滚动习题(二) [范围1.3～1.4](Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

**基本信息** 本同步练以空间向量为核心，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，实现从单一知识点到复杂情境的递进，培养空间观念与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|向量垂直、投影、法向量等单一概念|单选直接考查定义应用，如向量垂直求参数，夯实运算基础| |提升层|空间几何体中的位置关系、距离计算|多选结合法向量与几何性质，填空综合点线面距离，发展推理能力| |综合层|线面垂直证明、线面角与面面角计算|解答题融入正四棱柱、正方体等复杂模型，需建模与运算结合，提升数学语言表达能力|

(时间:45分钟　分值:100分) 一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 1.设向量a=(1,y,2),b=(-1,1,1),且a⊥b,则y等于 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.-1 B.1 C.-2 D.2 2.空间向量a=(2,0,2)在b=(0,1,1)上的投影向量为 (　 ) A.a B.b C.b D.b 3.已知平面α过点A(1,1,2),它的一个法向量为n=(-3,0,4),P为平面α内一点,则点P的坐标不可能是 (　 ) A.(5,5,5) B.(9,7,8) C.(-7,2,-8) D.(-3,0,-1) 4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CD,CC1的中点,则直线A1M与DN的位置关系是 (　 ) A.平行 B.垂直 C.异面垂直 D.异面不垂直 5.[2026·浙江强基联盟高二期中] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BA⊥BC,BA=BC =BB1=2,E,F分别是棱AB,BC上的点,且BE=AB,CF=BC,则点B到平面EFB1的距离为 (　 ) A. B. C. D. 6.[2026·山东百师联盟高二联考] 如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,△PAB为正三角形,四边形ABCD为梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AD=1,AB=2,BC=3,则直线PA与平面PCD所成角的正弦值为 (　 ) A. B. C. D. 二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分) 7.平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的一个法向量,则下列选项中正确的是 (　 ) A.直线AB的一个方向向量为a=(-2,2,2) B.线段AB的长度为3 C.u+t=1 D.向量与向量夹角的余弦值为 8.[2026·邯郸五校高二期中] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠DAB=60°,△PAD为等边三角形,平面PAD⊥平面ABCD,则下列说法正确的是 (　 ) A.若直线l是平面PAD与平面PBC的交线,则BC∥l B.直线AC与BP所成角的余弦值为 C.平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值为 D.点D到平面PAB的距离为 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 9.已知a=(-m,1,3),b=(2,n,1)分别是平面α,β的一个法向量,且α∥β,则mn=　　　　.  10.若空间中有三点A(1,0,-1),B(0,1,-1),C(1,2,0),则A到直线BC的距离为　　　　,点P(1,2,3) 到平面ABC的距离为　　　　.  11.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,点D是A1B1的中点,F是侧面CC1B1B(包含边界)上的动点,要使AB1⊥平面C1DF,则线段C1F的长的最大值为　　　　.  四、解答题(本大题共3小题,共43分) 12.(13分)[2026·西安新城区高二期中] 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点E在CC1上,且C1E=3EC,AA1=2AB=4. (1)证明:A1C⊥平面BDE; (2)求平面A1BD与平面BDE夹角的余弦值. 13.(15分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,E,F分别为AA1,CD的中点. (1)求异面直线EF与B1D所成角的正弦值; (2)求点E到直线FB1的距离. 14.(15分)如图,在正四棱锥S-ABCD中,O为顶点S在底面内的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD. (1)证明:平面PAC⊥平面SBD; (2)求直线BC与平面PAC所成角的大小; (3)若SO=2,求三棱锥A-PSC的外接球的体积. 学科网（北京）股份有限公司 $ 滚动习题(二) 1.A　[解析] ∵a=(1,y,2),b=(-1,1,1),且a⊥b,∴a·b=-1+y+2=0,解得y=-1.故选A. 2.B　[解析] 空间向量a=(2,0,2)在b=(0,1,1)上的投影向量为·b=·b=b.故选B. 3.C　[解析] 由题意可知·n=0.对于A,=(-4,-4,-3),因为·n=12+0-12=0,所以点(5,5,5)在平面α内,故点P的坐标可能为(5,5,5);对于B,=(-8,-6,-6),因为·n=24+0-24=0,所以点(9,7,8)在平面α内,故点P的坐标可能为(9,7,8);对于C,=(8,-1,10),因为·n=-24+0+40≠0,所以点(-7,2,-8)不在平面α内,故点P的坐标不可能为(-7,2,-8);对于D,=(4,1,3),因为·n=-12+0+12=0,所以点(-3,0,-1)在平面α内,故点P的坐标可能为(-3,0,-1).故选C. 4.C　[解析] 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则A1(2,0,2),M(0,1,0),D(0,0,0),N(0,2,1),∴=(-2,1,-2),=(0,2,1),∴·=0,∴A1M⊥DN,又DN⊂平面DCC1D1,A1M⊄平面DCC1D1,M∈平面DCC1D1,且M∉DN,∴直线A1M与DN异面垂直.故选C. 5.D　[解析] 由题意知,B1A1,B1C1,B1B两两垂直,以B1为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则B1(0,0,0),A(2,0,2),C(0,2,2),C1(0,2,0),B(0,0,2).∵BE=AB,CF=BC,∴E,F,∴=,=,=(0,0,2).设平面EFB1的法向量为n=(x,y,z),则即令z=-1,得x=3,y=,故n=. 设点B到平面EFB1的距离为d,则d==.故选D. 6.B　[解析] 如图,取AB的中点O,CD的中点M,连接OP,OM,因为△PAB为正三角形,所以PO⊥AB,又平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PO⊂平面PAB,所以PO⊥平面ABCD.因为O,M分别为AB,CD的中点,所以OM∥BC,又AB⊥BC,所以AB⊥OM.以O为原点,OA,OM,OP所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),D(1,1,0),C(-1,3,0),P(0,0,),故=(-1,-1,),=(2,-2,0).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则即令z=2,得平面PCD的一个法向量为n=(,,2).设直线PA与平面PCD所成的角为θ,又=(-1,0,),所以sin θ=|cos<,n>|==.故选B. 7.ACD　[解析] 因为A(1,0,-1),B(0,1,0),所以=(-1,1,1),则=a,故直线AB的一个方向向量为a=(-2,2,2),故A正确;线段AB的长度为||=,故B错误;向量n=(1,u,t)是平面α的一个法向量,=(-1,1,1),=(-2,2,1),则解得则u+t=1,故C正确;=(-1,1,1),=(-1,1,0),则向量与向量夹角的余弦值为==,故D正确.故选ACD. 8.ABD　[解析] 对于A,因为底面ABCD是菱形,所以BC∥AD,又AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD,所以BC∥平面PAD.因为平面PAD∩平面PBC=l,BC⊂平面PBC,所以BC∥l,故A正确.对于B,设AD的中点为O,连接PO,OB,BD,因为△PAD为等边三角形,所以PO⊥AD,又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD,所以PO⊥平面ABCD.因为底面ABCD是边长为2的菱形,∠DAB=60°,所以三角形BAD是等边三角形,所以OB⊥AD,以O为原点,OA,OB,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图,则A(1,0,0),D(-1,0,0),B(0,,0),P(0,0,),C(-2,,0),所以=(-3,,0),=(0,-,),所以|cos<,>|===,故B正确.对于C,设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),由上述分析知=(-1,,0),=(-1,0,),由得令x=,则y=z=1,所以n=(,1,1).设平面PCD的法向量为m=(a,b,c),由上述分析知==(-1,,0),=(1,0,),由得令a=,则b=1,c=-1,所以m=(,1,-1).所以|cos<n,m>|= =,故C错误.对于D,由上述分析知=(-2,0,0),平面PAB的一个法向量为n=(,1,1),所以点D到平面PAB的距离为=,故D正确.故选ABD. 9.-2　[解析] 因为a,b分别是平面α,β的一个法向量,且α∥β,所以a∥b,故存在实数λ,使得b=λa,即(2,n,1)=λ(-m,1,3),故解得故mn=-2. 10.　　[解析] 由题意得=(-1,1,0),=(1,1,1),所以A到直线BC的距离为=.设平面ABC的法向量为n=(a,b,c),则 即令a=1,得b=1,c=-2,所以n=(1,1,-2),又=(0,2,4),所以P(1,2,3) 到平面ABC的距离为=. 11.　[解析] 以C1为原点,C1A1所在直线为x轴,C1B1所在直线为y轴,C1C所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设F(0,a,b),0≤a≤1,0≤b≤2,由题意得A(1,0,2),B1(0,1,0),C1(0,0,0),D,则=(-1,1,-2),=,=(0,a,b).∵AB1⊥平面C1DF,∴解得a=2b,又0≤a≤1,0≤b≤2,∴0≤b≤,∵||=,∴线段C1F的长的最大值为=. 12.解:(1)证明:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4), ∴=(0,2,1),=(2,2,0),=(-2,2,-4), ∵·=-4+4+0=0,·=0+4-4=0, ∴⊥,⊥, 即A1C⊥BD,A1C⊥DE, 又BD∩DE=D,BD,DE⊂平面BDE,∴A1C⊥平面BDE. (2)由(1)知=(2,2,0),=(2,0,4), 设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z), 则令x=2,则z=-1,y=-2,∴n=(2,-2,-1). 由(1)知平面BDE的一个法向量为=(-2,2,-4), ∵|cos<n,|====, ∴平面A1BD与平面BDE夹角的余弦值为. 13.解:(1)由题意,以D1为原点,分别以D1A1,D1C1,D1D所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图, 则F(0,1,2),E(2,0,1),B1(2,2,0),D(0,0,2),则=(-2,1,1),=(-2,-2,2). 设异面直线EF与B1D所成的角为α, 则cos α====,可得sin α==. (2)由(1)可知=(2,1,-2),=(2,-1,-1), 则直线FB1的一个单位方向向量u==(2,1,-2)=, 所以点E到直线FB1的距离为==. 14.解:(1)证明:在正四棱锥S-ABCD中,由O为顶点S在底面内的射影,得SO⊥AC,且O是正方形ABCD的中心, 因为AC⊥BD,SO∩BD=O,SO,BD⊂平面SBD, 所以AC⊥平面SBD, 又AC⊂平面PAC,所以平面PAC⊥平面SBD. (2)由(1)知,直线OB,OC,OS两两垂直,设SO=OD=2, 以点O为原点,直线OB,OC,OS分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 则A(0,-2,0),B(2,0,0),C(0,2,0),S(0,0,2),P(-1,0,1), 所以=(-2,2,0),=(0,4,0),=(-1,2,1). 设平面PAC的法向量为n=(a,b,c), 则令a=1,得n=(1,0,1). 设直线BC与平面PAC所成的角为θ, 则sin θ===,所以θ=, 所以直线BC与平面PAC所成的角为. (3)由(2)设三棱锥A-PSC的外接球球心为O'(x,y,z),则||=||=||=||, 即== =,解得x=1,y=0,z=0,所以三棱锥A-PSC的外接球球心为O'(1,0,0),则外接球的半径R=||==, 所以三棱锥A-PSC的外接球的体积V=πR3=. 学科网（北京）股份有限公司 $