第15讲 角（6.5～6.8）专题训练 2026--2027学年浙教版七年级数学上册

第6章 图形的初步知识　第15讲 角(6.5~6.8) 第6章 图形的初步知识 第15讲 角(6.5~6.8) 专题训练 A组 1. 下列说法中正确的是（　　） A. 两个锐角的和是钝角 B. 一个钝角与一个锐角的差是直角 C. 大于直角的角是钝角 D. 钝角一定大于锐角 2. 如图，能用∠AOB, ∠O, ∠1 三种方法表示同一个角的图形的是（　　） 3. 已知，那么它们的大小关系为（　　） A. ∠C>∠B>∠A B. ∠A>∠B>∠C C. ∠B>∠A>∠C D. ∠C>∠A>∠B 4. 如图，OA 是北偏东 方向的一条射线，若，则 OB 的方位角是（　　） A. 西北方向 B. 北偏东 C. 北偏西 D. 北偏东 5. 已知： ①∠AOB=2∠AOM； ②； ③；④∠AOM+∠BOM=∠AOB。其中能够得到射线 OM 是∠AOB 的平分线的有（　　） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 6. 如图，图中能用一个大写字母表示的角是＿＿＿；以 A 为顶点的角有＿＿＿个，它们分别是＿＿＿。 7. 如图，一棵小树生长时与地面所成的角，它的根深入泥土，如果根和小树在同一条直线上，那么∠2 等于＿＿＿。 8. 已知 α, β 都是钝角，甲、乙、丙、丁计算的结果依次为 ，其中包含正确的结果，那么你认为正确的结果是＿＿＿。 9. 钟面上 3 点 20 分时，时针与分针的夹角度数是＿＿＿。 10. 如果∠α 和∠β 互补，且∠α>∠β，那么下列式子中： ①； ②； ③；④。可以表示∠β 的余角的有＿＿＿。（填序号） 11. 计算： ； ； ″÷5； ″″×3。 12. 解答下列各题： (1)如图，在∠AOB 中，以 O 为顶点引射线，填表： (2)若∠AOB 内射线的条数是 n，请用关于 n 的式子表示出上面的结论。 13. (1)如果一个角的补角是这个角的余角的 4 倍，求这个角的度数。 (2)已知∠α 与∠β 互为补角，且∠β 的比∠α 大 ，求∠α 的余角。 B组 14. 如图，将一张长方形纸片 ABCD 沿 BD 折叠后，点 C 落在点 E 处，BE 交 AD 于点 F，再将三角形 DEF 沿 DF 折叠后，点 E 落在点 G 处，若 DG 刚好平分∠ADB，则∠EDF 的度数是（　　） 15. 如图， 平分∠AOD，下列四个等式： ①； ②∠DOC=2∠BOC； ③；④∠COD=3∠COB。其中正确的是（　　） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 16. 如图，，自点 O 引射线 OC，若∠AOC:∠COB=2:3，则 OC 与∠AOB 的平分线所成的角的度数为＿＿＿。 17. (1)如图 1，将一副三角板（）的直角顶点 C 叠放在一起，边 CD 与 BE 相交。 ①若，则∠ACB=＿＿＿；若，则∠DCE=＿＿＿； ②猜想∠ACB 与∠DCE 的数量关系。直接写出答案，无需证明。 (2)如图 2，若两把相同的三角尺的 锐角的顶点 A 重合在一起，边 CD 与 AE 相交，则∠DAB 与∠CAE 有何数量关系？请说明理由。 18. 图 1 中的水车是一种古老的提水灌溉工具，图 2 是它的示意图，水车的主体是一个圆形，且被等分成了 8 份，三角形 OAB 是水车的支架，。水车的支架固定不动，水车的主体可绕着圆心 O 旋转。 (1)求∠COD 的度数。 (2)在图 2 中，若 OC 平分∠AOB，求∠BOD 的度数。 (3)在水车的旋转过程中，设∠BOD 的度数为 ，直接写出∠AOC 的度数（用含 x 的代数式表示）。 19. 定义：如果有三个角 α, β, γ，满足 ，则称 γ 是 α 和 β 的“减余角”。 (1)已知，若∠3 是∠1 和∠2 的“减余角”，则∠3=＿＿＿。 (2)现有一张正方形纸片 ABCD，如图 1 所示，E 为线段 BC 上一点（不与点 B, C 重合）。连结 AE，将纸片沿着 AE 对折，使点 B 落在正方形纸片的内部且对应点为 B′。 ①若∠B′EC 是∠AEB 和∠AEB′ 的“减余角”，求∠AEB 的度数； ②再将此正方形纸片沿着 B′E 所在直线对折，使点 C 落在正方形纸片的内部且对应点为 C′，如图 2 所示。是否存在∠AEB, ∠AEC′, ∠B′EC 中的一个角是其他两个角的“减余角”？若存在，请求出∠AEB 的度数；若不存在，请说明理由。 C组 20. 如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1=α, ∠2=β，那么∠3 的度数是（　　） D. α-β 21. 如图，在同一平面内， 为 OE 反向延长线上一点（图中所有角均指小于 的角）。下列结论： ①∠AOE=∠DOE； ②； ③；④OA 绕点 O 顺时针旋转一周，其他条件都不变，若∠FOD:∠EOC=1:6，则或 。其中一定正确的结论有（　　） A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 22. 如图，C 为直线 AB 上一点，∠DCE 为直角，CF 平分∠ACD, CH 平分∠BCD, CG 平分∠BCE，则∠ACF-∠BCG=＿＿＿。 23. 如图 1，O 为直线 AB 上一点，过 O 点作射线 OC，使，将一直角三角板的直角顶点放在点 O 处，一边 OM 在射线 OB 上，另一边 ON 在直线 AB 的下方。 (1)如图 2，将图 1 中的三角板绕点 O 逆时针旋转，使边 OM 在∠BOC 的内部，且 OM 恰好平分∠BOC，此时∠AOM=＿＿＿度；∠BON=＿＿＿度。 (2)如图 3，继续将图 2 中的三角板绕点 O 按逆时针方向旋转，使得 ON 在∠AOC 的内部。试探究∠AOM 与∠NOC 之间满足什么等量关系，并说明理由。 (3)将图 1 中的三角板绕点 O 以每秒 的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若直线 ON 恰好平分∠AOC，则此时三角板绕点 O 旋转的时间是多少秒？ (4)将图 1 中的三角板绕点 O 以每秒 的速度按逆时针方向旋转，同时射线 OC 绕点 O 以每秒 的速度按逆时针方向旋转，旋转 30 秒后都停止。在旋转的过程中，若直线 ON 恰好平分∠AOC，则此时三角板绕点 O 旋转的时间是＿＿＿秒。（直接写出答案） 24. 【材料阅读】 “数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法。 如图 1，数轴上的点 A 表示的数为 a，B 表示的数为 b，且。C 是线段 AB 的中点。 (1)点 C 表示的数是＿＿＿。 (2)若动点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点 N 从点 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向左运动，点 M, N 同时出发，当点 N 到达点 A 时，两动点的运动同时停止。设运动时间为 t 秒，则： ①点 M, N 表示的数分别是＿＿＿，＿＿＿；（用含 t 的代数式表示） ②若在运动过程中，存在 CM=3CN，请求出 t 的值。 【方法迁移】 (3)我们发现角的很多运算方法和线段一样，如图 2， 平分∠AOB。射线 OM 从 OA 出发，以每秒 的速度绕点 O 顺时针旋转，射线 ON 从 OB 出发，以每秒 的速度绕点 O 逆时针旋转。射线 OM, ON 同时出发，当 ON 到达 OA 时，运动同时停止。设旋转时间为 t 秒，若在运动过程中，存在某些时刻，使得∠COM 和∠CON 两个角中，其中一个角是另一个角的 3 倍，请求出所有符合题意的 t 的值。 参考答案 A组 1. D 2. D 3. A 4. C 5. B 6. ∠B, ∠C 6 ∠CAD, ∠CAE, ∠CAB, ∠DAE, ∠DAB, ∠EAB 7. 8. 9. 10. ①②④ 11. 。 。 ″″。 ″″″″″。 12. (1)填表如下： (2)当 n=1 时，角的总个数为 1+2=3；当 n=2 时，角的总个数为 1+2+3=6；当 n=3 时，角的总个数为 1+2+3+4=10；当 n=4 时，角的总个数为 1+2+3+4+5=15；当 n=n 时，角的总个数为 ，即∠AOB 内射线的条数是 n 时，角的总个数为。 13. (1)设这个角为 ，则这个角的补角的度数为 ，它的余角的度数为 ，根据题意，得 180-x=4(90-x)，解得 x=60，故这个角的度数是 。 (2)设，则∠β 的度数是 ，根据题意得，解得 x=57，则。所以∠α 的余角为 。 B组 14. A 15. C 16. 或 17. (1)①若，因为，所以。因为，所以；若，因为，所以。因为，所以。故答案为 ；。 ②。 。理由如下：因为，所以。 18. 。 (2)因为 平分∠AOB，所以，所以。 (3)当 OC 在∠AOB 内部，OD 在∠AOB 外部时，因为，所以，所以；当 OC 在∠AOB 外部时，同理可求或 ；当 CO, OD 都在∠AOB 内部时，。综上所述，∠AOC 的度数为 或 或 。 19. (1)因为∠3 是∠1 和∠2 的“减余角”，所以，所以。故答案为 。 (2)①因为∠B′EC 是∠AEB 和∠AEB′ 的“减余角”，所以。因为，所以 ，所以，由对折得∠AEB=∠AEB′，所以。 ②存在∠AEB, ∠AEC′, ∠B′EC 中的一个角是其他两个角的“减余角”。由对折设∠B′EC′=∠B′EC=α, ∠AEC′=β，所以∠AEB=α+β。当时，，所以 ，由平角，所以 ，所以 ，所以。当时，，所以 ，由平角，所以 ，所以。综上所述，或 。 C组 20. A 21. C 22. 23. (1)因为 OM 平分∠BOC，所以，所以。故答案为 120；30。 。理由如下：因为，所以，所以，所以。又因为，所以，即。 (3)设三角板绕点 O 旋转的时间是 x 秒，因为，所以。当直线 ON 恰好平分∠AOC 时， ①线段 ON 在 OB 下方时，，此时旋转 ； ②线段 ON 在∠AOC 内部时，，此时旋转 。所以 12x=60 或 12x=240，解得 x=5 或 x=20。故此时三角板绕点 O 旋转的时间是 5 或 20 秒。 (4)运动时间为 m 秒时，直线 ON 恰好平分∠AOC，所以，当 ON 在∠AOC 外部时，如图 1，因为直线 NH 平分∠AOC，所以，所以，所以此时的旋转角度为 ，所以 12m=60+m，解得 ；当 ON 在∠AOC 内部时，如图 2，因为 ON 恰好平分∠AOC，所以，所以此时旋转的角度为 ，所以 12m=240+m，解得 。综上所述，当直线 ON 恰好平分∠AOC，此时三角板绕点 O 旋转的时间是秒或秒。故答案为或。 24. (1)因为，所以 a=-2, b=8，所以点 A 表示的数为 -2，点 B 表示的数为 8，AB=8-(-2)=10。因为 C 是线段 AB 的中点，所以 ，所以点 C 表示的数是 -2+5=3。故答案为 3。 (2)①-2+t 8-2t ②因为点 N 到达点 A 时只需用时 10÷2=5(秒)，所以易知点 M 在线段 AC 上，所以 CM=3-(-2+t)=5-t, CN=|8-2t-3|=|5-2t|。因为 CM=3CN，所以 5-t=3|5-2t|，所以 t=2 或 。 (3)因为 平分∠AOB，所以。当 OM 与 ON 相遇时，t+2t=80，解得 。因为射线 ON 到达 OA 只需用时 80÷2=40(秒)，所以射线 OM 最多到达 OC。当 0<t<20 时，ON 在∠COB 内部，，如图 1，显然∠COM>∠CON，所以∠COM=3∠CON，即 40-t=3(40-2t)，解得 t=16。当 时，ON 在∠COM 内部，，如图 2，显然∠COM>∠CON，所以∠COM=3∠CON，所以 40-t=3(2t-40)，解得 。当 时，ON 在∠AOM 内部，，如图 5，显然∠CON>∠COM，所以∠CON=3∠COM，所以 2t-40=3(40-t)，解得 t=32。综上所述，t 的值为 16 或或 32。 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $