精品解析：广西南宁市武鸣高级中学2027届高三上学期9月学情诊断检测数学试题

武鸣高中2027届九月学情诊断检测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 某市一周内的最高气温（单位：）分别为，则这组数据的第一四分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】首先将个最高气温数据按从小到大排序：. 计算第一四分位数对应的位置：， ∵ 不是整数，根据百分位数的计算规则，取大于的最小整数对应的数值，即排序后第个数据，因此这组数据的第一四分位数为. 2. 已知复数满足：，则复数在复平面中对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】对两边同时除以，得， 化简得， 而，可知点位于第四象限，故D正确. 3. 已知命题：，；命题：，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】C 【解析】 【详解】当时，，因此命题：，是真命题； 取，得，因此命题：，是假命题，是真命题， 所以和都是真命题. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求解不等式得出的取值范围，再根据充分性和必要性的定义判断两个条件之间的关系. 【详解】不等式可化为，即. 若成立，一定满足，因此充分性成立； 若满足，不一定满足，因此，必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 5. 某班上午有5节课，现需安排数学课2节，语文课、英语课、物理课各1节，要求两节数学课相邻，语文课和英语课不相邻，则不同的排课方法共有（ ） A. 6种 B. 8种 C. 12种 D. 24种 【答案】C 【解析】 【详解】数学课相邻，采用捆绑法将其看为一个整体，将数学课整体与物理课全排列，共有种， 且排列后形成3个空隙，语文课与英语课要求不相邻，从三个空隙中选两个排入，共有种， 根据分步乘法计数原理，不同排列方法共有种． 6. 已知，且，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件分别求出与的值，再使用正弦和差公式即可求解. 【详解】因为，所以有，即， ， 代入得， 则有. 7. 已知半径为的球O内切于圆台（即球O与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），圆台的上、下底面半径分别为，且，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出轴截面图，由三角形的相似及，求得，再根据圆台的体积公式求解即可. 【详解】如图，这是该几何体的轴截面，其中圆是等腰梯形的内切圆， 设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底面分别相切于点，则, 因为与分别为的平分线， 因此，从而， 故，所以，又因为，所以，故， 故圆台的高为，故圆台的体积为. 8. 现有红、黄、蓝、白4种颜色的颜料可供使用，给四棱锥（如图）的各侧面及底面涂上颜色，要求相邻（有一条公共边）的两面不同色，则恰有两个面涂了红色的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据排列组合方法计算出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，结合古典概型的概率公式可求相应的概率. 【详解】先涂底面，有种涂法，再涂4个侧面， 如果4个侧面用2种颜色，则不同的涂法有种； 如果4个侧面用种颜色，则不同的涂法有； 故相邻（有一条公共边）的两面不同色，共有种不同的涂法. 若相邻（有一条公共边）的两面不同色，则恰有两个面涂了红色， 则这两个面只能是平面、平面或平面、平面. 则此时不同的涂法有种， 设为随机事件“恰有两个面涂了红色”， 则. 二、选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目的，选对部分选项得部分分，有选错的得0分. 9. 设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为2 C. mn的最大值为1 D. 的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本不等式，基本不等式“1”的用法，依次求解判断各选项即可. 【详解】对于A，，当且仅当，即时等号成立，故正确； 对于B，，当且仅当，即时等号成立，故错误； 对于C，，即，所以，当且仅当时等号成立，故正确； 对于D，，即的最小值为2，当且仅当时等号成立，故正确； 10. 已知点，，圆，点P在圆C上运动，点Q满足，其中O为坐标原点.则下列说法正确的是（ ） A. B. 点Q的轨迹方程为 C. 点Q到直线距离的最小值为 D. 的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：利用向量的减法和相等向量的定义求解.选项B：设，，求出，，，由得到，，由在圆：上， 得到的方程，从而得解.选项C：利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离为，则点到直线的最小距离为，计算得解.选项D：利用向量的数量积公式求出，由点的轨迹方程为得到圆心和半径，从而得到的取值范围，继而求出的取值范围，从而得解. 【详解】选项A：因为，可得，即， 所以，则A正确. 选项B：设，，则，，， 因为，所以，，即，， 因为在圆：上， 所以， 因为，，所以， 即，则B正确. 选项C：点的轨迹是圆心为，半径的圆， 因为圆心到直线的距离为， 所以点到直线的最小距离为，则C错误. 选项D：，由选项B知， 点的轨迹方程为，圆心为，半径为， 则的取值范围是，则的取值范围是，则D正确. 11. 已知函数有三个不同的零点，，，其中，则（ ） A. 的取值范围为 B. 存在实数，使得，，成等差数列 C. 的取值范围为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据零点个数，利用导数确定参数范围即可；对于B，根据题意可得，再列方程求解；对于C，易得，结合即可判断；对于D，对进行平方，结合即可求解． 【详解】由已知， 令，解得或， 时，，函数单调递增； 时，，函数单调递减； 时，，函数单调递增； 又函数有三个不同的零点，，， ，解得，故A正确； 由题可知：， 若，，成等差数列，且， ，解得，故B正确； 易得，则，故C错误； 由， 则，故D正确． 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合 ，，则______. 【答案】 ## 【解析】 【分析】先解分式不等式与一元二次不等式得集合，再求交集运算即可. 【详解】不等式， 所以； ， 所以， 所以 13. 的展开式中的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将原式化简得到，得到的通项为，再分别当 ， 时，两种情况讨论即可. 【详解】， 其中的通项为， 当 时，，乘以 ，得到的系数为5； 当 时，，乘以 ，得到的系数为 ； 所以的展开式中的系数为 . 故答案为：. 14. 已知双曲线的左、右焦点为，，点在双曲线的右支上，且，的内切圆半径为，则双曲线的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，直角三角形内切圆半径公式，勾股定理以及双曲线离心率的计算公式，联立方程求出离心率. 【详解】双曲线的左、右焦点为，，点在双曲线的右支上，； ， 的内切圆半径为， ，. ，. ，即； ，即，解得或； 由，得. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的首项，等比数列的首项，公比，且，． （1）求等差数列的公差和等比数列的公比； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）等差数列公差，等比数列公比； （2），。 【解析】 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可； （2）可先由（1）求出数列的通项公式，再利用错位相减求和即可． 【小问1详解】 由题意，可得， 由，可得：， 联立，解得：或 因为， 所以等差数列公差，等比数列公比； 【小问2详解】 由（1）可得，.，故， ， ， 两式相减得： ， 有， 所以． 16. 如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，平面，，，，点是的中点. （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面所成锐二面角的正切值为1，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）因为平面，平面，则， 又因为且，则， 且，且PC、平面，则平面， 又因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，可得平面，即可得面面垂直； （2）设，则，设，，建立空间直角坐标系，根据面面夹角可得，利用空间向量求线面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则，设，， 以为坐标原点，分别以、的方向为轴、轴正方向， 过平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，可得； 平面的法向量可取. 设平面与平面所成的锐二面角为， 则，可知， 可得，解得， 可得，且点是PB的中点，则， 可得，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，可得； 设直线PD与平面所成角为， 则， 所以直线PD与平面所成角的正弦值为. 17. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望； （3）公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 期望 （3）该系统会得到推广，，符合推广要求. 【解析】 【分析】（1）用全概率公式，结合问题清晰、不清晰两种场景的采纳概率计算总采纳概率； （2）判断服从二项分布，计算各取值概率列分布列，用二项分布期望公式求期望； （3）先求个问题采纳次数的期望，推导总得分期望后与阈值比较得结论. 【小问1详解】 记事件为“智能客服的回答被采纳”，事件为“输入的问题表达清晰”，则为“输入的问题表达不清晰”. 由题意得：，所以. 又，. 由全概率公式得： . 所以智能客服的回答被采纳的概率为. 【小问2详解】 由（1）知每次回答被采纳的概率，且各次是否被采纳相互独立，故测试个问题中被采纳的次数服从二项分布，即，的可能取值为. ， ， ， . 则的分布列为： 0 1 2 3 期望. 【小问3详解】 抽取10个问题，设被采纳的次数为，则，总得分. 由期望的性质得：. 因为，满足推广条件，所以该系统会得到推广. 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，且，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于两点． ①若过点，求的最大值； ②设直线，的斜率分别为，，且．问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）① ；②是，定点为 【解析】 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）（i）分直线l斜率为0和不为两种情况，斜率为0时，直接求出，斜率不为时，设直线，再利用根与系数间的关系及弦长公式可得，即可求解；（ii）法一，结合条件，利用椭圆的第三定义，建立等量关系，从而可得，即可求解. 【小问1详解】 由题意可得，得到，又，得到，则， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）若直线l斜率为0，此时，解得M，N两点坐标为，此时， 若直线斜率不为0，不妨设直线，，， 由，消整理得到， 则，，， 又直线过点，故， 此时，易知点在椭圆外，则，正负号一致， ， ， 综上所述，的最大值为． （ⅱ）利用椭圆的第三定义可知，，得， 此时， 即，将，代入， 得到， 整理化简可得，解得或， 当时，直线l经过点，不符合要求，舍去；所以，即直线l恒过定点． 且定点在椭圆内部，直线l与椭圆恒有两个交点，经检验成立． 19. 已知函数，． （1）若是的极值点，求a的值并说明是极大值点还是极小值点； （2）若时，，求a的取值范围； （3）对的定义域内的任意，，证明：． 【答案】（1），是的极大值点． （2） （3）证明：因为， 所以要证成立， 只要证成立， 因为，所以只要证成立， 因为，， 所以只要证成立. 记， 则，对成立， 所以在上单调递减， 当时，，所以， 取，由知，从而， 所以成立，故原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）根据极值点的性质得，求出，判断函数的单调性结合极值的定义判断； （2）求导，讨论函数的单调性，最值，求解的范围； （3）利用分析法将要证不等式转化为，令，记，利用导数判断单调性证明. 【小问1详解】 的定义域为，， 因为是函数的极值点，所以，解得， 当时，， 因为，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点. 【小问2详解】 ， 当时，，， 时，；时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以时，，不合题意. 当时，由得， 当，即时，对成立， 所以在上单调递减，所以时，合题意； 当，即时，对成立， 所以在上单调递增， 所以当时，，不合题意. 综上，a的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武鸣高中2027届九月学情诊断检测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 某市一周内的最高气温（单位：）分别为，则这组数据的第一四分位数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足：，则复数在复平面中对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知命题：，；命题：，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 某班上午有5节课，现需安排数学课2节，语文课、英语课、物理课各1节，要求两节数学课相邻，语文课和英语课不相邻，则不同的排课方法共有（ ） A. 6种 B. 8种 C. 12种 D. 24种 6. 已知，且，则（　　） A. B. C. D. 7. 已知半径为的球O内切于圆台（即球O与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），圆台的上、下底面半径分别为，且，则圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 现有红、黄、蓝、白4种颜色的颜料可供使用，给四棱锥（如图）的各侧面及底面涂上颜色，要求相邻（有一条公共边）的两面不同色，则恰有两个面涂了红色的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目的，选对部分选项得部分分，有选错的得0分. 9. 设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为2 C. mn的最大值为1 D. 的最小值为2 10. 已知点，，圆，点P在圆C上运动，点Q满足，其中O为坐标原点.则下列说法正确的是（ ） A. B. 点Q的轨迹方程为 C. 点Q到直线距离的最小值为 D. 的取值范围是 11. 已知函数有三个不同的零点，，，其中，则（ ） A. 的取值范围为 B. 存在实数，使得，，成等差数列 C. 的取值范围为 D. 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合 ，，则______. 13. 的展开式中的系数为__________. 14. 已知双曲线的左、右焦点为，，点在双曲线的右支上，且，的内切圆半径为，则双曲线的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的首项，等比数列的首项，公比，且，． （1）求等差数列的公差和等比数列的公比； （2）若，求数列的前项和． 16. 如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，平面，，，，点是的中点. （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面所成锐二面角的正切值为1，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立． （1）求智能客服的回答被采纳的概率； （2）在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望； （3）公司为了测试该系统是否值得推广，随机抽取了10个问题，智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广该系统．试推断该系统是否会得到推广，请说明理由． 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，且，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于两点． ①若过点，求的最大值； ②设直线，的斜率分别为，，且．问直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 19. 已知函数，． （1）若是的极值点，求a的值并说明是极大值点还是极小值点； （2）若时，，求a的取值范围； （3）对的定义域内的任意，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $