精品解析：天津市南开区育贤中学2026-2027学年八年级上学期9月学情自测数学 试题

天津市育贤中学2026-2027第一学期第一次阶段性质量检测 一、单选题．（本题共12小题，每题3分，共36分．） 1. 下列各组中的两个图形属于全等形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等形的定义，关键是理解全等形需要形状和大小都完全相同，能够完全重合． 【详解】解：根据全等形的定义，能够完全重合的两个图形是全等形，即形状和大小都完全相同． 选项A中，一个是圆形，一个是方形，形状不同，不是全等形； 选项B中，一个是六边形，一个是五边形，形状不同，不是全等形； 选项C中，两个三角形大小不同，不是全等形； 选项D中，两个心形的形状和大小都完全相同，能够完全重合，是全等形； 故选：D． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 三条线段组成的图形叫三角形 B. 三角形的角平分线是射线 C. 任何一个三角形都有三条高、三条中线和三条角平分线 D. 三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查对三角形定义，三角形的角平分线、中线、高等知识点的理解和掌握，能熟练地运用定义进行说理是解此题的关键．根据三角形定义，三角形的角平分线、中线、高的定义判断即可． 【详解】解：A、由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接作出的图形叫三角形，故A错误； B、三角形的角平分线是线段，故B错误； C、任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，故C正确； D、三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以是三角形的直角顶点，故D错误； 故选：C． 3. 为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 三角形的稳定性 D. 三角形两边之和大于第三边 【答案】C 【解析】 【分析】首先确定斜拉木条后木框形成的新的几何图形．因为钉斜拉木条的目的是防止木框变形，即提升结构的稳定性，所以对应寻找该几何图形的相关性质，匹配选项中对应的几何原理． 【详解】解：A选项、“两点之间线段最短”用于最短路径相关问题，不是该操作的依据． B选项、“两点确定一条直线”是画直线的原理，不是该操作的依据． C选项、原来的木框是四边形，四边形具有不稳定性，容易变形；钉上斜拉木条后，在木框中构造出了三角形，而三角形具有稳定性，因此可以防止木框变形． D选项、“三角形两边之和大于第三边”用于判断三边能否构成三角形，不是该操作的依据． 4. 等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】分3cm的边为腰、底两种情况讨论，验证能否构成三角形后确定底长. 【详解】解：分两种情况讨论： 当为腰长时，底边长为， ∵， ∴无法构成三角形，此情况舍去. 当为底边长时，腰长为. ∵， ∴可构成三角形，此情况成立，故该等腰三角形的底长为． 5. 图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得到对应边相等，相等的对应边所对的角为对应角，进而求出的度数． 【详解】解：图中的两个三角形全等，且边长为的边是两个三角形的对应边， 边所对的内角是对应角， 根据全等三角形对应角相等，可得． 6. 如图，点E，F在上，，，下列条件中不能使成立是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 由，，根据“”不能得出，故A符合题意； ∵， ∴， 即， 由，，根据“”能得出，故B不符合题意； ∵， ∴， 由，根据“”能得出，故C不符合题意； 由，，根据“”能得出，故D不符合题意． 7. 若为的三边长，且，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据乘积为0的性质得到边的关系，即可判断三角形类型. 【详解】解：∵， ∴或， 即或， ∴至少有两条边相等， ∴一定是等腰三角形. 8. 下列条件能判定为直角三角形的是（ ） ， ， ， ． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合直角三角形的判定方法，对各条件进行分析判断即可． 【详解】解：∵ 在中，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中， ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴能判定为直角三角形； ∵在中，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是钝角三角形， ∴不能判定为直角三角形． ∴ 能判定的条件是． 故选：A． 9. 在中，，且是的3倍，那么该三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出和的度数即可． 【详解】解：∵是的3倍， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴是直角三角形． 10. 如图，在中，点、、分别为、、的中点，已知阴影部分的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点、、分别为、、的中点，得到，，，，推出，，根据阴影部分的面积为，得到，即可求解． 【详解】解：点、、分别为、、的中点， ，，，， ，， 阴影部分的面积为， ， ， ． 11. 如图，，分别是的高线和中线，已知，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 2.5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积，是解题的关键．根据是的中线，得出，再根据是的高线，以及三角形的面积公式即可得出的长． 【详解】解：是的中线，且， ． 是的高线，， ， 即， 解得． 故选：B． 12. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由是高得到，根据直角三角形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，则有，可判断①；根据直角三角形的性质得到，，则有，可判断②；根据中线的性质可判断③；根据三角形的面积公式可判断⑤；由题意无法证明，可判断④，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵，， ∴，， ∴， ∴，故②正确； ∵是中线， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴，故⑤正确； 由题意无法证明，故④不正确； ∴综上所述，结论正确的有①②③⑤，共4个， 故选：C． 二、填空题．（本题共6小题，每题3分，共18分．） 13. 如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 【答案】 ①. 8 ②. ，，， ③. 和 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 【详解】解：图中共有，，，，，，，，个三角形； 以为边的三角形是，，，； 是和； 故答案为：8；，，，；和； 14. 一个三角形的三边长分别是3，，8，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形三边关系得到关于的不等式，求解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵三角形任意一边的长度大于另外两边之差，小于另外两边之和，已知三角形三边长为，，， ∴， 解得. 15. 等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分，则这个等腰三角形的底边长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，先根据周长和比例求出两部分的长度，再分两种情况计算腰长与底边长，最后利用三角形三边关系验证是否成立，即可得到底边长； 【详解】解： 等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分. 分成的两部分周长分别为，. 设等腰三角形的腰长为，底边长为； 分两种情况讨论： ① 若腰长与半腰长的和为，则， 解得； 则， 此时三角形三边长为； ，不满足三角形两边之和大于第三边，所以此情况不成立，舍去； ② 若腰长与半腰长的和为，则， 解得， 则， 此时三角形三边长为， ，，满足三角形三边关系，此情况成立. 综上，这个等腰三角形的底边长为； 16. 在五角星形中，的度数_______． 【答案】##180度 【解析】 【分析】利用三角形的外角性质将分散的五个角转化到一个三角形的内角中，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：设与交于点，与交于点，如图， 在中，， 在中，， 在中，， ∴． 17. 如图所示，中，，，，，分别是，，，的平分线，则的度数为_________（结果用表示） 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形外角的性质和角平分线的性质求出，再根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出． 【详解】解：∵、分别是、的一个外角 ∴，， 又 ∵、 分别是、的平分线， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵中，、分别是和的平分线， ∴，， ∴ ． 18. 如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为___________厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 【答案】3或 【解析】 【分析】设点P运动的时间为t秒，则，，分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度． 【详解】解：设点P运动的时间为t秒，则，， ，点E为线段的中点，． ， ①当，时，与全等， 此时，， 解得：， ， 点Q的运动速度为厘米/秒； ②当，时，与全等， 此时，， 解得：， 点Q的运动速度为厘米/秒； 点Q的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 已知的三边长分别为，，． （1）若，，为中最长边的长，且为偶数，求的周长； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得c的取值范围，再结合为偶数，可求出c的值，即可求解； （2）根据三角形的三边关系可得，再根据绝对值的性质解答即可． 【小问1详解】 解：∵，，为中最长边的长， ∴， ∴， ∵为偶数， ∴， ∴的周长为； 【小问2详解】 解：∵的三边长分别为，，， ∴为正数， ∴ 20. 按要求完成下列各题： （1）已知一个等腰三角形的两边长分别为和，求它的周长； （2）已知一个等腰三角形的周长为，一边长为，求其他两边的长． 【答案】（1）该等腰三角形的周长为或； （2）其他两边的长为和，或和． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的特点分情况讨论即可； （2）分两种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：第一种情况：腰长为，底边长为，， 此时周长为； 第二种情况：腰长为，底边长为，， 此时周长为； 综上，该等腰三角形的周长为或； 【小问2详解】 解：第一种情况：腰长为， 此时底边长为，， 故其他两边长为和； 第二种情况：底边长为， 此时腰长为，， 故其他两边长为和． 综上，其他两边的长为和，或和． 21. 如图，在中，是高，是角平分线． （1）若，，求和的度数． （2）若，，，，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理应用，三角形的面积，关键是三角形面积公式的应用． （1）先根据三角形内角和性质得，再结合角平分线的定义得，再结合是高，得出的度数，再根据角的关系进行运算得出的度数，即可作答； （2）运用等面积法进行列式，代入数值进行化简，即可作答． 【小问1详解】 解：，， ∴， 是角平分线， ， 是高， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：，，，，是高， ， 即， ． 22. 如图，点，，，在同一条直线上，，，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质，可证，再根据“”证，即可求证； （2）根据全等三角形的性质，可得，再根据外角的性质，计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知， ， ， ， 则的度数为． 23. 已知，中，，，点，分别在，边上， ． （1）如图1，若，且恰好平分，则的度数为 ． 类比思考： （2）如图2，若，且点是边上的任意一点，小颖发现的度数为定值．求的度数； 联系拓广： （3）如图3，将问题情境中的“点，分别在，边上”改为“点，分别在、的延长线上”，其余条件不变．直接写出的度数 （用含的式子表示）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得，，再根据角之间的数量关系，计算即可求解； （2）根据等腰三角形的性质，可得，再根据外角的性质和角之间的数量关系，可得； （3）根据等腰三角形的性质，可得，再根据角之间的数量关系和三角形内角和定理，即可求解． 【小问1详解】 解：， 是等腰三角形， 平分，， ，，即， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ，， ， 则的度数为； 【小问3详解】 解：，， ， ， ， 则的度数为． 24. 如图1，，，，垂足分别为，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动．它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）． （1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； （2）如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为，其他条件不变，当点，运动到何处时，有与全等？求出相应的的值． 【答案】（1）解：，，理由如下： ， ， ∵点与点的运动速度相等，且， ∴， ， ， ； ， ， ， ， ； （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）利用，，可根据“”证明；则，然后证明，从而得到； （2）分两种情况：①若，则，，即，；②若，则，，即，，然后分别求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵， ∴，， 又∵点的运动速度为， ∴，， 解得，； ②∵， ∴，， 同理可得，，， 解得，． 综上所述，当与全等时，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市育贤中学2026-2027第一学期第一次阶段性质量检测 一、单选题．（本题共12小题，每题3分，共36分．） 1. 下列各组中的两个图形属于全等形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 三条线段组成的图形叫三角形 B. 三角形的角平分线是射线 C. 任何一个三角形都有三条高、三条中线和三条角平分线 D. 三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 3. 为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 三角形的稳定性 D. 三角形两边之和大于第三边 4. 等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 如图，点E，F在上，，，下列条件中不能使成立是（ ） A. B. C. D. 7. 若为的三边长，且，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形 8. 下列条件能判定为直角三角形的是（ ） ， ， ， ． A. B. C. D. 9. 在中，，且是的3倍，那么该三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 10. 如图，在中，点、、分别为、、的中点，已知阴影部分的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，，分别是的高线和中线，已知，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 2.5 D. 6 12. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题．（本题共6小题，每题3分，共18分．） 13. 如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 14. 一个三角形的三边长分别是3，，8，则m的取值范围是________． 15. 等腰三角形的周长为，一腰上的中线把周长分为两部分，则这个等腰三角形的底边长为________． 16. 在五角星形中，的度数_______． 17. 如图所示，中，，，，，分别是，，，的平分线，则的度数为_________（结果用表示） 18. 如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为___________厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 已知的三边长分别为，，． （1）若，，为中最长边的长，且为偶数，求的周长； （2）化简：． 20. 按要求完成下列各题： （1）已知一个等腰三角形的两边长分别为和，求它的周长； （2）已知一个等腰三角形的周长为，一边长为，求其他两边的长． 21. 如图，在中，是高，是角平分线． （1）若，，求和的度数． （2）若，，，，求的长． 22. 如图，点，，，在同一条直线上，，，． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 23. 已知，中，，，点，分别在，边上， ． （1）如图1，若，且恰好平分，则的度数为 ． 类比思考： （2）如图2，若，且点是边上的任意一点，小颖发现的度数为定值．求的度数； 联系拓广： （3）如图3，将问题情境中的“点，分别在，边上”改为“点，分别在、的延长线上”，其余条件不变．直接写出的度数 （用含的式子表示）． 24. 如图1，，，，垂足分别为，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动．它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）． （1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； （2）如图2，若“，”改为“”，点的运动速度为，其他条件不变，当点，运动到何处时，有与全等？求出相应的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $