2.1.2 两直线平行与垂直的判定（6个核心题型归纳）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.1.2 两直线平行与垂直的判定 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．（1）两条直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，则有_ _______．特别地，当直线，的斜率都不存在时，与___平行_____． （2）两条直线垂直 如果两条直线，斜率都存在，设为，，则_ _______，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线_垂直_______． 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 由斜率判定两直线平行 基础知识 核心知识 设两条直线斜率都存在 且 若两条直线斜率都不存在两直线均垂直x轴此时两直线平行 方法技巧 1.先判断两条直线斜率是否存在分斜率存在斜率均不存在两类讨论 2.斜率相等不能直接判定平行必须检验截距不相等排除两直线重合情况 3.若一条斜率存在一条斜率不存在两直线一定不平行 4.做题勿忘区分重合和平行重合不属于平行 典型例题 【例题 1】（25-26高二上·四川达州·期末）下列直线中与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两直线平行的条件判断即可. 【详解】对于直线，可化为， 对于A，因为，所以，与目标直线不平行，故A错误， 对于B，因为，所以，与目标直线平行，故B正确， 对于C，因为，所以，与目标直线不平行，故C错误， 对于D，因为，所以，与目标直线不平行，故D错误. 故选：B 【例题2】（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 【答案】C 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】由直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为：， 又直线经过， 所以直线的斜率为：， 所以， 所以直线与直线平行或重合. 故选：C. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 即，所以或重合. 故选：A 【巩固练习2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】根据直线的斜率来进行判断. 【详解】， 由图可知不共线，所以． 故选：B    【巩固练习3】（24-25高一上·甘肃武威·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．垂直 【答案】A 【分析】由两直线的位置关系进行判断． 【详解】两直线的斜率都是2，但在轴上的截距分别为：3，-5， 故两直线平行， 故选：A 【题型2】 由斜率判定两直线垂直 基础知识 核心知识 两条直线斜率都存在时 一条直线斜率为0另一条直线斜率不存在两直线互相垂直 方法技巧 1.优先讨论斜率是否存在不要直接套用 2.只适用于两条直线斜率全部存在的场景 3.若一条水平一条竖直直接判定垂直不需要计算斜率 4.判定垂直可以用向量法辅助验证方向向量点积为0 典型例题 【例题1】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 【答案】D 【分析】根据判断. 【详解】因为直线，的斜率分别为，且，所以与的位置关系是垂直. 故选：D 【例题2】（25-26高二上·山东济南·阶段检测）两直线，的方程分别为和为实常数，为第三象限角，则两直线，的位置关系是（    ） A．相交且垂直 B．相交但不垂直 C．平行 D．不确定 【答案】A 【分析】根据两直线垂直的结论判断. 【详解】因为为第三象限角， 所以， 故两直线垂直. 故选：A 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】C 【分析】利用两直线的位置关系求解. 【详解】因为直线经过，两点， 所以直线的斜率为，而， 所以，所以与垂直， 故选：C 【巩固练习2】（25-26高二上·天津·阶段检测）直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】D 【分析】根据两直线的斜率关系判断即可. 【详解】因为直线经过点和，所以直线的斜率， 又直线的斜率，且， 所以与相交但不垂直. 故选：D 【巩固练习3】（2025高二上·全国·专题练习）（多选）已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据斜率的计算公式计算出各条直线的斜率，根据斜率关系判断直线位置关系. 【详解】解：由斜率公式知，，，，，．所以ABC均正确，D错误． 故选：ABC. 【题型3】 由两直线平行求参数 基础知识 核心知识 直线一般式 平行条件且 斜率式：截距不等 方法技巧 1.方法一斜率法：写出斜率令解参数后检验截距排除重合 2.方法二一般式系数法：利用交叉相乘相等列式再检验常数项避免重合 3.求出参数后一定要回代原式检验排除两直线重合的增根 4.注意讨论直线斜率不存在的特殊情况 典型例题 【例题1】（25-26高一下·陕西西安·期末）已知两条直线：，：，若，则实数______. 【答案】 【详解】两条直线：，：， 因为，则，所以. 【例题2】（25-26高一下·山西长治·期末）若直线：与直线：平行，则实数________. 【答案】 【详解】直线的斜率为，在轴上的截距为， 因为两条直线平行， 故直线的斜率存在，且与直线的斜率相等，在轴上的截距不为，故， 所以直线的斜率为，在轴上的截距为， 所以，且， 解得，即实数. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·上海嘉定·期末）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，直线与直线平行，则是______． 【答案】 等腰三角形或直角三角形 【分析】根据两直线平行的条件得到边角等式，结合正弦定理边化角与三角恒等变换判断三角形形状. 【详解】直线与直线平行， 则有，由正弦定理得，即， 中，，当时，有2种情况， 情况1：，即，此时为等腰三角形； 情况2：，即，则，此时为直角三角形， 综上， 是等腰三角形或直角三角形. 【巩固练习2】若直线与平行，求的值. 【答案】3或5 【分析】根据直线平行的性质求参数即可. 【详解】因为直线与平行， 当时，，两直线平行，符合题意； 当时，由得（舍去）或， 此时，两直线平行，符合题意. 综上，的值为3或5. 【巩固练习3】（2026·重庆渝中·模拟预测）已知直线：与直线：平行，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 【答案】A 【详解】当时，直线：与直线：，显然直线与不平行； 当时，因为直线：与直线：平行， 所以，解得，检验符合. 【题型4】 由两直线垂直求参数 基础知识 核心知识 斜率均存在： 一般式 垂直等价条件：此公式不用讨论斜率是否存在 方法技巧 1.优先选用一般式垂直公式可以规避斜率不存在的漏解问题 2.使用斜率公式时要单独讨论一条斜率为0一条不存在的特殊垂直情况 3.解出参数后代回验证确保满足垂直关系 4.含多参数题目分类讨论直线斜率存在与否 典型例题 【例题1】（26-27高二上·浙江·开学考试）已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】利用两条直线垂直的充要条件求出的关系，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由直线和垂直，得， 即，而，则 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【例题2】（25-26高二下·上海宝山·期末）若与垂直，则________. 【答案】 【详解】因为与垂直，则，解得. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二上·湖南株洲·期末）若直线与直线垂直，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于直线与垂直，故，解得． 【巩固练习2】（25-26高二下·河北·期末）若直线与直线垂直，则__________. 【答案】 【详解】因为， 所以，解得. 【巩固练习3】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知直线：，：，若，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 【答案】C 【详解】已知直线：，：，若， 则有， 化简方程得：， 解得或，C正确. 【题型5】 求与已知直线平行或垂直的直线 基础知识 核心知识 与平行的直线可设为 与垂直的直线可设为 平行直线斜率相等垂直直线斜率乘积为（斜率都存在） 方法技巧 1.平行直线：x y的系数保持不变仅改动常数项代入定点求常数 2.垂直直线：交换x y系数其中一个变号再代入定点求解参数 3.已知定点时使用待定系数法把点带入设好的直线方程 4.求出方程后检验斜率关系验证平行或垂直 典型例题 【例题1】（25-26高二·全国·暑假作业）已知直线过点，且与两点，的连线垂直，则直线的方程为_________． 【答案】 【分析】根据两条斜率存在的直线垂直时，斜率乘积为，求出直线的斜率，代入点斜式方程求出直线方程即可. 【详解】解：因为，，，所以直线的斜率， 又直线与直线垂直，设直线的斜率为，则，所以， 因为直线过点，代入直线点斜式方程得，化简得. 【例题2】（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知直线l过点且与直线垂直，则直线l方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直时斜率的关系，以及点斜式方程定义，求出结果即可. 【详解】直线的斜率为，则与它垂直的直线l的斜率为， 又直线l过点，，即. 故选：A. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·青海·阶段检测）已知直线经过点，． (1)若直线经过点且平行于直线，求直线的一般式方程； (2)若直线经过点且垂直于直线，求直线的一般式方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线的斜率，再利用平行关系求出直线的斜率，进而求出直线方程； （2）先根据垂直关系求出直线斜率，再结合点求出直线方程． 【详解】（1）直线经过点，， 直线的斜率为， 直线平行于直线，直线的斜率为， 又直线经过点， 直线的方程为，一般式方程为．      （2）直线垂直于直线，直线的斜率，解得， 又直线经过点， 直线的方程为，其一般式方程为．    【巩固练习2】（25-26高二上·广东湛江·期中）求满足下列条件的直线方程（最后答案以直线方程的一般式表示）： (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知，，求线段的垂直平分线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入，解得， 可得， 所以直线方程为：． （2）由题意知，，则线段的中点， 直线的斜率， 因为直线与直线垂直，则有，所以， 再由直线经过点， 则由点斜式方程可得直线的方程为：， 化为一般式为：． 【巩固练习3】求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行直线的斜率相等即可求解； （2）根据互相垂直的直线的斜率乘积为，从而求解直线方程. 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入， 解得，可得， 所以所求的直线方程为； （2）设与直线垂直的直线方程为， 由于过点，代入，解得， 可得， 所以所求的直线方程为. 【题型6】 直线平行与垂直在几何中的应用 基础知识 核心知识 利用平行垂直判定四边形形状如平行四边形矩形直角梯形 利用斜率计算垂直证明三角形为直角三角形 方法技巧 1.已知多边形顶点坐标求出各边所在直线斜率 2.平行四边形：两组对边斜率分别相等；矩形：两组对边平行且邻边垂直 3.证明直角：找到两条邻边斜率乘积等于或者一水平一竖直 4.解题画图辅助标出顶点坐标防止算错两点斜率 典型例题 【例题1】（26-27高二上·河南郑州·阶段检测）已知点，，，是的垂心，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，因为，且，所以. 又因为，，所以，解得，因此. 【例题2】（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； 【答案】(1) (2)等腰直角三角形. 【分析】（1）根据题意，由中点公式求得，结合直线的斜率公式，即可求解； （2）利用直线的斜率公式，分别求得，得到且，得到和，进而得到的形状. 【详解】（1）解：因为，，且为的中点， 设，由中点公式得，即， 又因为，可得直线的斜率为. （2）解：因为，，，且， 由斜率公式，可得， 又因为，所以，即，所以为直角三角形， 又由为的中点，且，所以，所以为等腰三角形 所以为等腰直角三角形. 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知点是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点C的坐标，再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标. 【详解】设C点坐标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则，， ∴，则， ∴点C的坐标为. 故选：D. 【巩固练习2】在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【答案】由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 因为，所以，即； 由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 则直线与的斜率之积为， 所以. 【分析】利用斜率公式求得直线与的斜率，从而利用直线垂直的性质得到，再求得直线与的斜率之积，由此得证. 【巩固练习3】数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A（4，0），B（0，2），且AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为（　 　） A．2x+y﹣3＝0 B．2x﹣y﹣3＝0 C．x﹣2y+3＝0 D．x﹣2y﹣3＝0 【答案】B 【分析】先由A（4，0），B（0，2）求出线段AB的垂直平分线，再由AC＝BC判断出其即为△ABC的欧拉线. 【详解】因为A（4，0），B（0，2）， 所以线段AB的中点为（2，1）， 所以线段AB的垂直平分线为：y＝2（x﹣2）+1，即2x﹣y﹣3＝0， ∵AC＝BC，∴三角形的外心、重心、垂心依次位于AB的垂直平分线上， 因此△ABC的欧拉线方程为2x﹣y﹣3＝0. 故选：B. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高三下·北京·阶段检测）“”是“直线：和直线：平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】必要性：若直线和平行，则有，解得或， 当时，，不成立，无意义，舍去， 故两直线平行必有，必要性成立； 充分性：时，直线为，直线为， 因为，且，所以两直线平行，充分性成立； 综上所述，“”是“直线和平行”的充分必要条件． 2．（25-26高二上·湖北·期末）直线的倾斜角为，的一个方向向量为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线的倾斜角和的方向向量分别求出两直线的斜率，再利用两直线垂直的条件计算即可. 【详解】直线的斜率，直线的斜率， 由，得， 故. 故选：B. 3．（25-26高二上·湖南长沙·期末）已知直线，的斜率，是关于的方程 的两根，若，则实数（ ） A． B．2 C． D．8 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合两直线垂直的性质进行求解即可. 【详解】两直线垂直，斜率之积为. 由一元二次方程根与系数关系可知，，故，解得. 故选：A 4．（25-26高二上·天津和平·期末）已知直线与直线：平行，且直线与直线：垂直，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线平行及垂直系数关系计算求解参数. 【详解】因为直线与直线：平行， 所以直线的斜率为， 又因为直线与直线：垂直， 则， 则. 故选：C. 5．（25-26高三上·吉林四平·阶段检测）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件，必要条件的定义，结合两条直线平行的条件即可求出答案. 【详解】当，直线，此时，故“”是“”的充分条件， 由，得，解得，故“”是“”的必要条件， 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 6．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知，，，，若直线与垂直，那么的值为（ ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 【答案】A 【分析】根据直线垂直转化为向量的数量积为0求解即可. 【详解】, 因为直线与垂直， 所以， 解得或， 当时，，与题意不符，故舍去. 故选：A 7．（25-26高三·全国·暑假作业）已知直线；，：，设甲：；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由直线垂直得到，求得，再结合充分条件、必要条件的概念即可判断. 【详解】 ，解得或1， 故甲不能推出乙，乙能推出甲， 故甲是乙的必要不充分条件． 故选：B 8．（25-26高二上·江西宜春·期中）已知，两直线，若，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据两条直线垂直的条件及基本不等式可得. 【详解】因为，且， 所以，即，且， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高二上·广东清远·期末）已知四边形的四个顶点是，，，，则（   ） A．直线的斜率为4 B．直线的倾斜角为 C．线段的中点坐标为 D．四边形是平行四边形 【答案】AC 【分析】A选项，由两点斜率公式得到A正确；B选项，得到直线的斜率，从而得到直线的倾斜角；C选项，由中点坐标公式可得C正确；D选项，得到与不平行，D错误. 【详解】A选项，直线的斜率为，A正确； B选项，直线的斜率为，故直线的倾斜角不为，B错误； C选项，线段的中点坐标为，C正确； D选项，，显然，故与不平行， 故四边形不是平行四边形，D错误. 故选：AC 三、填空题 10．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是______. 【答案】7 【分析】根据斜率相等计算. 【详解】由题意得，直线的斜率为，直线的斜率为， 则，得. 故答案为：. 11．（25-26高二上·上海·阶段检测）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，，，若直线与的欧拉线平行，则实数的值为________ 【答案】 【分析】根据题意，求得的重心和外心，进而求得的欧拉线的方程，结合两直线平行，即可求解. 【详解】由的顶点为， 可得的重心为，即为， 由为直角三角形，所以外心在斜边的中点，即， 又，所以三角形的欧拉线方程为，即， 因为直线与平行， 可得，解得或. 当时直线与重合，不符合题意； 当时直线与平行，符合题意； 综上可得. 故答案为：. 12．（25-26高三上·江苏宿迁·期中）若方程表示两条平行的直线，则的值为__________. 【答案】2 【分析】将所给方程进行配凑化简，可得，由题意，两直线平行，求得，分别代入检验，即可得答案. 【详解】方程可化为， 即， 所以， 则或， 因为表示两条平行的直线， 所以，解， 当时，两直线为和，符合题意， 当时，两直线为和，即， 则两直线重合，不符合题意，所以的值为2. 故答案为：2 四、解答题 13．（2026高二·全国·专题练习）已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)求边上的中线所在直线的斜率； (2)求边上的高所在直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出中点坐标，再由两点斜率公式即可求解； （2）首先由两点斜率公式求出直线的斜率，然后根据垂直关系求出边上的高所在直线的斜率，最后根据点斜式方程即可求解． 【详解】（1）由，，得的中点； 则边上的中线的斜率为． （2）由，，可得直线的斜率为， 则边上的高所在直线的斜率为． 14．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知两条直线. (1)若，求； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线垂直可得； （2）利用两直线平行可求得，再排除重合的情况即可. 【详解】（1）若，得，解得. （2）由，得，解得， 因为，所以或，此时直线与的纵截距分别为和. 因为当时，，此时两直线重合， 因为当时，，此时， 故. 15．（2026高二·全国·专题练习）根据条件求值 (1)若直线和直线平行，求m的值； (2)已知直线，直线，且，求m的值． 【答案】(1). (2)或. 【详解】（1）因为直线和直线平行， 则，解得或， 经检验时两条直线重合舍去，所以． （2）因为直线与直线垂直， 所以，即，解得或. 16．（26-27高二上·河南郑州·阶段检测），， (1)若直线的倾斜角的取值范围是，求实数的取值范围． (2)若是直角三角形，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用两点的坐标计算斜率，根据倾斜角的取值范围，确定斜率的取值范围，根据斜率的取值范围计算参数； （2）讨论直角，根据直线垂直，斜率相乘得计算参数的值． 【详解】（1）由直线的倾斜角的取值范围是，得到 当直线的斜率存在，即当时，或． ，或，解得或； 当直线的斜率不存在时，，符合题意． 综上，实数的取值范围是． （2）由，，； 可知，；； 若为直角，则，，解得； 若为直角，则，，此时无解； 若为直角，则，，解得； 综上，实数或． $2.1.2 两直线平行与垂直的判定 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．（1）两条直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，则有_ _______．特别地，当直线，的斜率都不存在时，与___平行_____． （2）两条直线垂直 如果两条直线，斜率都存在，设为，，则_ _______，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线_垂直_______． 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 由斜率判定两直线平行 基础知识 核心知识 设两条直线斜率都存在 且 若两条直线斜率都不存在两直线均垂直x轴此时两直线平行 方法技巧 1.先判断两条直线斜率是否存在分斜率存在斜率均不存在两类讨论 2.斜率相等不能直接判定平行必须检验截距不相等排除两直线重合情况 3.若一条斜率存在一条斜率不存在两直线一定不平行 4.做题勿忘区分重合和平行重合不属于平行 典型例题 【例题 1】（25-26高二上·四川达州·期末）下列直线中与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【巩固练习2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【巩固练习3】（24-25高一上·甘肃武威·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．垂直 【题型2】 由斜率判定两直线垂直 基础知识 核心知识 两条直线斜率都存在时 一条直线斜率为0另一条直线斜率不存在两直线互相垂直 方法技巧 1.优先讨论斜率是否存在不要直接套用 2.只适用于两条直线斜率全部存在的场景 3.若一条水平一条竖直直接判定垂直不需要计算斜率 4.判定垂直可以用向量法辅助验证方向向量点积为0 典型例题 【例题1】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知直线，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 【例题2】（25-26高二上·山东济南·阶段检测）两直线，的方程分别为和为实常数，为第三象限角，则两直线，的位置关系是（    ） A．相交且垂直 B．相交但不垂直 C．平行 D．不确定 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【巩固练习2】（25-26高二上·天津·阶段检测）直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【巩固练习3】（2025高二上·全国·专题练习）（多选）已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型3】 由两直线平行求参数 基础知识 核心知识 直线一般式 平行条件且 斜率式：截距不等 方法技巧 1.方法一斜率法：写出斜率令解参数后检验截距排除重合 2.方法二一般式系数法：利用交叉相乘相等列式再检验常数项避免重合 3.求出参数后一定要回代原式检验排除两直线重合的增根 4.注意讨论直线斜率不存在的特殊情况 典型例题 【例题1】（25-26高一下·陕西西安·期末）已知两条直线：，：，若，则实数______. 【例题2】（25-26高一下·山西长治·期末）若直线：与直线：平行，则实数________. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·上海嘉定·期末）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，直线与直线平行，则是______． 【巩固练习2】若直线与平行，求的值. 【巩固练习3】（2026·重庆渝中·模拟预测）已知直线：与直线：平行，则实数的值为（   ） A．-1 B．0 C．3 D．-1或3 【题型4】 由两直线垂直求参数 基础知识 核心知识 斜率均存在： 一般式 垂直等价条件：此公式不用讨论斜率是否存在 方法技巧 1.优先选用一般式垂直公式可以规避斜率不存在的漏解问题 2.使用斜率公式时要单独讨论一条斜率为0一条不存在的特殊垂直情况 3.解出参数后代回验证确保满足垂直关系 4.含多参数题目分类讨论直线斜率存在与否 典型例题 【例题1】（26-27高二上·浙江·开学考试）已知，，直线和垂直，则的最小值为______． 【例题2】（25-26高二下·上海宝山·期末）若与垂直，则________. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（24-25高二上·湖南株洲·期末）若直线与直线垂直，则（     ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高二下·河北·期末）若直线与直线垂直，则__________. 【巩固练习3】（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知直线：，：，若，则实数的值为（     ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 【题型5】 求与已知直线平行或垂直的直线 基础知识 核心知识 与平行的直线可设为 与垂直的直线可设为 平行直线斜率相等垂直直线斜率乘积为（斜率都存在） 方法技巧 1.平行直线：x y的系数保持不变仅改动常数项代入定点求常数 2.垂直直线：交换x y系数其中一个变号再代入定点求解参数 3.已知定点时使用待定系数法把点带入设好的直线方程 4.求出方程后检验斜率关系验证平行或垂直 典型例题 【例题1】（25-26高二·全国·暑假作业）已知直线过点，且与两点，的连线垂直，则直线的方程为_________． 【例题2】（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知直线l过点且与直线垂直，则直线l方程为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·青海·阶段检测）已知直线经过点，． (1)若直线经过点且平行于直线，求直线的一般式方程； (2)若直线经过点且垂直于直线，求直线的一般式方程． 【巩固练习2】（25-26高二上·广东湛江·期中）求满足下列条件的直线方程（最后答案以直线方程的一般式表示）： (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知，，求线段的垂直平分线的方程． 【巩固练习3】求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程. 【题型6】 直线平行与垂直在几何中的应用 基础知识 核心知识 利用平行垂直判定四边形形状如平行四边形矩形直角梯形 利用斜率计算垂直证明三角形为直角三角形 方法技巧 1.已知多边形顶点坐标求出各边所在直线斜率 2.平行四边形：两组对边斜率分别相等；矩形：两组对边平行且邻边垂直 3.证明直角：找到两条邻边斜率乘积等于或者一水平一竖直 4.解题画图辅助标出顶点坐标防止算错两点斜率 典型例题 【例题1】（26-27高二上·河南郑州·阶段检测）已知点，，，是的垂心，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； 巩固练习 题型 【巩固练习1】已知点是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【巩固练习3】数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A（4，0），B（0，2），且AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为（　 　） A．2x+y﹣3＝0 B．2x﹣y﹣3＝0 C．x﹣2y+3＝0 D．x﹣2y﹣3＝0 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高三下·北京·阶段检测）“”是“直线：和直线：平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高二上·湖北·期末）直线的倾斜角为，的一个方向向量为，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖南长沙·期末）已知直线，的斜率，是关于的方程 的两根，若，则实数（ ） A． B．2 C． D．8 4．（25-26高二上·天津和平·期末）已知直线与直线：平行，且直线与直线：垂直，则实数（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·吉林四平·阶段检测）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知，，，，若直线与垂直，那么的值为（ ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 7．（25-26高三·全国·暑假作业）已知直线；，：，设甲：；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（25-26高二上·江西宜春·期中）已知，两直线，若，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·广东清远·期末）已知四边形的四个顶点是，，，，则（   ） A．直线的斜率为4 B．直线的倾斜角为 C．线段的中点坐标为 D．四边形是平行四边形 三、填空题 10．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是______. 11．（25-26高二上·上海·阶段检测）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，，，若直线与的欧拉线平行，则实数的值为________ 12．（25-26高三上·江苏宿迁·期中）若方程表示两条平行的直线，则的值为__________. 四、解答题 13．（2026高二·全国·专题练习）已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)求边上的中线所在直线的斜率； (2)求边上的高所在直线的斜率． 14．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知两条直线. (1)若，求； (2)若，求的值. 15．（2026高二·全国·专题练习）根据条件求值 (1)若直线和直线平行，求m的值； (2)已知直线，直线，且，求m的值． 16．（26-27高二上·河南郑州·阶段检测），， (1)若直线的倾斜角的取值范围是，求实数的取值范围． (2)若是直角三角形，求实数的值． $