2.1.2 两条直线的平行和垂直的判定（讲义，知识点&6大题型&刷好题）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦高中数学“两条直线平行和垂直的判定”核心知识点，基于直线斜率概念，系统梳理斜率存在时平行（斜率相等且不重合）、垂直（斜率乘积为-1）的代数条件，以及斜率不存在时（均垂直x轴平行，一条斜率0另一条不存在垂直）的特殊情形，构建从概念到判定再到应用的学习支架。 该资料以数学思维为导向，通过分情况讨论斜率存在与否强化逻辑推理，结合随学随练和分层题型（如平行垂直判定、参数求解、几何图形应用）培养学生严谨思维。课中辅助教师突出重难点，课后通过基础通关与素养提升帮助学生查漏补缺，提升用数学语言解决问题的能力。

司 第二章 直线和圆的方程 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 课标要点 1.借助直线斜率，理解两条直线平行、垂直的代数判定条件。 2.能利用斜率判断平面内两条不重合直线平行、垂直关系。 3.掌握直线斜率不存在的特殊情形下平行与垂直的判定方法。 4.运用直线平行、垂直判定解决求值、证明、参数求解问题，强化数形结合思想。 学习重难点 重点： 1.两直线平行、垂直的斜率判定公式。 2.分情况讨论斜率存在、斜率不存在时直线位置关系。 3.利用平行、垂直条件列方程求直线参数。 难点： 1.区分“斜率相等”与“两直线平行”，忽略直线重合的易错点。 2.一条直线斜率为0、另一条斜率不存在时垂直的特殊判定。 3.含参数直线问题中分类讨论斜率存在与否，避免漏解。 知识点 两条直线平行 1、直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 对应关系 两条直线斜率都不存在 图示 2、对直线平行判定的理解 （1）成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②不重合． （2）或重合． （3）或两条直线的斜率都不存在． （4）在判断两条不重合的直线是否平行时，先判断两条直线的斜率是否存在，若斜率存在且相等，则两者平行；若斜率都不存在，两者仍然平行． 随学随练 1．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）设与是平面内不重合的直线，甲：与的斜率相等；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 2．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 知识点 两条直线垂直 1、直线垂直的判定 对应关系 与的斜率都存在，分别为，则 与中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则与的位置关系是 图示 2、对直线垂直判定的理解 （1）成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； （2）当两条直线的斜率都存在，且时，两条直线垂直； （3）若两条直线中，一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两条直线也垂直． 随学随练 1．（25-26高二上·安徽阜阳·期中）已知直线的倾斜角的正切值为，直线与垂直，则的斜率是（   ） A． B． C．3 D． 2．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）若与的斜率，是关于的方程的两根，若，则______； 题型 两条直线平行的判定 ▌例1 （25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 解题贴士 先观察两条直线斜率是否存在，若都存在则斜率相等且截距不等可判定平行，若均垂直 x 轴（斜率都不存在）则两直线平行，解题时务必排除斜率相等但直线重合的情况，防止误判． ▌对点练1-1 （25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 ▌对点练1-2 （多选）满足下列条件的直线与一定平行的是（    ） A．直线的倾斜角为，直线经过点， B．直线的方向向量为，直线经过点， C．直线经过点，，直线经过点， D．直线经过点，，直线经过点， ▌对点练1-3 （24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 题型 两条直线平行关系的应用 ▌例2 （25-26高二上·福建三明·阶段检测）若直线经过两点，直线的倾斜角为，且，则（    ） A． B． C．0 D．2 解题贴士 根据两直线平行斜率相等的结论，设出未知直线斜率，结合已知点坐标列方程求解直线解析式或参数，遇到垂直x轴的特殊直线直接对应设竖直线，解题后检验直线是否重合． ▌对点练2-1 （25-26高二上·陕西西安·期末）已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是______. ▌对点练2-2 （25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）（多选）已知，，，，若，则的值可能为（    ） A． B．0 C．1 D．2 ▌对点练2-3 （24-25高二上·广东湛江·阶段检测）若过点和点的直线与过点和点的直线平行，则m的值是（    ） A． B．1 C． D．5 题型 两条直线垂直的判定 ▌例3 （24-25高二上·重庆·阶段检测）两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（    ） A．平行 B．斜交 C．垂直 D．重合 解题贴士 分两类判定，两直线斜率均存在时斜率乘积为-1则垂直，一条斜率为0、另一条斜率不存在时两直线也垂直，其余情况均不满足垂直关系． ▌对点练3-1 （25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 ▌对点练3-2 已知，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练3-3 （25-26高二上·重庆涪陵·阶段检测）两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．斜交 C．平行 D．重合 题型 两条直线垂直关系的应用 ▌例4 （25-26高二上·河南·阶段检测）已知点，，，若直线与互相垂直，则实数n的值为（    ） A．8 B．10 C．6 D．4 解题贴士 解决由垂直关系求参数问题的思路 由两条直线垂直求参数的值，一般的解题思路是利用斜率的坐标公式表示出斜率，令斜率之积为-1求解，但在解题过程中要注意讨论直线与x轴垂直的情况，此时一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在．对于斜率不存在的直线，可令直线上两点的横坐标相等，即可求解． ▌对点练4-1 （25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知直线的斜率为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． ▌对点练4-2 （25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知直线经过，，直线经过，.如果，则（    ） A．3 B．5 C．2 D．2或5 ▌对点练4-3 （25-26高二上·安徽六安·阶段检测）已知直线的一个方向向量，直线的一个方向向量，若，且，则（    ） A．或1 B．3或 C． D．1 题型 直线平行、垂直的综合应用 ▌例5 （多选）已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 先根据题意区分平行或垂直条件，结合斜率关系列出方程求解参数、定点、直线方程，含参数题型需分类讨论斜率存在、不存在两种情况，检验结果排除重合、矛盾的解． ▌对点练5-1 （25-26高二上·河南信阳·阶段检测）已知直线经过，，直线经过点，. (1)若，求m的值； (2)若，求m的值. ▌对点练5-2 （25-26高二上·陕西商洛·期中）已知直线l经过点，. (1)若直线的斜率为1，且，求实数m的值； (2)若直线的一个方向向量的坐标为，且，求实数m的值. ▌对点练5-3 （25-26高二上·北京·阶段检测）当m为何值时，过两点，，的直线. (1)与过两点，的直线垂直； (2)与过两点，的直线平行. 题型 几何图形的特征的应用 ▌例6 （25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）四边形的四个顶点是，，，，则四边形为（    ） A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．直角梯形 解题贴士 借助平行四边形、矩形、直角三角形等图形自带对边平行、邻边垂直的几何性质，转化为直线斜率的等量关系，通过斜率计算求解顶点坐标、参数、直线方程，数形结合简化运算 ▌对点练6-1 （24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 ▌对点练6-2 设点，，，问：是否存在正实数，使为直角三角形？若存在，求的所有值；若不存在，说明理由． ▌对点练6-3 （24-25高二上·广西南宁·阶段检测）已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 基础通关 1．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）直线，若的斜率为1，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知三点，的边上的高所在直线的斜率是（    ） A． B．2 C．3 D．6 3．（25-26高二上·天津·阶段检测）直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 4．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（    ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 5．（24-25高二上·北京·期末）如图，在直角三角形中，，边所在直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·江西上饶·期中）（多选）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．5 7．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知直线与经过，两点的直线垂直，则直线的斜率为_______． 8．（25-26高三上·辽宁锦州·阶段检测）已知直线经过、两点，直线的倾斜角为，若与平行，则____ 9．过,两点的直线与过，两点的直线平行，则________． 10．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）（1）判断下列不同的直线与是否平行：的斜率为2，经过两点； （2）判断下列直线与是否垂直；的倾斜角为45°，经过两点． 素养提升 11．（25-26高二上·广东·阶段检测）已知，若点在轴负半轴上，且，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）（多选）已知点，，点P在x轴上，若为直角三角形，则点P的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·浙江金华·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，则的最小值为__________． 14．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）已知直线经过点． (1)若斜率为2，且，求； (2)若的一个方向向量的坐标为，且，求． 15．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）（1）已知平面直角坐标系中，，，，，若直线与直线平行，求的值； （2）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，求的最小值. 迁移创新 16．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知点，，点在轴上，是直角三角形，这样的三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）直角三角形的斜边在轴上，其中点B在点C的左侧，直角顶点A的坐标是， (1)设直线AC的斜率为k，试求点C和点B的坐标（用k表示）； (2)试求直角三角形ABC的面积的最小值及面积取到最小值时的点C坐标． 18．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知坐标平面内三点． (1)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (2)若是线段上一动点，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 司 第二章 直线和圆的方程 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 课标要点 1.借助直线斜率，理解两条直线平行、垂直的代数判定条件。 2.能利用斜率判断平面内两条不重合直线平行、垂直关系。 3.掌握直线斜率不存在的特殊情形下平行与垂直的判定方法。 4.运用直线平行、垂直判定解决求值、证明、参数求解问题，强化数形结合思想。 学习重难点 重点： 1.两直线平行、垂直的斜率判定公式。 2.分情况讨论斜率存在、斜率不存在时直线位置关系。 3.利用平行、垂直条件列方程求直线参数。 难点： 1.区分“斜率相等”与“两直线平行”，忽略直线重合的易错点。 2.一条直线斜率为0、另一条斜率不存在时垂直的特殊判定。 3.含参数直线问题中分类讨论斜率存在与否，避免漏解。 知识点 两条直线平行 1、直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 对应关系 两条直线斜率都不存在 图示 2、对直线平行判定的理解 （1）成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②不重合． （2）或重合． （3）或两条直线的斜率都不存在． （4）在判断两条不重合的直线是否平行时，先判断两条直线的斜率是否存在，若斜率存在且相等，则两者平行；若斜率都不存在，两者仍然平行． 随学随练 1．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）设与是平面内不重合的直线，甲：与的斜率相等；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 【答案】A 【解析】因为若平面内两条不重合的直线的斜率相等，则两直线平行，所以甲是乙的充分条件； 若两直线平行，则两直线的斜率可能都不存在，即斜率可能不相等，则甲不是乙的必要条件， 所以甲是乙的充分条件但不是必要条件.故选：A. 2．（25-26高二上·新疆喀什·期中）已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【解析】， 由图可知不共线，所以．故选：B 知识点 两条直线垂直 1、直线垂直的判定 对应关系 与的斜率都存在，分别为，则 与中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则与的位置关系是 图示 2、对直线垂直判定的理解 （1）成立的前提条件是两条直线的斜率都存在； （2）当两条直线的斜率都存在，且时，两条直线垂直； （3）若两条直线中，一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则两条直线也垂直． 随学随练 1．（25-26高二上·安徽阜阳·期中）已知直线的倾斜角的正切值为，直线与垂直，则的斜率是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】设直线和的斜率分别为， 由题意得直线的斜率，因为直线与垂直， 则，则.故选：D. 2．（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）若与的斜率，是关于的方程的两根，若，则______； 【答案】2 【解析】已知，可得：， 又，是关于的方程的两根，可得：，解得：. 故答案为： 题型 两条直线平行的判定 ▌例1 （25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【解析】由题意， 所以，且经过不在的点，所以. 解题贴士 先观察两条直线斜率是否存在，若都存在则斜率相等且截距不等可判定平行，若均垂直 x 轴（斜率都不存在）则两直线平行，解题时务必排除斜率相等但直线重合的情况，防止误判． ▌对点练1-1 （25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 【答案】C 【解析】由直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为：， 又直线经过， 所以直线的斜率为：，所以， 所以直线与直线平行或重合.故选：C. ▌对点练1-2 （多选）满足下列条件的直线与一定平行的是（    ） A．直线的倾斜角为，直线经过点， B．直线的方向向量为，直线经过点， C．直线经过点，，直线经过点， D．直线经过点，，直线经过点， 【答案】CD 【解析】对于选项A，因为直线经过点，， 所以直线的斜率， 又直线的倾斜角为，所以直线的斜率，故直线与直线平行或重合，故A错误； 对于选项B，直线的斜率为，直线的斜率为， 所以直线与不平行，故B错误； 对于选项C，，，则有，故C正确； 又，则，，不共线，故． 对于选项D，由已知点的坐标，得与均与轴垂直且不重合，故有，故D正确．故选：CD． ▌对点练1-3 （24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【答案】(1)；(2)或与重合 【解析】（1）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 因为，又， 所以，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线， 所以． （2）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 所以，所以或与重合． 题型 两条直线平行关系的应用 ▌例2 （25-26高二上·福建三明·阶段检测）若直线经过两点，直线的倾斜角为，且，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【解析】由题意可知，直线的斜率为，得.故选：B 解题贴士 根据两直线平行斜率相等的结论，设出未知直线斜率，结合已知点坐标列方程求解直线解析式或参数，遇到垂直x轴的特殊直线直接对应设竖直线，解题后检验直线是否重合． ▌对点练2-1 （25-26高二上·陕西西安·期末）已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是______. 【答案】7 【解析】由题意得，直线的斜率为，直线的斜率为， 则，得. ▌对点练2-2 （25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）（多选）已知，，，，若，则的值可能为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】BC 【解析】，， 由,得， 展开并整理得，解得或. 当时，, 由图可知，符合题意. 当时，， 由图可知，符合题意. 综上所述，或.故选：BC ▌对点练2-3 （24-25高二上·广东湛江·阶段检测）若过点和点的直线与过点和点的直线平行，则m的值是（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】D 【解析】过点和点的直线斜率为， 由两直线平行，则直线的斜率，解得， 验证，当时，，则直线的斜率为， 四点不共线，即两直线平行.故选：D. 题型 两条直线垂直的判定 ▌例3 （24-25高二上·重庆·阶段检测）两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（    ） A．平行 B．斜交 C．垂直 D．重合 【答案】C 【解析】设两直线的斜率分别为，因为是方程的两根， 利用根与系数的关系得，所以两直线的位置关系是垂直.故选：C 解题贴士 分两类判定，两直线斜率均存在时斜率乘积为-1则垂直，一条斜率为0、另一条斜率不存在时两直线也垂直，其余情况均不满足垂直关系． ▌对点练3-1 （25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】C 【解析】因为直线经过，两点， 所以直线的斜率为，而， 所以，所以与垂直，故选：C ▌对点练3-2 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ， 直线的斜率不存在，所以只有，所以． B选项正确，其它选项错误.故选：B ▌对点练3-3 （25-26高二上·重庆涪陵·阶段检测）两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．斜交 C．平行 D．重合 【答案】A 【解析】不妨设两直线的斜率分别为， 则由题意有，所以两直线互相垂直.故选：A 题型 两条直线垂直关系的应用 ▌例4 （25-26高二上·河南·阶段检测）已知点，，，若直线与互相垂直，则实数n的值为（    ） A．8 B．10 C．6 D．4 【答案】C 【解析】因为点，，所以直线的斜率． 因为，所以直线的斜率， 即，解得．故选：C． 解题贴士 解决由垂直关系求参数问题的思路 由两条直线垂直求参数的值，一般的解题思路是利用斜率的坐标公式表示出斜率，令斜率之积为-1求解，但在解题过程中要注意讨论直线与x轴垂直的情况，此时一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在．对于斜率不存在的直线，可令直线上两点的横坐标相等，即可求解． ▌对点练4-1 （25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知直线的斜率为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于直线的斜率为，且直线与垂直， 所以直线的斜率为， 所以，解得.故选：D. ▌对点练4-2 （25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知直线经过，，直线经过，.如果，则（    ） A．3 B．5 C．2 D．2或5 【答案】D 【解析】当，即时，则直线的斜率不存在，此时直线的斜率， 所以直线与直线垂直，满足条件， 当时，直线的斜率存在，且斜率为，又直线的斜率为， 因为，所以，解得； 综上，的值为5或2，故答案为：D. ▌对点练4-3 （25-26高二上·安徽六安·阶段检测）已知直线的一个方向向量，直线的一个方向向量，若，且，则（    ） A．或1 B．3或 C． D．1 【答案】A 【解析】. 又． 当时，；当时，或1.故选：A. 题型 直线平行、垂直的综合应用 ▌例5 （多选）已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】解：由斜率公式知，， ，，，． 所以ABC均正确，D错误．故选：ABC. 解题贴士 先根据题意区分平行或垂直条件，结合斜率关系列出方程求解参数、定点、直线方程，含参数题型需分类讨论斜率存在、不存在两种情况，检验结果排除重合、矛盾的解． ▌对点练5-1 （25-26高二上·河南信阳·阶段检测）已知直线经过，，直线经过点，. (1)若，求m的值； (2)若，求m的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）直线斜率，直线的斜率， 由得，所以，所以. （2）由得,由(1)可得，所以. ▌对点练5-2 （25-26高二上·陕西商洛·期中）已知直线l经过点，. (1)若直线的斜率为1，且，求实数m的值； (2)若直线的一个方向向量的坐标为，且，求实数m的值. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）∵直线l经过点、， ∴其斜率， ∵的斜率为1，且， ∴解得. （2）由题知，直线的斜率， 又直线l的斜率，， ∴，解得. ▌对点练5-3 （25-26高二上·北京·阶段检测）当m为何值时，过两点，，的直线. (1)与过两点，的直线垂直； (2)与过两点，的直线平行. 【答案】(1)或；；(2)或. 【解析】（1）经过，两点的斜率为：， 经过，两点的斜率为：， 两直线垂直则斜率之积为，所以，解得或； （2）经过，两点的斜率为：， 两直线平行则斜率相等，所以，解得或. 题型 几何图形的特征的应用 ▌例6 （25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）四边形的四个顶点是，，，，则四边形为（    ） A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．直角梯形 【答案】D 【解析】由， ，，， ，，，与不平行， 则四边形为梯形， 又， 四边形为直角梯形，故选：D. 解题贴士 借助平行四边形、矩形、直角三角形等图形自带对边平行、邻边垂直的几何性质，转化为直线斜率的等量关系，通过斜率计算求解顶点坐标、参数、直线方程，数形结合简化运算 ▌对点练6-1 （24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【解析】因为 ， 所以 ,故 因此该三角形为直角三角形.故选：B. ▌对点练6-2 设点，，，问：是否存在正实数，使为直角三角形？若存在，求的所有值；若不存在，说明理由． 【答案】存在，正实数或 【解析】若为直角，则，所以． 即，所以（舍去）． 若为直角，则，所以， 即，解得； 若为直角，则，所以， 即，解得或（舍去）． 综上所述，存在正实数或，使为直角三角形． ▌对点练6-3 （24-25高二上·广西南宁·阶段检测）已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 【答案】(1)；(2)四边形为直角梯形 【解析】（1）由题意可得， 则，， 所以两条直线平行，即， （2）因为，， 所以，即与不平行， 又，所以， 所以四边形为直角梯形. 基础通关 1．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）直线，若的斜率为1，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以.故选：D 2．（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知三点，的边上的高所在直线的斜率是（    ） A． B．2 C．3 D．6 【答案】C 【解析】直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率是.故选：C 3．（25-26高二上·天津·阶段检测）直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】D 【解析】因为直线经过点和，所以直线的斜率， 又直线的斜率，且， 所以与相交但不垂直.故选：D 4．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（    ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A 【解析】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 即，所以或重合.故选：A 5．（24-25高二上·北京·期末）如图，在直角三角形中，，边所在直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】边所在直线的倾斜角为，则斜率为， ，即，故，解得.故选：A. 6．（24-25高二下·江西上饶·期中）（多选）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】AD 【解析】由斜率的定义，直线的斜率， 因为，则，解得或， 代入验证或时，两点横坐标均不同，直线的斜率均存在， 故或均满足题意，故选：AD. 7．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知直线与经过，两点的直线垂直，则直线的斜率为_______． 【答案】 【解析】因为直线与经过，两点的直线垂直，直线的斜率为. 所以直线的斜率为. 8．（25-26高三上·辽宁锦州·阶段检测）已知直线经过、两点，直线的倾斜角为，若与平行，则____ 【答案】6 【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 因为直线经过、两点，所以直线的斜率， 又与平行，，即，解得． 9．过,两点的直线与过，两点的直线平行，则________． 【答案】 【解析】由题可得：， 因为，所以，解得：. 10．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）（1）判断下列不同的直线与是否平行：的斜率为2，经过两点； （2）判断下列直线与是否垂直；的倾斜角为45°，经过两点． 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）的斜率为2，经过两点， 则的斜率为，即，的斜率相等，且两直线不同， 故； （2）的倾斜角为45°，且斜率为1， 经过两点，则的斜率为， 即两直线斜率之积等于，故. 素养提升 11．（25-26高二上·广东·阶段检测）已知，若点在轴负半轴上，且，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点，则直线的斜率必存在，分别为， 由，得，即， 而，解得，点的纵坐标为.故选：A 12．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）（多选）已知点，，点P在x轴上，若为直角三角形，则点P的坐标可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】设，易知当或时，不合题意， 因此当且时，可得，， 当为直角时，，得的坐标为． 当为直角时，，得的坐标为． 当为直角时，，化简得， 解得或，的坐标为或．故选：ACD 13．（24-25高二上·浙江金华·阶段检测）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】依题意，两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，其数量积为零﹒ 可得，即，所以， 由得．当且仅当取等号. 故答案为：. 14．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）已知直线经过点． (1)若斜率为2，且，求； (2)若的一个方向向量的坐标为，且，求． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为斜率为2，且，直线经过点， 所以，解得； （2）因为的一个方向向量的坐标为，所以斜率为， 又因为，所以直线的斜率为， 即，解得. 15．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）（1）已知平面直角坐标系中，，，，，若直线与直线平行，求的值； （2）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，求的最小值. 【答案】（1）；（2）最小值是 【解析】（1）由题知，，即，解得； （2）为正数，根据方向向量的定义，则的斜率必存在，由可知斜率存在， 于是，由可知， 整理可得，即， 则， 当，即取得等号， 即最小值是. 迁移创新 16．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知点，，点在轴上，是直角三角形，这样的三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】设.显然直线斜率都存在. 若为直角，则，所以，解得； 若为直角，则，所以，解得； 若为直角，则，所以，解得. 故有三个满足要求的直角三角形.故选：C 方法二：若为直角，则，解得； 若为直角，则，解得； 若为直角，则，解得. 故有三个满足要求的直角三角形.故选：C 方法三：当为直角顶点时，显然有两个这样的直角三角形； 若为直角顶点，中点，，则，而点到距离为5，此时有唯一点，符合要求. 故有三个满足要求的直角三角形.故选：C 17．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）直角三角形的斜边在轴上，其中点B在点C的左侧，直角顶点A的坐标是， (1)设直线AC的斜率为k，试求点C和点B的坐标（用k表示）； (2)试求直角三角形ABC的面积的最小值及面积取到最小值时的点C坐标． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为；(2)直角三角形ABC的面积的最小值为，此时点的坐标为. 【解析】（1）因为为直角三角形，斜边在轴上，点B在点C的左侧， 故可设点的坐标为，点的坐标为，， 因为直线AC的斜率为k，点A的坐标是， 所以，，又， 所以直线的斜率为， 所以， 所以，， 所以点的坐标为，点的坐标为， （2）由（1）点的坐标为，点的坐标为，又点B在点C的左侧， 所以，所以， 所以，又点A的坐标是， 所以的面积，， 由基本不等式可得当时，，当且仅当时等号成立， 所以当时，，当且仅当时等号成立， 所以当时，直角三角形ABC的面积最小，最小值为，此时点的坐标为. 18．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知坐标平面内三点． (1)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (2)若是线段上一动点，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）如图，当点在第一象限时，， 设，则，解得， 故点的坐标为. （2）由题意得为直线的斜率，如图， 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，． 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $