第2章 特殊三角形（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材浙教版八年级上册

**基本信息** 第2章特殊三角形单元强化卷，120分钟120分，覆盖轴对称、等腰/直角三角形等核心知识，通过AI图标、劳动实践等真实情境，考查几何直观、推理能力与应用意识，适配单元复习培优。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称识别、全等性质、面积平分|第1题结合2025年AI软件图标，考查轴对称，体现时代性| |填空题|6/18|正方形翻折、垂直平分线、等腰三角形周长|第12题通过翻折考查空间观念与推理意识| |解答题|8/72|赵爽弦图、动态最值、平移变换|第24题直线m上动态几何，融合猜想-探究-应用，培养创新意识|

第2章 特殊三角形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D B B A D A C D 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．7 12． 20 40 13． 14．39 15． 16．或或． 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．【答案】(1)至少需要米的篱笆 (2)这块劳动实践基地的总面积为平方米 【分析】（1）在中利用勾股定理求即可； （2）先由勾股定理逆定理证明是直角三角形，即可以为底，为高计算面积，再计算面积，最后把两个面积相加即为总面积． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，， ∵，， ∴； 答：至少需要10米的篱笆；-----------4分 （2）解：∵，，， ，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵， ∴． 答：这块劳动实践基地的总面积为平方米．-----------8分 18．(1)钢丝绳的长度为 (2)钢丝绳增加的长度为 【分析】（1）在中，利用勾股定理求解即可； （2）先求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，， 答：钢丝绳的长度为．-----------4分 （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴钢丝绳增加的长度为， 答：钢丝绳增加的长度为．-----------8分 19．(1) (2) 【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理得出，利用垂直平分线的性质得出，再由等边对等角得出，结合图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质和三角形周长的计算公式进行等量代换计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴；-----------4分 （2）解：∵，，， ∴． ∵， ∴， 即的周长为．-----------8分 20．(1)-----------4分 (2)证明：是等边三角形，为中点， ，，，， ， ， ， ，； ∵，， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， ， ∵， 是等边三角形．-----------8分 【分析】（1）利用等边三角形三线合一求出，结合得到，通过角的差计算 （2）先沿用（1）的结论得到，证明得到，算出；利用三角形内角与邻补角求出，结合判定，最终证明为等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形，为中点， ，，， ， ， ， ； （2）略 21．(1) 证明：∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴．-----------4分 (2)证明： ∵，， ∴，即E为中点． ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴平分．-----------8分 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． （1）证明，即可证明结论； （2）由，，得出，利用垂直平分线的性质，得出，最后利用等腰三角形三线合一的性质，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 22．(1) 证明：∵平分，，， ∴，， ∵于点，为的中点， ∴， ∴；-----------3分 (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线及线段垂直平分线的性质得到相等线段，利用斜边和直角分别对应相等证明两直角三角形全等； （2）由≌可得，再结合≌可得，即可求得的长； （3）利用面积的不同表示方法相等列方程求出它们比值. 【详解】（1）略 （2）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴；-----------6分 （3）解：∵，，， ∴， ， ∴， ∴， ∴.-----------10分 23．(1)56；2； (2) (3)或 (4)或或 【分析】（1）根据平移的性质可得答案； （2）用点P运动的路程减去的长即可得到答案； （3）分两种情况：点P在上和点P在上，讨论求解即可； （4）分三种情况：、和时，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：由平移的性质可得，；-----------2分 （2）解：由题意得，；-----------4分 （3）解：由平移的性质可得， 当点P在上时 ∵，即，且， ∴， ∴当将四边形的周长分成两部分时，只存在这种情况， ∴， 解得； 当点P在上时， 同理可得只存在， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或；-----------7分 （4）解：如图所示，当时，设交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， 由轴对称的性质可得； 如图所示，当时，则，根据，此时， 由轴对称的性质可得； 如图所示，当点P在上，且时，设交于点H， ∵， ∴， 由平移的性质可得， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得； 综上所述，的度数为或或．-----------10分 24．(1)-----------3分 (2)解：不成立，，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴；----------6分 (3)①等腰直角三角形 ②4 【分析】（1）根据“角角边”证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； （2）仿照（1）根据“角角边”证明，可得，再根据解答； （3）①连接，再根据“边角边”证明，可得，然后说明是等腰直角三角形， ②先求出，然后根据勾股定理求出，最后根据可解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：①连接， ∵，且点F是的中点， ∴， ∴． 由（2）知， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形．-----------9分 ②由（2）， 在中，， 即， ∴， ∴． -----------12分 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第2章特殊三角形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.下列是2025年国内人工智能应用排行榜中部分软件图标，其中是轴对称图形的是() 2.如图，CD⊥AD,CB⊥AB,CD=CB,∠BCD=1O0°，则∠BCA的度数是() ◇ B A.40° B.50° C.60° D.75° 3.如图，△AB0和△CD0关于直线P№对称，下列结论不一定正确的是() A.AC⊥P9 B,AC∥BD C.△ABO≌△CDO D.CO=AB 4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=40m,BC=30m,若直线BD平分△ABC的面积，点D在 边AC上，则线段BD的长等于() B 117 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 120 A.23m B.25m C.28m D.5 m 5.如图，四边形ABCD中，若AB=AD,CB=CD,则称四边形ABCD为筝形.筝形一定具有的性质是 A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.两组对边分别平行 D.两组对边分别相等 6.如图，长方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE,过点E作EF⊥AE交CD于点F,若 ∠EFC=70°，则∠BAE的度数是() FC E B A.20° B.30° C.35 D.70° 7.等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”.若等腰△ABC的周长为20， 其中一边长为6，则它的“和谐比”为（) 3 7 46 37 A.4 B.6 C.3或7 D.4或6 8.如图，等腰△ABC的底边BC长为6.面积是24，腰AB的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F. 若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值是() A.11 B.12 C.13 D.14 217 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形(Rt△ADE,Rt△DCH,Rt△CBG,Rt△BAF)与一 个小正方形EFGH组成的一个大正方形ABCD,连接DF交CH于点M,已知正方形ABCD的面积为25， DE=2AE,下列结论正确的是() D M G A.正方形EFGH的面积为4 B.DF2=20 C.M是DF的中点 D.BGCG=15 10.如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N,点M是线段ON上一点.己知 OM=4,ON=6,点D为OA上一点，若满足PD=PM,则OD的长度为() D B A 6 B.4 C.6或8 D.4或8 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.) 11.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB,BC为边向外部作正方形，甲正方形的面积为26，乙 正方形的面积为23，则AC的长为 甲 12.如图，正方形ABCD中，点E是CD上一点，连接AE,将四边形ABCE沿AE所在直线翻折到这个正 方形所在的平面内，点B,C的对应点分别是点G,F,∠BAE=7O°，则∠DAE的度数是 度， ∠FED的度数是 度 317 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G B 13.如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠CAE=∠BAD=50°，BC=DE,则∠ABD的 度数为」 D B 14.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D,交BC于点E.己知 ∠BAE=12°，则∠C的度数为 E 15.如图，△ABC是等腰三角形，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于E,若AB=10cm, 那么△DEB的周长为. cm E 16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点D、E、F分别是BC边、AB边、AC边上的动点， 连接DE、EF、DF,使△BDE≌△FDE,若△AEF是等腰三角形，那么∠BED的度数为 B 417 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形ABCD空地改造成校园劳动实 践基地.为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据.经测量，AD=6米，AB=8米，BC=24米， CD=26米，∠A=90° (1)为方便分区管理，学校计划在B、D两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆. (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持， 18.为了防止电线杆倾斜、倒伏，一般会用钢丝绳将其固定.如图，钢丝绳一端固定在电线杆的点A处， 另一端固定在地面上的点B处，电线杆AC垂直于地面BC.已知AC=8m,BC=6m(钢丝绳不可拉伸， 始终处于紧绷状态)· B (I)求钢丝绳AB的长度. (2)为了提升安全性能，有关部门将钢丝绳与地面的固定点由点B调整为点D(点D在CB的延长线上)， 点A的位置不变.若B,D两点的距离为9m,求钢丝绳增加的长度. 19.如图，AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D. (1)若∠A=40°，求∠DBC的度数： (2)若AB=30cm,BC=18cm,求aDBC的周长， 20.如图，aABC是等边三角形，D是AB的中点，连接CD,过点C作CE⊥BC,过点A作EF∥CD, 517 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CE、EF交于点E,连接DF、BE,BE交CD于点G. E B (I)求∠DCE的大小： (2)求证：△CEG是等边三角形. 21.如图，在R1△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D是AC上一点，过点A作BD的垂线交BD的延 长线于点E,交BC的延长线于F,且BD=2AE.求证： D (1)AF=BD; (2)BD平分∠ABC. 22.如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AB=12,AE=10,E为AC边上一点，点D为∠BAC的平分线 与BC的交点，过点D作DG⊥BE于点G,G为BE的中点，DF⊥AB于点F. E G (I)求证：△CDE≌△FDB: (2)求AF的长： DC (3)求DB· 23.如图，在△ABC中，∠B=68°，∠ACB=56°，BA=BC=2Cm,将△ABC沿BC方向平移至△DCE的 位置，连接AD.点P从点B出发，沿折线BA-AD的方向以每秒1Cm的速度向终点D运动，设点P的运 617 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 动时间为秒 t>0) D (I)∠E=°：AD= cm:AD与BE的位置关系是 (2)当点P在AD上运动（不与点A重合）时，PA的长为 cm,(用含t的代数式表示) (3)连接PC,当PC将四边形ABCD的周长分成12两部分时，求t的值， (④)作点B关于直线PC的对称点B',当点B在直线BE的上方时，连接B'C,当B'C与四边形ABED的边垂 直时，直接写出∠BCP的度数. 24.如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m于点D,CE⊥直线m 于点E D h2 m E B 图1 图2 图3 (1I)观察猜想：线段BD,DE,CE之间的数量关系是 (2)类比探究：如图2所示，当点B,C在直线的同侧，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明： 若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由、 (3)拓展应用：如图3所示，在(2)的条件下，若BD=1,CE=3.点F是BC边的中点，连接DF,EF, ①判断△DEF的形状： ②求△DEF的面积. 717 第2章 特殊三角形（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列是2025年国内人工智能应用排行榜中部分软件图标，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能互相重合，故是轴对称图形，符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意． 2．如图，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，由可判定，由全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 故选：B． 3．如图，和关于直线对称，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴，，，故A，C正确； ∴，故B正确； 根据已知条件无法得到，故D不一定正确． 4．如图，在中，，，，若直线平分的面积，点在边上，则线段的长等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出，再根据直线平分的面积得到,最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行解答即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴ 设中，边上的高为， ∵直线平分的面积，点在边上， ∴ ∴, ∴． 5．如图，四边形中，若，则称四边形为筝形．筝形一定具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．两组对边分别平行 D．两组对边分别相等 【答案】B 【分析】连接，交于点，利用线段垂直平分线的判定定理即可得出结论. 【详解】解：连接，交于点， ∵， ∴， ∴正确，错误. 6．如图，长方形中，点是边上一点，连接，过点作交于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用长方形的性质得出直角，结合垂直定义利用同角的余角相等求出，最后在直角三角形中求解． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，． 7．等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，则它的“和谐比”为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分已知边长为腰长和底边长两种情况讨论，验证三边关系后，根据“和谐比”的定义计算即可． 【详解】解：等腰的周长为，一边长为， ∴分两种情况讨论： 当为腰长时，底边长为， ， ∴满足三角形三边关系， 依题意，和谐比； 当为底边长时，腰长为， ， ∴满足三角形三边关系， 依题意，和谐比； 综上：等腰的“和谐比”为或， 8．如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值是（     ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【分析】连接，，由题意得的周长为，其中为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到A，B关于对称，得到，当A，M，D三点共线时，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，且为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 如图，连接，， 由题意可得A，B关于对称， ∴， ∴当A，M，D三点共线时，， 在等腰中，点D为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为． 9．如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（，，，）与一个小正方形组成的一个大正方形，连接交于点，已知正方形的面积为，，下列结论正确的是（     ） A．正方形的面积为 B． C．是的中点 D． 【答案】C 【分析】设，则，由题意及勾股定理列方程求出即可判断A、B；结合三角形全等的判定与性质即可判断C；结合前面的推导得出，直接计算即可判断D． 【详解】解：A、设，则， 在中，， 正方形的面积为， ，则， 解得， 四个相同的直角三角形（，，，）， ， 则正方形的面积为，选项结论错误； B、在中，，选项结论错误； C、在正方形中，，则， ， ， 由A的推导过程可知，则， ，即是的中点，选项结论正确； D、由前面的求解过程可知，，则，选项结论错误． 10．如图，点是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点．已知，，点为上一点，若满足，则的长度为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】如图，过点作于点，由角平分线的性质得，，证明得，而，则，证明得，再分两种情况讨论，一是点在线段上，则，二是点在线段的延长线上，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵点是的角平分线上一点，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点为上一点，点是线段上一点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 如图1，点在线段上， 此时； 如图2，点在线段的延长线上， ， 此时， 综上所述，的长度为或． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，在中，，分别以为边向外部作正方形，甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23，则的长为___________． 【答案】7 【分析】由正方形的面积公式得到，据此由勾股定理可得答案． 【详解】解：∵甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23， ∴， 在中，， ∴由勾股定理得， ∴或（舍去）． 12．如图，正方形中，点是上一点，连接，将四边形沿所在直线翻折到这个正方形所在的平面内，点，的对应点分别是点，，，则的度数是_________度，的度数是_________度． 【答案】 20 40 【分析】先得出，再根据角的和差即可得的度数；先得出和的度数，再得出的度数，然后根据求解即可． 【详解】解：在正方形中，， ∵， ∴． ∵在正方形中，， ∴，， 由折叠的性质可知，， ∴． 13．如图，在与中，，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据题意可得，利用证明，得出，再利用等腰三角形性质和三角形内角和定理求解． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ． 14．如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点．已知，则的度数为________°． 【答案】 39 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出的度数；根据线段垂直平分线的性质得出，利用等边对等角得到；最后利用三角形的外角性质得出，从而求解． 【详解】解：，， 是的垂直平分线， 是的外角， ． 15．如图，是等腰三角形，，是的角平分线，于，若cm，那么的周长为______． 【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的定义可得，，根据角平分线的定义得，证明得到，即可求解． 【详解】解：是等腰三角形，， ，， 是的角平分线，于， ， 在和中， ， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 16．如图，在中，，，点、、分别是边、边、边上的动点，连接、、，使，若是等腰三角形，那么的度数为____________． 【答案】或或． 【分析】分三种情况：当时，再根据等边对等角得，进而求出，然后根据，可得；当时，当时，仿照上述解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 分三种情况：当时， ∴， ∴． ∵， ∴； 当时， ∴， ∴． ∵， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 所以的度数为或或． 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，． (1)为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆． (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持． 【答案】(1)至少需要米的篱笆 (2)这块劳动实践基地的总面积为平方米 【分析】（1）在中利用勾股定理求即可； （2）先由勾股定理逆定理证明是直角三角形，即可以为底，为高计算面积，再计算面积，最后把两个面积相加即为总面积． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，， ∵，， ∴； 答：至少需要10米的篱笆； （2）解：∵，，， ，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵， ∴． 答：这块劳动实践基地的总面积为平方米． 18．为了防止电线杆倾斜、倒伏，一般会用钢丝绳将其固定．如图，钢丝绳一端固定在电线杆的点处，另一端固定在地面上的点处，电线杆垂直于地面．已知，（钢丝绳不可拉伸，始终处于紧绷状态）． (1)求钢丝绳的长度． (2)为了提升安全性能，有关部门将钢丝绳与地面的固定点由点调整为点（点在的延长线上），点的位置不变．若，两点的距离为，求钢丝绳增加的长度． 【答案】(1)钢丝绳的长度为 (2)钢丝绳增加的长度为 【分析】（1）在中，利用勾股定理求解即可； （2）先求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，， 答：钢丝绳的长度为． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴钢丝绳增加的长度为， 答：钢丝绳增加的长度为． 19．如图，，的垂直平分线交于点D． (1)若，求的度数； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理得出，利用垂直平分线的性质得出，再由等边对等角得出，结合图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质和三角形周长的计算公式进行等量代换计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴． ∵， ∴， 即的周长为． 20．如图，是等边三角形，是的中点，连接，过点作，过点作，、交于点，连接、，交于点． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)证明：是等边三角形，为中点， ，，，， ， ， ， ，； ∵，， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， ， ∵， 是等边三角形． 【分析】（1）利用等边三角形三线合一求出，结合得到，通过角的差计算 （2）先沿用（1）的结论得到，证明得到，算出；利用三角形内角与邻补角求出，结合判定，最终证明为等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形，为中点， ，，， ， ， ， ； （2）略 21．如图，在中，，，点是上一点，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于，且．求证： (1)； (2)平分． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． (2)证明： ∵，， ∴，即E为中点． ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴平分． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． （1）证明，即可证明结论； （2）由，，得出，利用垂直平分线的性质，得出，最后利用等腰三角形三线合一的性质，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 22．如图，已知在中，，，，为边上一点，点为的平分线与的交点，过点作于点，为的中点，于点． (1)求证：≌； (2)求的长； (3)求． 【答案】(1) 证明：∵平分，，， ∴，， ∵于点，为的中点， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线及线段垂直平分线的性质得到相等线段，利用斜边和直角分别对应相等证明两直角三角形全等； （2）由≌可得，再结合≌可得，即可求得的长； （3）利用面积的不同表示方法相等列方程求出它们比值. 【详解】（1）略 （2）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形判定和性质、三角形的面积等知识点；关键是通过全等找线段的等量关系，利用面积相等求线段长. 23．如图，在中，，，，将沿方向平移至的位置，连接．点从点出发，沿折线的方向以每秒的速度向终点运动，设点的运动时间为秒． (1)_________；_________；与的位置关系是_________． (2)当点在上运动（不与点重合）时，的长为_________．（用含的代数式表示） (3)连接，当将四边形的周长分成两部分时，求的值． (4)作点关于直线的对称点，当点在直线的上方时，连接，当与四边形的边垂直时，直接写出的度数． 【答案】(1)56；2； (2) (3)或 (4)或或 【分析】（1）根据平移的性质可得答案； （2）用点P运动的路程减去的长即可得到答案； （3）分两种情况：点P在上和点P在上，讨论求解即可； （4）分三种情况：、和时，分别画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：由平移的性质可得，； （2）解：由题意得，； （3）解：由平移的性质可得， 当点P在上时 ∵，即，且， ∴， ∴当将四边形的周长分成两部分时，只存在这种情况， ∴， 解得； 当点P在上时， 同理可得只存在， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或； （4）解：如图所示，当时，设交于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， 由轴对称的性质可得； 如图所示，当时，则，根据，此时， 由轴对称的性质可得； 如图所示，当点P在上，且时，设交于点H， ∵， ∴， 由平移的性质可得， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得； 综上所述，的度数为或或． 24．如图1，在中，，，直线m经过点A，直线m于点D，直线m于点E． (1)观察猜想：线段，，之间的数量关系是________． (2)类比探究：如图2所示，当点B，C在直线m的同侧，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用：如图3所示，在（2）的条件下，若，．点F是边的中点，连接，． ①判断的形状； ②求的面积． 【答案】(1) (2)解：不成立，，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴； (3)①等腰直角三角形 ②4 【分析】（1）根据“角角边”证明，再根据全等三角形的对应边相等得出答案； （2）仿照（1）根据“角角边”证明，可得，再根据解答； （3）①连接，再根据“边角边”证明，可得，然后说明是等腰直角三角形， ②先求出，然后根据勾股定理求出，最后根据可解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：①连接， ∵，且点F是的中点， ∴， ∴． 由（2）知， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． ②由（2）， 在中，， 即， ∴， ∴． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $