）求C的方程； （2）若直线l经过点，求的面积的最大值； （3）C的左顶点为D，若，证明：直线l过定点． 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据离心律和椭圆系数求得； （2）设而不求，联立直线与椭圆联立，用伟达定理求出得到三角形面积；第三小问，设直线为横截距式，设与轴交点为，联立求解。 【小问1详解】 设C的半焦距为．由题意可得解得 所以C的方程为． 【小问2详解】 由（1）可知，． 可设l：，，， 由消去x得， 则，． 所以． ， 当且仅当，即时“=”成立， 即的面积的最大值为2． 【小问3详解】 设l：．由消去x得， 所以，，． 因为，，所以由可得， 所以， 即， 化简整理得，解得或． 当时，直线l：经过点D，不符合题意； 当时，直线l：经过点，也满足，符合题意． 综上所述，当时，直线l过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁市第三十六中学2026-2027（上）考试题 数学 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、座位号、考籍号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所列的4个备选项中，只有1个符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数 满足 ，则 （　） A. 1 B. C. 2 D. 3. 若单位向量，的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线（）的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若正四棱台的侧棱长为，上，下底面边长分别为2和4，则该四棱台的体积是（ ） A. 28 B. 32 C. 48 D. 84 6. 小明将5张互不相同的卡片全部放入编号为的3个信封中，每个信封至少放1张卡片，则不同的放卡片方法共有（ ） A. 90种 B. 120种 C. 150种 D. 300种 7. 已知，，则（ ） A. 4 B. C. D. 8. 已知函数在上可导，导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（   ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得2分，有选错的得0分．） 9. 已知圆，则下列说法正确的有（ ） A. 点在圆内 B. 直线截圆所得的弦长为 C. 圆与圆外离 D. 圆在点处的切线方程为 10. 已知是公差的等差数列，其前项和为，且，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 当且仅当时，取最小值 C. 数列是等比数列 D. 11. 已知抛物线的焦点为，过的直线于交于两点，点在第一象限，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线C的准线方程为 B. 一定为钝角 C. 若直线的倾斜角为，则 D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题满分5分，共15分．） 12. 设等差数列的前项和为，若，，则__________． 13. 已知圆锥的高是其底面半径的倍，若一个球内切于该圆锥（球与圆锥的底面及侧面均相切），则圆锥的体积是球的体积的________倍． 14. 已知函数，若，，，是方程的四个根，且，则的取值范围是_______． 四、解答与证明题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 体育锻炼有助于学生全面发展，为研究某市学生体育锻炼时长，随机抽取了100名学生进行调查，并绘制频率分布直方图如下： （1）估计这100名学生日均体育锻炼时长的平均数; （2）若规定“日均锻炼时长不少于40分钟为运动积极型学生”， （i）采用分层抽样抽取8人，再在这8人中随机抽出3人，记抽到运动积极型学生人数为Y，求Y的分布列和数学期望; （ii）现从样本中有放回地抽取n次，每次抽取1人，若希望至少抽到1名运动积极型学生的概率不低于，至少需抽取多少次？（参考数据：） 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形. （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 的内角，，的对边分别为，，，已知函数的最小正周期为，其中，，的图象关于直线对称，且. （1）求函数的解析式及的值； （2）若，的面积为，求的周长. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在其定义域上存在个极值点，求的取值范围； （3）证明：当时，． 19. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，且，离心率为．不与y轴垂直的直线l与C交于A，B两点． （1）求C的方程； （2）若直线l经过点，求的面积的最大值； （3）C的左顶点为D，若，证明：直线l过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $