2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册期中考试自测卷（上海专用）

2026-2027学年九年级第一学期数学期中自测卷 （上海专用）（解析版） 1．D 【难度】0.94 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般式的表示，掌握二次函数的定义是关键． 二次函数的一般式为，由此判定即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， ∴， 解得，， 故选：D ． 2．C 【难度】0.85 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】利用平行线的判定即可求得答案． 【详解】解：A、根据有，结合则，故本选项不符合题意； B、根据和则有，故本选项不符合题意； C、由不能判定，故本选项符合题意； D、根据有，结合则，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握判定条件是关键． 3．C 【难度】0.65 【知识点】列二次函数关系式 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 4．A 【难度】0.65 【知识点】黄金分割 【分析】根据题中黄金分割点定义，在图（1）中令，设，，即，解得，从而，得到黄金分割比由点分别是线段的黄金分割点，可知，，，则，，，根据，代入求解即可得到，，． 【详解】解：如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点， 令，设，则，则由，代值得，解得， ， ， 点分别是线段的黄金分割点， ，，， ，，， 将，代入求解即可得到，，， 故选：A． 【点睛】本题查处黄金分割点定义，涉及黄金分割比求解及利用黄金分割比求线段长，读懂题意，理解黄金分割点定义得到比例是解决问题的关键． 5．A 【难度】0.4 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】先求出直线与x轴的交点，根据点B在直线下方得出B点横坐标的范围，进而得到抛物线对称轴的位置，再判断各选项说法即可． 【详解】解：令直线中，得， 即直线与x轴交点为． 点是抛物线与x轴的交点， 点的纵坐标为，设， 点在直线下方， ，即． 抛物线与x轴交于，两点， 抛物线对称轴为直线. ， ，即对称轴在y轴左侧， 抛物线顶点的横坐标小于， 第四象限内点的横坐标大于， 抛物线的顶点不可能在第四象限，A选项说法正确； 的正负不确定， 抛物线开口方向无法确定，B选项说法错误； 联立抛物线与直线解析式，整理得， 其判别式， 当时，的符号不确定，交点个数不确定，C选项说法错误； 抛物线对称轴在y轴左侧， 对称轴不可能在y轴右侧，D选项说法错误． 6．敏敏 【难度】0.94 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得，，即可求解；理解定义：“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．” 是解题的关键． 【详解】解：是二次函数， ， 解得，， 又， 即， ， 故敏敏正确． 7．2． 【难度】0.85 【知识点】列二次函数关系式 【分析】求的值，即是求当时，的值，从而进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了函数在某一点的函数值，解题的关键是把该点的值代入函数解析数进行运算求解． 8． 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解求解即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，该抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴由图像可知，方程的解是． 9． 【难度】0.85 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查的是相似多边形的性质．根据相似多边形的周长比求出相似比，再根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方计算． 【详解】解：两个相似多边形的周长之比为， 它们的相似比为， 则它们的面积之比为， 故答案为：． 10． 【难度】0.7 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】由平行四边形的性质可得，，于是可证得，然后由相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ∴． 11．/4.8 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】通过四边形EFGH为矩形推出，因此△AEH与△ABC两个三角形相似，将AM视为△AEH的高，可得出，再将数据代入即可得出答案． 【详解】∵四边形EFGH是矩形， ∴， ∴， ∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高， ∴， ∴， ∵， 代入可得：， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键． 12．6 【难度】0.65 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，根据顶点到的距离是1.08分米，进而求出点的纵坐标为，代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴， ∵顶点到的距离是1.08分米， ∴点的纵坐标为， 当时，， ∴、两点之间的距离是（分米）； 故答案为：6． 13． 【难度】0.65 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质：掌握二次函数的增减性成为解题的关键． 先确定抛物线的对称轴和开口方向，然后根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：∵点都在二次函数的图像上， ∴二次函数图像的开口方向向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 14． 【难度】0.65 【知识点】其他问题(旋转综合题)、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了旋转变化，解直角三角形，求点的运动轨迹，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据旋转角度画出图形，在变化的过程中，Q点从点运动到与垂直时，与的交点处，进行计算即可得到答案． 【详解】解：当从到的变化过程中，如图所示， ， ， 当时，点从点开始向方向运动， 当时，的移动到最大距离， 此时， 在中，， ， ， 当时，点开始离开点向点方向运动， 当时，点停止运动， 在中，， ， 点返回运动的路径长为， 点Q移动的路径长为， 故答案为：． 15． 【难度】0.4 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】解直角三角形得出米，米，从而得出，求出r的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：米，米， 在中，，即米， 在中，，即米， ∴， 解得：， ∴米， ∴旗杆的高度为米． 16． 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、折叠问题、用勾股定理解三角形、求角的余弦值 【分析】连接EB、EG，根据折叠得出，得出EG=EB，故点G在以点E为圆心，EG为半径的一段弧上，当点G在AC上时，AG最小，画出图形，过点F作FH⊥AC，先证明，得出，解得，，根据，得出． 【详解】解：连接EB、EG，如图所示： 根据折叠可知，BD=GD，∠BDE=∠GDE，DE=DE， ∴（SAS）， ∴EG=EB， ∵EB的长固定不变， ∴EG的长固定不变， ∴点G在以点E为圆心，EG为半径的一段弧上， ∴当点G在AC上时，AG最小，过点F作FH⊥AC，如图所示： 根据折叠可知，CE=EF=1，GF=BC=，∠GFE=∠BCE=90°， ∴， ，， ∴， ， 即， 解得：，， ∴， ， ∵EF=EC， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角函数的定义，根据题意得出点G在以点E为圆心，EG为半径的一段弧上，当点G在AC上时，AG最小，是解题的关键． 17． 【难度】0.4 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】如图所示，作，使，，再延长到点D，使，连接，可证，设，则，，，再由进行求解即可．本题主要考查了解直角三角形，三角形外角的性质，等边对等角，正确理解题意构造的角是解题的关键． 【详解】解：如图，作，使，，再延长到点D，使，连接， 则， 又， ， 设，则，， ， ， 在中，． 18． 【难度】0.65 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，牢记特殊角的三角函数值成为解题的关键． 先根据特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 19．44 【难度】0.85 【知识点】比例的性质 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．设，则，再代入可求出的值，从而可得的值，代入计算即可得． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 20．(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)是 (5)是 (6)不是 【难度】0.94 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据二次函数的概念求解即可． 【详解】（1），没有二次项，故不是二次函数； （2），符合，故是二次函数； （3），不是整式，故不是二次函数； （4），符合，故是二次函数； （5），符合，故是二次函数； （6），没有二次项，故不是二次函数． 【点睛】本题考查了二次函数的概念，判断一个函数是否是二次函数，关键看是否符合的形式． 21．证明：，，，， ，， ∴， 又， ． 【难度】0.65 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】对应边成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形，由此证明即可． 【详解】略 22．（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）＝； （3） 【难度】0.65 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）证明，即可得证； （2）证明四边形是矩形，得出，，再证明，即可得解； （3）过点C作于点N，交的延长线于点M，连接，证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，证明，得出．设，则，设，则，由勾股定理可得，再证明，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：过点N作于点H， ， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：过点C作于点N，交的延长线于点M，连接， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则，设，则， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得 (舍去)， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．(1) (2) ， 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3)4 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答； （2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可； （3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）问题发现：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）变式探究：略 （3）解决问题：如图3，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵Q是正方形的中心， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则 ， 在中，，即， 解得，（舍去），， ∴正方形的边长为：． 24．（1）直线AB的解析式为：；（2）6；（3）4 【难度】0.4 【知识点】面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）将的横坐标分别代入求出生意人y的值，得到A，B点坐标，再运用待定系数法求出直线AB的解析式即可； （2）求出OC的长，根据“”求解即可； （3）分点P在直线AB的上方和下方两种情况根据分割法求解即可． 【详解】解：（1）∵A，B是抛物线上的两点， ∴当时，；当时， ∴点A的坐标为（-2，1），点B的坐标为（4，4） 设直线AB的解析式为， 把A，B点坐标代入得 解得， 所以，直线AB的解析式为：； （2）对于直线AB： 当时， ∴ ∴==6 （3）设点P的坐标为（，） ∵的面积等于的面积的一半， ∴的面积等于=3， ①当点P在直线AB的下方时，过点A作AD⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，垂足分别为D，F，E，连接PA，PB，如图， ∵ ∴ 整理，得， 解得，， ∴在直线AB的下方有两个点P，使得的面积等于的面积的一半； ②当点P在直线AB的上方时，过点A作AD⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，过点B作BE⊥x轴，垂足分别为D，F，E，连接PA，PB，如图， ∵ ∴ 整理，得， 解得，， ∴在直线AB的上方有两个点P，使得的面积等于的面积的一半； 综上，函数的图像上存在点，使得的面积等于的面积的一半，则这样的点共有4个， 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了运用待定系数法示直线解析式，二次函数与图形面积，注意在解决（3）问时要注意分类讨论． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级第一学期数学期中自测卷 （上海专用）（原卷版） （建议用时：100分钟，满分150分） 学生注意： 1．本试卷含三个大题，共24题；没有特殊说明，几何题均视为在同一个平面内研究问题． 2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 测试范围：沪教版（五四制）九年级上册第一章，第二章 1、 选择题（本大题共5题，每题4分，满分20分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．在中，点分别在的延长线上，已知，下列各式不能判定的是（    ） A． B． C． D． 3．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 4．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点．如图（2），点分别是线段的黄金分割点，（），若，则的长是（　　） A． B． C． D． 5．已知抛物线（、、为常数，且）与轴交于，两点，且点在直线的下方，则下列说法正确的是（     ） A．抛物线的顶点不可能在第四象限 B．抛物线的开口一定向上 C．抛物线与直线一定有两个交点 D．抛物线的对称轴可能在y轴右侧 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 6．如果是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是________． 7．已知，则___________ 8．二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 9．两个相似多边形的周长之比为，则它们的面积之比为______． 10．如图，平行四边形中，E是边上的点，交于点F，如果，那么__________． 11．如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________． 12．如图，左侧是一把撑开的雨伞，右侧是其直截面示意图，伞面的轮廓可以看作是一条抛物线，在图示的坐标系中，其表达式为，点、在抛物线上，且关于轴对称，若顶点到的距离是1.08分米，那么、两点之间的距离是_________分米．    13．已知点都在二次函数的图像上，那么的大小关系是：______．（填“”、“”或“”） 14．如图1，含和角的两块三角板和叠合在一起，边与重合，cm，点为边的中点，边与相交于点，现将三角板绕点按逆时针方向旋转角度（如图2），设边与相交于点Q，则当从到的变化过程中，点Q移动的路径长为______． 15．小明在一个广场上测量旗杆的高度，他在水平面上以旗杆的底部点为圆心，用软尺画得一个半径为（单位：米）的圆，小明站在圆上测得旗杆的仰角为，然后将圆的半径扩大到（单位：米），此时站在圆上测得旗杆的仰角为，小明的眼睛距离地面的高度为米，则旗杆的高度为_____米．（请直接用无理数表示） 16．如图，在中，，，，点D在边上，点E在边上，，将四边形沿直线翻折，得到四边形，点B的对应点为点G，连接，，当最小时，的值为___________． 17．新定义  如图，图中提供了一种求的方法．作，使，，再延长到点D，使，连接，即可得．如果设，则可得，则．用以上方法，则________． 三、填空题（本大题共7题，第17-19题每题8分，第20-23题每题12分，第24题14分，满分86分） 18．计算：． 19．已知，，求的值． 20．判断下列函数是否是二次函数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 21．如图，已知：四边形的对角线与相交于点，，，，．求证：与是相似三角形． 22．【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，且AE⊥DF，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，在矩形中，，，点E在边上，点M，N分别在边，上，且，求的值； 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点E，F分别在边，上，且，垂足为G，求的值． 23．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，连接，与的数量关系是 ； (2)变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长． 24．如图，点在函数的图像上．已知的横坐标分别为－2、4，直线与轴交于点，连接． （1）求直线的函数表达式； （2）求的面积； （3）若函数的图像上存在点，使得的面积等于的面积的一半，则这样的点共有___________个． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $