精品解析：陕西延安新区外国语学校2026-2027学年上学期新学期学业情况诊断九年级数学练习

新学期学业情况诊断练习 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算的值为（ ） A. B. C. 5 D. 2. 下列各式中，是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 小磊复印一批文件，他每分钟可复印10张，分钟可以复印张．下列说法正确的是（ ） A. 10、都是常量 B. 10、都是变量 C. 10是常量，是变量 D. 10是变量，是常量 4. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，直线向上平移4个单位长度，平移后的直线与x轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 教练员依据成员的投篮成绩将位同学的得分分为和两组，则这样分组的组内离差平方和为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在Rt中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 5 C. D. 8. 已知一次函数的图象经过点，，若，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 二次函数的图象的开口方向是向________（填“上”或“下”） 10. 某市8月某周的空气质量指数（AQI）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为________ 11. 语文老师要求同学们在暑假阅读一本名著，共计260页．凡凡同学计划每天读10页，则剩余未读页数y（页）与所读天数x（天）之间的函数关系式为________． 12. 如果一个正多边形的内角和为，那么该正多边形的一个外角的度数为________． 13. 关于x的一元二次方程的两根是、，若，则m= _____． 14. 如图，在矩形中，，为边的中点，为矩形外一个动点．且，则线段的最大值为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解方程：． 17. 如图，一棵米高的大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶端落在点处，离这棵大树底端点米远有一辆小轿车，试判断树枝落地时是否会砸着小轿车，并说明理由．     18. 如图，已知，请用尺规作图法，分别在，，边上取点D，E，F，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，E、F分别为正方形ABCD的边DC、BC中点．求证：． 20. 用描点法画出二次函数的图象，列表如下： x … 0 2 4 y … m 0 n （1）填空：________；________； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象． 21. 某新能源科技公司研发出一款新型家用充电桩适配数据线，某门店购进一批，第1周的销量为125条，第3周的销量达到180条．若该门店第2周、第3周这两周的周平均增长率相同，求该门店第2周、第3周这两周该数据线销量的周平均增长率． 22. 某经销商购进A、B两种品种的樱桃共60千克进行零售，已知A品种樱桃的收购价为40元/千克，B品种樱桃的收购价为30元/千克，若设购进A品种樱桃x千克，购进总费用为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若A品种樱桃数量不超过B品种樱桃数量的2倍，则购进A、B两种品种樱桃的总费用最少为多少元？ 23. 运算能力是数学学科的核心素养之一，它既是解决生活实际问题的必备技能，也是学生理解数学概念、解决数学问题的重要基础．为了进一步了解学生的计算情况，数学老师对某次计算专项训练考试中第20题计算题的得分情况进行了调查．现分别从A、B两班各随机抽取10名学生的成绩，绘制成如下图表．其中，如图是A班10名学生的成绩统计图，如表是A，B两班10名学生的成绩统计表，B班10名学生的成绩（单位：分）分别为：7，7，7，8，8，9，9，9，9，9． A、B两班10名学生的成绩统计表 A班 B班 平均数 a 中位数 b 众数 8 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）求A班所抽取学生成绩的平均数； （3）根据以上数据，你认为A、B两个班哪个班计算题掌握得更好？请说明理由．（写出一条即可） 24. 如图，在中，，于点D，延长到点E，使．过点E作交的延长线于点F，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，则的长为____________． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于、两点，过点的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点 （1）求直线的函数解析式； （2）若点是射线上的动点，且，求点的坐标． 26. 探究并应用： 【问题探究】 （1）如图1，在中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，以、为邻边作，求证：四边形是菱形； 【拓展应用】 （2）如图2，某小区有一块形如的因置空地，其中，点B与点D之间的距离为米，物业工作人员准备规划这片场地（周围土地可利用），作的平分线交于点E，交的延长线于点F，以、为邻边作，将区域设置为小型工具房，在的中点M处安装监控摄像头，监控摄像头M处的用电由点D处的供电箱提供、连接，求电线的长度．（监控摄像头、供电箱的大小以及电线的宽度均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新学期学业情况诊断练习 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 计算的值为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可得出结果． 【详解】解：． 2. 下列各式中，是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，为常数）的整式函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是分式，不是整式，不符合定义，该选项不符合题意； B、整理得，符合，符合二次函数定义，该选项符合题意； C、中x的最高次数为1，是一次函数，该选项不符合题意； D、中，一个x对应两个不同的y值，y不是x的函数，该选项不符合题意． 3. 小磊复印一批文件，他每分钟可复印10张，分钟可以复印张．下列说法正确的是（ ） A. 10、都是常量 B. 10、都是变量 C. 10是常量，是变量 D. 10是变量，是常量 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了常量和变量的定义，根据常量是固定不变的量，变量是变化的量即可得出答案． 【详解】解：由题意得：10是常量，是变量， 故选：C． 4. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将方程常数项移到等号右侧，在等式两边加一次项系数一半的平方，再利用完全平方公式整理即可解答． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． 5. 在平面直角坐标系中，直线向上平移4个单位长度，平移后的直线与x轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据一次函数的平移规律，得出平移后的函数解析式，再求出当时的自变量取值，即可解答． 【详解】解：直线向上平移4个单位长度，平移后的解析式为， 令，则， 解得：， 平移后的直线与x轴的交点坐标为． 6. 教练员依据成员的投篮成绩将位同学的得分分为和两组，则这样分组的组内离差平方和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分组先分别求出两组数据的平均数，再分别计算每组的组内离差平方和，最后求和得到总的组内离差平方和． 【详解】解：由题意得，前组数据为、后组数据为， 计算第一组的平均数：， 第一组的离差平方和：； 计算第二组的平均数：， 第二组的离差平方和：， 总的组内离差平方和． 7. 如图，在Rt中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若．则图中阴影部分的面积为（ ） A. 6 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理，可以得到之间的关系，然后根据，可以得到的值，从而可以得到的值，进而求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵为直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴图中阴影部分的面积为， 故选：B． 8. 已知一次函数的图象经过点，，若，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质和一次函数的函数值计算，明确的正负是解题关键． 由条件，和推导出，据此对选项依次进行判断． 【详解】解：∵ 点和在函数上， ∴，， ∵， ∴，化简得， ∴， ∴， 对于点，有， ∵， ∴， ∴，故 一定正确，选项正确； 选项：错误，应该是； 选项：错误，由且可知； 选项：，不一定成立，如时，． 故选：． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 二次函数的图象的开口方向是向________（填“上”或“下”） 【答案】 下 【解析】 【分析】根据二次函数二次项系数的正负即可判断开口方向，二次项系数大于0时开口向上，小于0时开口向下． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数， ∴二次函数的图象开口方向向下． 10. 某市8月某周的空气质量指数（AQI）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据箱线图的分布特点即可解答． 【详解】解：箱线图数据分布如下： 观察箱线图可知下四分位数为． 11. 语文老师要求同学们在暑假阅读一本名著，共计260页．凡凡同学计划每天读10页，则剩余未读页数y（页）与所读天数x（天）之间的函数关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】剩余未读页数等于总页数减去已读页数，已读页数为每天读的页数乘所读天数，据此推导关系式． 【详解】解：∵每天读10页，所读天数为天， ∴已读的页数为页， ∵总页数为260页，剩余未读页数为页， ∴剩余页数满足关系式． 12. 如果一个正多边形的内角和为，那么该正多边形的一个外角的度数为________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识，根据正多边形的内角和定义列方程求出多边形的边数，再根据正多边形内角和为、且每个外角相等求解可得． 【详解】解：多边形内角和， ∴， 则正多边形的一个外角， 故答案为：． 13. 关于x的一元二次方程的两根是、，若，则m= _____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得，，则，然后解方程即可． 【详解】根据根与系数的关系得：，， ∴ 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数关系表达式，并会熟练计算． 14. 如图，在矩形中，，为边的中点，为矩形外一个动点．且，则线段的最大值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接，，通过矩形的性质结合勾股定理求出，再运用中位线定理求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，最后根据三角形的三边关系得、、三点共线时最大即可求解． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接，， 矩形中，，，， ，， 根据勾股定理，， 为的中点，为的中点， ， ， ， 由三角形的三边关系得、、三点共线时最大， 此时． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解答即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 17. 如图，一棵米高的大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶端落在点处，离这棵大树底端点米远有一辆小轿车，试判断树枝落地时是否会砸着小轿车，并说明理由．     【答案】树枝落地时不会砸着小轿车，理由如下： 根据题意可知：，，， ∴， ∵， ∴树枝落地时不会砸着小轿车． 【解析】 【分析】由勾股定理得出的长，再与米比较即可得出答案． 【详解】略 18. 如图，已知，请用尺规作图法，分别在，，边上取点D，E，F，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，菱形即为所求作．（作法不唯一） 由作图可知：平分，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定及尺规作图，熟练掌握菱形的判定及尺规作图是解题的关键；先作出的角平分线，然后作线段的线段垂直平分线，进而问题可求解． 【详解】略 19. 如图，E、F分别为正方形ABCD的边DC、BC中点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得AD=AB=DC=BC,∠D=∠B=90°，再结合E、F分别为DC、BC中点，可得DE=DC、BF=BC,即DE=BF，然后运用SAS证明△EDA≌△FBA,最后利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵正方形ABCD ∴AD=AB=DC=BC,∠D=∠B=90° ∵E、F分别为DC、BC中点 ∴DE=DC、BF=BC,即DE=BF 在△EDA和△FBA中 ∴△EDA≌△FBA（SAS） ∴AE=AF． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定和性质定理是解答本题的关键． 20. 用描点法画出二次函数的图象，列表如下： x … 0 2 4 y … m 0 n （1）填空：________；________； （2）在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）求出和时的函数值即可得到答案； （2）根据表格中的数据利用描点法画函数图象即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，， 当时，， ∴； 【小问2详解】 略 21. 某新能源科技公司研发出一款新型家用充电桩适配数据线，某门店购进一批，第1周的销量为125条，第3周的销量达到180条．若该门店第2周、第3周这两周的周平均增长率相同，求该门店第2周、第3周这两周该数据线销量的周平均增长率． 【答案】该门店第2周、第3周这两周该数据线销量的周平均增长率为． 【解析】 【分析】设该门店第2周、第3周这两周该数据线销量的周平均增长率为，根据题意列方程即可解答． 【详解】解：设该门店第2周、第3周这两周该数据线销量的周平均增长率为， 则 解得，（不符合实际意义，舍去） ， 答：该门店第2周、第3周这两周该数据线销量的周平均增长率为． 22. 某经销商购进A、B两种品种的樱桃共60千克进行零售，已知A品种樱桃的收购价为40元/千克，B品种樱桃的收购价为30元/千克，若设购进A品种樱桃x千克，购进总费用为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若A品种樱桃数量不超过B品种樱桃数量的2倍，则购进A、B两种品种樱桃的总费用最少为多少元？ 【答案】（1） （2）1800元 【解析】 【分析】（1）根据总费用为A、B两种樱桃的收购费用之和，再代入数量与单价，然后化简即可解答； （2）先根据A、B的数量确定x的取值范围，再结合一次函数的增减性确定总费用最小时的x值，进而计算最小值即可． 【小问1详解】 解：由题意得，购进B品种樱桃千克且， 购进总费用为化简得， 所以y与x之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：∵A品种樱桃数量不超过B品种樱桃数量的2倍， ∴ ， 解得． ∵， ∴ 在中，， ∴ y随x的增大而增大． 又∵， ∴当时，y取得最小值，y最小． 答：购进A、B两种品种樱桃的总费用最少为1800元． 23. 运算能力是数学学科的核心素养之一，它既是解决生活实际问题的必备技能，也是学生理解数学概念、解决数学问题的重要基础．为了进一步了解学生的计算情况，数学老师对某次计算专项训练考试中第20题计算题的得分情况进行了调查．现分别从A、B两班各随机抽取10名学生的成绩，绘制成如下图表．其中，如图是A班10名学生的成绩统计图，如表是A，B两班10名学生的成绩统计表，B班10名学生的成绩（单位：分）分别为：7，7，7，8，8，9，9，9，9，9． A、B两班10名学生的成绩统计表 A班 B班 平均数 a 中位数 b 众数 8 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________； （2）求A班所抽取学生成绩的平均数； （3）根据以上数据，你认为A、B两个班哪个班计算题掌握得更好？请说明理由．（写出一条即可） 【答案】（1）；9 （2）分 （3）解：B班计算题掌握得更好，理由如下： 两班平均分相同，但B班的中位数（分）高于A班的中位数（8分），说明B班半数以上学生的成绩不低于分，整体中等水平更优，成绩分布更集中稳定，且B班的众数也高于A班的众数， ∴B班计算题掌握得更好． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据平均数的定义求解即可； （3）两班平均分相同，对比中位数和众数，B班中位数和众数都更高，据此可得结论． 【小问1详解】 解：把A班10名学生的成绩按照从低到高的顺序排列为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10， ∴A班10名学生的成绩的中位数为（分），即； ∵B班10名学生的成绩中，得分为9分的人数最多， ∴B班10名学生的成绩的众数为9分，即； 【小问2详解】 解：由题意得（分）， ∴A班所抽取学生成绩的平均数为分； 【小问3详解】 略 24. 如图，在中，，于点D，延长到点E，使．过点E作交的延长线于点F，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，则的长为____________． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）证，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由等腰三角形的性质得，由平行四边形的性质得，进而由勾股定理得的长，据此计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于、两点，过点的直线交轴正半轴于点，且点为线段的中点 （1）求直线的函数解析式； （2）若点是射线上的动点，且，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）先根据求出、两点坐标，从而求出点的坐标，再用待定系数法求解即可； （2）先求出，设点的横坐标为，根据求出，据此计算即可求出坐标． 【小问1详解】 解：关于， 令，则， 解得， ； 令，则， ； ， 点为线段的中点， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得，，， ， ， 设点的横坐标为， ， ， ， 解得， 由（1）得直线的函数解析式为， 当时，， ； 当时，， ； 综上所述，点的坐标为或． 26. 探究并应用： 【问题探究】 （1）如图1，在中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，以、为邻边作，求证：四边形是菱形； 【拓展应用】 （2）如图2，某小区有一块形如的因置空地，其中，点B与点D之间的距离为米，物业工作人员准备规划这片场地（周围土地可利用），作的平分线交于点E，交的延长线于点F，以、为邻边作，将区域设置为小型工具房，在的中点M处安装监控摄像头，监控摄像头M处的用电由点D处的供电箱提供、连接，求电线的长度．（监控摄像头、供电箱的大小以及电线的宽度均忽略不计） 【答案】（1）证明：平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形； （2）米 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形性质得到两组平行线，结合角平分线进行角的等量代换，证得，得到邻边，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可完成证明； （2）先证明四边形为矩形，由（1）得四边形是菱形，结合直角推出四边形是正方形，由点M是中点可证为等腰直角三角形，已知斜边米，利用勾股定理即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， ，，， ， 由（1）得四边形是菱形， 四边形是正方形， 点M是的中点，正方形对角线互相平分， 点M四边形对角线的交点， ，，， ，，， ， ， 如图，连接，， 在和中， ， ， ，， ， 在中，米，， ， ， 米， 米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $