广西南宁市第三中学2026-2027学年高三上学期月考（一）数学试题

南宁三中2026~2027学年度上学期高三月考（一） 数学试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B D B C C D C ABC BC ACD 12．【答案】40 13．【答案】 14．【答案】 15．【答案】（1）0.04 （2） （3）的分布列如下， 0 1 2 数学期望为0.6 【详解】（1）根据频率之和等于1可得， ，解得． 2分 （2）由频率分布图可知，电池续航时间不少于35小时的频率等于， 所以电池续航时间不少于35小时的电池有组， 电池续航时间少于35小时的电池有组， 所以从抽取的50组电池中任取2组， 恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率为． 5分 （3）由（2）知，每次抽到电池续航时间不少于35小时的概率等于 由题可知，随机变量服从二项分布，所以， 6分 所以所有可能的取值有0，1，2， 所以，， ，所以的分布列如下， 0 1 2 ．10分 所以的数学期望为 13分 16．【详解】（1）取的中点，连接，， ，分别是和的中点，与平行且相等； 和都垂直于平面，且，与平行且相等， 与平行且相等，∴四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面． 5分 （2）设到平面的距离为，则，故． 由于垂直于平面，建立如图的空间直角坐标系， ，， ，，，， 设，则， 8分 ，， 设平面的法向量为，则由得， 取，得，，因此平面的一个法向量． 由于垂直于平面，因此是平面的一个法向量． 设平面与平面的夹角为，则， ∴平面与平面夹角的余弦值的最大值为． 15分 17．【答案】（1） （2） 【详解】（1）由题意得，，， 则， 2分 即，由余弦定理得，整理得， 4分 则，又， 则，，则； 7分 （2）由正弦定理得：，则， 则，． 15分 18．（1）（2）（ⅰ）或；（ⅱ） 【详解】（1）由题意得，所以， 1分 又因为， 2分 所以，， 3分 所以的方程为． 4分 （2）（ⅰ）当直线与轴垂直时，此时，，，四点共线，不合题意； 5分 当直线与轴不垂直时，设：，，， 不妨设点在轴上方，点在轴下方，即，， 联立，消去并整理得， ，，， 7分 因为，即，所以， 所以，， ，， 所以解得，， 所以：或， 即直线的方程为或 （ⅱ）因为，所以， 又因为，所以，所以：， 11分 令得， 因为，，所以， 12分 所以， 所以， 13分 又因为， 点到直线的距离， 所以， 15分 令，则，，， 因为，，当时，，所以在上单调递增， 当时，取到最小值4，此时取到最大值为． 17分 19．【详解】（1）的定义域为，， 1分 因为是函数的极值点，所以，解得， 2分 当时，， 因为，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点． 3分 （2）， 当时，，， 时，；时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以时，，不合题意． 4分 当时，由得， 当，即时，对成立， 所以在上单调递减，所以时，合题意； 5分 当，即时，对成立， 所以在上单调递增， 所以当时，，不合题意． 6分 综上，的取值范围是． 7分 （3）因为 ， 8分 所以要证成立， 只要证成立， 9分 因为，所以只要证成立， 10分 因为，， 所以只要证成立． 12分 记， 则，对成立， 所以在上单调递减， 当时，，所以， 15分 取，由知，从而， 所以成立，故原不等式成立． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁三中2026~2027学年度上学期高三月考（一） 数学试题 2026.9 一、单选题 1．已知复数（为虚数单位），则（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，，，，则（ ） A． B． C． D． 4．图1为元代瓷器白地褐彩龙凤纹罐，高约为，把该瓷器看作两个相同的圆台拼接而成，如图2．圆台的上底直径约为，下底直径约为，忽略其壁厚，则该瓷器的容积约为（ ） A． B． C． D． 5．反比例函数的图象是双曲线，两条坐标轴是它的渐近线，若以其中心为原点，实轴所在的直线为轴，重新建立直角坐标系，则双曲线在新坐标系中的方程为（ ） A． B． C． D． 6．若，则（ ） A． B． C． D． 7．如图，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人，若安排甲、乙两人同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共（ ） A．32种 B．24种 C．20种 D．16种 8．设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，．若，则（ ） A．0 B．6 C．-6 D．5 二、多选题 9．已知圆：，：，则（ ） A．时，和外离 B．时，和有三条公切线 C．若和相交且公共弦所在直线方程为，则 D．若和相交且公共弦长为，则 10．已知等比数列的公比为，前项和为．若，且，，则下列各选项正确的是（ ） A． B． C． D． 11．已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于，两点，为直线上的一动点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A．若为等边三角形，则 B．若，则存在两个不同的点 C．若，，共线，则与轴平行 D．若，，共线，则的最小值为2 三、填空题 12．等差数列满足：，则________． 13．已知函数有两个零点，则实数的取值范围为________． 14．已知球的直径，，，是球球面上的三点，是等边三角形，且，则三棱锥的体积为________． 四、解答题 15．某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示． （1）求的值； （2）从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率； （3）将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取2组，设为续航时间不少于35小时的电池组的数量，求的分布列及数学期望． 16．如图，和都垂直于平面，且，，是的中点． （1）证明：平面； （2）若四棱锥的体积为1，求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 17．记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知，． （1）求的面积； （2）若，求． 18．已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4． （1）求的方程； （2）过点的直线交椭圆于，两点，过点作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点． （ⅰ）若的面积是的面积的两倍，求直线的方程； （ⅱ）求面积的最大值． 19．已知函数，． （1）若是的极值点，求的值并说明是极大值点还是极小值点； （2）若时，，求的取值范围； （3）对的定义域内的任意，，证明： 学科网（北京）股份有限公司 $