精品解析：宁夏银川外国语实验学校2026-2027学年第一学期阶段性学业评价初二数学试卷

2026~2027学年第一学期阶段性学业评价 初二数学试卷 时间：100分钟 分值：100分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在实数：，，，，，中，无理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的概念判断即可． 【详解】解：在所列实数中，无理数有，这个． 2. 下列各组数中，不是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 6，8，10 C. 7，24，25 D. 1.5，2，2.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股数的判断，勾股数必须为正整数且满足两小边的平方和等于最大边的平方，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，且均为正整数，是勾股数． B、，且均为正整数，是勾股数． C、，且均为正整数，是勾股数． D、，但1.5、2、2.5不全是正整数，因此不是勾股数． 故选：D． 3. 的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了求算术平方根和平方根， 先计算的值，再求其平方根．注意区分算术平方根与平方根的概念． 【详解】的平方根是． 故选：C． 4. 下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数或式子；②被开方数不含分母，据此求解即可． 【详解】选项A：，被开方数7是质数，无平方因数且不含分母，符合最简二次根式的条件． 选项B：，即，被开方数含分母10，故不是最简二次根式． 选项C：，被开方数12可分解为，其中4是平方数，即被开方数中含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式． 选项D：，被开方数为完全平方数，即被开方数中含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式，故不符合条件． 故选：A． 5. 我们知道是一个无理数，用四舍五入法把的结果保留一位小数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算．先确定，再根据四舍五入法保留一位小数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴用四舍五入法把的结果保留一位小数为， 故选：B． 6. 如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为，高度为，吸管长为（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为，则最小为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据题意，利用勾股定理求出吸管在杯内的最大长度，即可得出结果． 【详解】解：如图，由题意，得：， 由勾股定理，得：， ∴最小； 故选B． 7. 下列各式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求绝对值，求算术平方根，求立方根，实数的大小比较． 估算出的取值范围，可判断A、D，根据算术平方根的定义，立方根的定义，可判断B、C． 【详解】解：∵， ∴， ∴，A错误； ，B错误； ，C错误； ∵， ∴，D正确； 故选：D． 8. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是（　　）． A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 【答案】C 【解析】 【分析】本题将实际问题转化为直角三角形模型，利用勾股定理列方程即可求解水深． 【详解】解：∵水池边长为丈，丈尺，葭生长在池中央， ∴池中心到岸边的水平距离为尺， 设池水深度为尺，则葭长为尺，引葭到岸边后，水深、池中心到岸边的水平距离、葭长构成直角三角形，葭长为斜边， 根据勾股定理可得：， 展开得：， 移项，合并同类项，得：， 解得：， ∴池水深度为尺． 9. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，整式的加减运算，熟知和绝对值的性质是解题的关键． 先判断，的取值范围，并分别判断，的符号，再根据算术平方根的性质和绝对值的性质化简，计算即可求解． 【详解】解：由题意得：且， ，， ， 故选：D． 10. 如图，已知消防云梯最长只能伸长到，消防车高，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的A处救援后，还要完成比A处高的点C处的救援，则消防车需要从点B处向点D处移动的距离为（ ）． A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，运用勾股定理求解是解题的关键． 由题意得，，，，，则，，先在中求出，再在中求出，即可由求解． 【详解】解：由题意，得，，，， ∴，， 在中，由勾股定理，得 ， 在中，由勾股定理，得 ， ∴， 即消防车需要从点处向点处移动的距离为． 故选：A． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，分别求出a和b的值，代入即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ． 12. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】先判断绝对值内的正负性，再根据绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， 根据正数的绝对值等于它本身，可得． 13. 已知一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边长的平方为________． 【答案】16或34 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，分两种情况讨论是解题的关键．分斜边长为5和不是5两种情况，分别运用勾股定理求解即可． 【详解】解：在直角三角形中， 当斜边长为5时，第三条边长的平方为； 当斜边长不为5时，第三条边长的平方为． 故答案为：16或34． 14. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据题意可得，解不等式即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，根据图中标注在点所表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数，利用勾股定理结合两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：由图和勾股定理，得：到的距离为：， ∴点所表示的数为； 故答案为：． 16. 若最简二次根式与能合并，则__________________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：由题意可得：， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了同类二次根式，解题的关键是掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 17. 如图，一张三角形纸片，，，，．将纸片沿直线折叠，使点A与点B重合，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，根据折叠的性质得到，设，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：，，， ， 由折叠的性质可得，， 设，则， 在中，， ， 整理得， 解得， ． 18. 某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为80元，则购买地毯需花费________元． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水平距离，再求出需要铺设的地毯面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得，台阶最上面和最下面的水平距离为， 购买地毯需花费（元）． 19. 中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，即圣母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生．如图所示，每根木柱有雕龙的部分的柱身高长为4米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为______． 【答案】5米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，底面周长为米，柱身高为4米， ∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点， 米，（米）， （米）， 故雕刻在木柱上的巨龙至少为（米）， 故答案为：5米． 20. 如图，一只蚂蚁要沿长为15，宽为10，高为20的长方体表面从顶点爬到上表面的边上的点处，点离点的距离为5，蚂蚁爬行的最短距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】把长方体的侧面展开，分三种情况求出线段的长，进而比较即可求解． 【详解】解：∵两点之间，线段最短， ∴蚂蚁沿着线段爬行时，路径最短， 把长方体的侧面展开，有三种情况： 如图①， ∵，， ∴； 如图②， ∵，， ∴； 如图③， ∵，， ∴； ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离是． 三、解答题（本大题共8小题，共40分） 21. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式的性质，混合运算的顺序和法则，完全平方公式，是解题的关键． （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘法和乘方运算，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 22. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】（1）把方程的两边同时开方得到两个关于的一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出方程的解； （2）把方程两边同时开立方得到一个关于的一元一次方程，解一元一次方程即可求出方程的解． 【小问1详解】 解：， 两边同时除以可得：， 两边同时开平方得：， 可得：或， 当时，可得：， 当时，可得：， 方程的解为，； 【小问2详解】 解：， 移项得：， 两边同时开立方得：， 解得：， 方程的解为． 23. 已知一个正数的两个平方根分别是和，求这个正数的立方根． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的性质可得到，从而得到x的值，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ∴这个正数为， ∴这个正数的立方根为． 24. 已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的算术平方根是4，求a＋2b的值. 【答案】9 【解析】 【分析】根据平方根的概念及算术平方根的概念求出a和b的值，然后再代入a+2b中求解即可． 【详解】解：∵2a－1的平方根是±3， ∴2a-1=9， ∴a=5， ∵3a＋b－1的算术平方根是4， ∴3a＋b－1=16，将a=5代入， ∴3×5+b-1=16， ∴b=2， ∴a+2b=5+2×2=9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了算术平方根与平方根的定义，熟练掌握平方根及算术平方根的性质和定义是解决本题的关键． 25. 阅读下列材料： 因为，即， 所以的整数部分为，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： 如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据阅读材料中提供的解题思路得到、，再把字母的值代入代数式求值． 【详解】解：， ， 的整数部分为， 的小数部分为， ， ， 的整数部分为， . 26. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： （1）试说明： （2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值． 【答案】（1） 证明：∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为， ∴ ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的变形应用．解题的关键在于明确与面积的关系． （1）根据大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积计算即可； （2）由图可得到和的值，进而求出，代入，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：大正方形面积为13， ， ， ， 又小正方形面积为3， ， ， ， ． 27. 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少？（杯壁厚度不计），请画出平面展开图并计算结果． 【答案】 【解析】 【分析】先画出圆柱的侧面展开图，作点A关于的对称点，可得即为最短距离，在利用勾股定理，求解即可． 【详解】解：如图，将该圆柱的侧面展开，作点A关于的对称点，连接，则即为最短距离， 过点作，交的延长线于点D， 根据题意，得，，， 故由勾股定理，得． 28. 2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知、之间相距，、之间相距． （1）判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． （2）若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？ 【答案】（1）观测点会受到台风的影响，理由如下： 如图，作于点， ， ； ，， ， 由等面积可知，， ， 观测点会受到台风的影响； （2）观测点受台风影响的时间为 【解析】 【分析】（1）作，在中，根据勾股定理，求出长，由面积关系求得的长，即可求解； （2）以点为圆心以为半径画弧交于点，，，可知台风在段移动时受到影响，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，以点为圆心以为半径画弧交于点，， 则， 台风在段上移动时受到影响， ， ， ， ， 观测点受台风影响的时间有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期阶段性学业评价 初二数学试卷 时间：100分钟 分值：100分 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在实数：，，，，，中，无理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 下列各组数中，不是勾股数的是（ ） A. 3，4，5 B. 6，8，10 C. 7，24，25 D. 1.5，2，2.5 3. 的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 2 4. 下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A. B. C. D. 5. 我们知道是一个无理数，用四舍五入法把的结果保留一位小数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为，高度为，吸管长为（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为，则最小为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 7. 下列各式正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是（　　）． A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 9. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知消防云梯最长只能伸长到，消防车高，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的A处救援后，还要完成比A处高的点C处的救援，则消防车需要从点B处向点D处移动的距离为（ ）． A. 8 B. 7 C. 4 D. 3 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 11. 若，则__________． 12. 计算：______． 13. 已知一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边长的平方为________． 14. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 15. 如图，根据图中标注在点所表示的数为______． 16. 若最简二次根式与能合并，则__________________． 17. 如图，一张三角形纸片，，，，．将纸片沿直线折叠，使点A与点B重合，则的长是______． 18. 某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为80元，则购买地毯需花费________元． 19. 中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，太原晋祠宋代木雕盘龙，即圣母殿前的八根木雕盘龙是我国现存最早的木雕盘龙，其形象雕刻得栩栩如生．如图所示，每根木柱有雕龙的部分的柱身高长为4米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方的点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为______． 20. 如图，一只蚂蚁要沿长为15，宽为10，高为20的长方体表面从顶点爬到上表面的边上的点处，点离点的距离为5，蚂蚁爬行的最短距离是________． 三、解答题（本大题共8小题，共40分） 21. 计算 （1）； （2）． 22. 解方程： （1） （2） 23. 已知一个正数的两个平方根分别是和，求这个正数的立方根． 24. 已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的算术平方根是4，求a＋2b的值. 25. 阅读下列材料： 因为，即， 所以的整数部分为，小数部分为． 请根据材料提示，进行解答： 如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 26. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题： （1）试说明： （2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求的值． 27. 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少？（杯壁厚度不计），请画出平面展开图并计算结果． 28. 2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知、之间相距，、之间相距． （1）判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． （2）若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $