第 2 章 《有理数的运算》【素养培优卷】2026-2027 学年人教版七年级上册数学

第 2 章 《有理数的运算》【素养培优卷】2026-2027 学年人教版七年级上册数学 满分 100 分 考试时长 90 分钟 共 24 小题 班级：＿＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿ 得分：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题只有一个正确选项） 1．定义一种新运算：a⊗b＝ab−a−b．例如 1⊗2＝1×2−1−2＝−1．若 3⊗x＝17，则 x 的值为（　　） A．5　　B．10　　C．−10　　D．7 2．观察一列数：3，−6，12，−24，48，…，按此规律，第 8 个数是（　　） A．384　　B．−384　　C．768　　D．−768 3．计算 1＋2−3−4＋5＋6−7−8＋…＋2025＋2026 的结果是（　　） A．2027　　B．−2027　　C．0　　D．2026 4．已知 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，则 (a＋b)2026＋(−cd)2025 的值为（　　） A．1　　B．−1　　C．0　　D．2 5．已知 x2＝9，y2＝4，且 xy＜0，则 x＋y 的值为（　　） A．1　　B．−1　　C．±1　　D．±5 6．计算 (−2)2026×()2025 的结果是（　　） A．2　　B．−2　　C．1　　D． 7．阅读材料：对任意有理数 a，用 [a] 表示不大于 a 的最大整数，如 [3.7]＝3，[−2.1]＝−3．则 [−2.1]＋[3.7]−[−5] 的值为（　　） A．5　　B．−3　　C．7　　D．−5 8．观察下列等式：1×2×3×4＋1＝25＝52；2×3×4×5＋1＝121＝112；3×4×5×6＋1＝361＝192；…按此规律，6×7×8×9＋1 等于（　　） A．552　　B．542　　C．532　　D．562 9．下列说法：①若 a＋b＝0，则 a、b 一定异号；②若 ab＞0 且 a＋b＞0，则 a＞0 且 b＞0；③(−10)3÷102＝−10；④若 abc＜0（a、b、c 均不为 0），则 a、b、c 中负数有 1 个或 3 个．其中正确的个数是（　　） A．1 个　　B．2 个　　C．3 个　　D．4 个 10．对任意有理数 a、b，定义运算 a★b：当 a≥b 时，a★b＝a2−b2；当 a＜b 时，a★b＝b−a．则 (2★(−3))＋((−3)★2)2 的值为（　　） A．20　　B．−20　　C．0　　D．25 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．定义一种新运算：a▲b＝a＋b−ab．则 2▲3▲4＝＿＿＿． 12．计算 (−1)×(−1)×(−1)×…×(−1)×(−1)＝＿＿＿． 13．观察一列数：−，，−，，…，按此规律，第 2026 个数是＿＿＿． 14．阅读材料：因为 ＝×(1−)，所以 ＋＝×(1−)＋×(−)＝×(1−)＝．仿照此方法，计算 ＋＋＋…＋＝＿＿＿． 15．已知 a2＝16，b2＝9，且 a＜b，则 a−b 的值为＿＿＿． 16．阅读材料：定义 n!＝1×2×3×…×n（读作 n 的阶乘），例如 4!＝1×2×3×4＝24．则 1!＋2!＋3!＋…＋2026! 的个位数字是＿＿＿． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、演算步骤） 17．（6 分）规定一种运算程序：输入一个有理数 x，先计算 (−2)x＋4；若结果大于 −8，则将结果重新输入程序再算一次；若结果不大于 −8，则输出该结果．当输入 x＝3 时，求输出的结果（要求写出每一步的计算过程）． 18．（6 分）观察下列等式：3×5＝15，42−1＝15；5×7＝35，62−1＝35；7×9＝63，82−1＝63；… （1）仿照上例，再写出一个具有相同规律的等式； （2）利用上述规律计算 99×101； （3）利用上述规律计算 999×1001． 19．（6 分）某市出租车收费标准：3 km 以内（含 3 km）收费 10 元；超过 3 km 的部分，每千米收费 2.4 元（超过部分不足 1 km 的按 1 km 计算）．小明乘出租车行驶了 7.2 km，他应付车费多少元？ 20．（6 分）某商品原价为 100 元，第一次降价 10%，第二次又降价 10%． （1）两次降价后的售价是多少元？ （2）小明认为：「第一次降 10%，第二次又降 10%，两次共降价 20%，所以售价应为 100×(1−20%)＝80 元」．你认为小明的说法对吗？若不对，两次降价后实际相当于一次性降价百分之几？ 21．（6 分）阅读材料：相传古印度国王要奖赏国际象棋的发明者，发明者说：「请在棋盘的第 1 格放 1 粒麦粒，第 2 格放 2 粒，第 3 格放 4 粒，第 4 格放 8 粒……以后每格都是前一格的 2 倍．」 （1）棋盘第 10 格应放多少粒麦粒？ （2）求前 10 格放麦粒的总数．（提示：记 S＝1＋2＋4＋…＋29，则 2S＝2＋4＋…＋29＋210，比较两式可得 S＝210−1） 22．（7 分）已知一列数 a1＝1，a2＝2，从第 3 个数起，每个数都等于它前面相邻两个数之差，即 a3＝a2−a1，a4＝a3−a2，… （1）直接写出 a3，a4，a5，a6，a7，a8 的值； （2）这列数按一定规律循环出现，求出这个周期，并求 a2026 的值． 23．（7 分）定义新运算：a⊙b＝ab＋a＋b． （1）计算 2⊙3 与 3⊙2，你发现什么结论？ （2）计算 (2⊙3)⊙4 与 2⊙(3⊙4)，结果相等吗？ （3）换两个不同的数再试一试，猜想新运算 ⊙ 满足什么运算律（用文字表述结论）． 24．（8 分）定义新运算：a◎b＝a2−2ab＋b2．例如 (−3)◎1＝(−3)2−2×(−3)×1＋12＝9＋6＋1＝16．又知：a◎b 的结果恰好等于 (a−b)×(a−b)． （1）计算 2◎(−1)； （2）小明说：「不论 a、b 取什么值，a◎b 的结果都不会是负数」．他的说法对吗？请说明理由； （3）当 a、b 满足什么关系时，a◎b＝0？ （4）利用以上结论，直接写出 (2◎(−1))◎3 的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 2 章 《有理数的运算》【素养培优卷】2026-2027 学年人教版七年级上册数学 满分 100 分 考试时长 90 分钟 共 24 小题 班级：＿＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿ 得分：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．定义一种新运算：a⊗b＝ab−a−b．例如 1⊗2＝1×2−1−2＝−1．若 3⊗x＝17，则 x 的值为（　　） A．5　　B．10　　C．−10　　D．7 【答案】B 【解析】 按新运算的定义，3⊗x＝3x−3−x＝2x−3． 由 3⊗x＝17，得 2x−3＝17，2x＝20，解得 x＝10．故选 B。 2．观察一列数：3，−6，12，−24，48，…，按此规律，第 8 个数是（　　） A．384　　B．−384　　C．768　　D．−768 【答案】B 【解析】 这列数从第 2 个数起，每个数都是前一个数的 −2 倍，即每次在前面结果上乘 −2． 第 n 个数可以写成 3×(−2)n−1． 第 8 个数＝3×(−2)7＝3×(−128)＝−384．故选 B。 3．计算 1＋2−3−4＋5＋6−7−8＋…＋2025＋2026 的结果是（　　） A．2027　　B．−2027　　C．0　　D．2026 【答案】A 【解析】 按「两正两负」每 4 个数分成一组：1＋2−3−4＝−4，5＋6−7−8＝−4，… 每组的和都是 −4． 2026÷4＝506 余 2，即前 2024 个数恰好分成 506 组，最后剩下 2025 与 2026 两个正数． 前 506 组的和＝506×(−4)＝−2024． ∴ 原式＝−2024＋2025＋2026＝2027．故选 A。 4．已知 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，则 (a＋b)2026＋(−cd)2025 的值为（　　） A．1　　B．−1　　C．0　　D．2 【答案】B 【解析】 ∵ a、b 互为相反数，∴ a＋b＝0，故 (a＋b)2026＝02026＝0． ∵ c、d 互为倒数，∴ cd＝1，∴ (−cd)2025＝(−1)2025＝−1（−1 的奇次幂是 −1）． ∴ 原式＝0＋(−1)＝−1．故选 B。 5．已知 x2＝9，y2＝4，且 xy＜0，则 x＋y 的值为（　　） A．1　　B．−1　　C．±1　　D．±5 【答案】C 【解析】 由乘方意义：x2＝9，则 x＝3 或 x＝−3；y2＝4，则 y＝2 或 y＝−2． ∵ xy＜0，∴ x 与 y 异号，只有两种情况：x＝3，y＝−2 或 x＝−3，y＝2． 当 x＝3，y＝−2 时，x＋y＝1；当 x＝−3，y＝2 时，x＋y＝−1． ∴ x＋y 的值为 ±1．故选 C。 6．计算 (−2)2026×()2025 的结果是（　　） A．2　　B．−2　　C．1　　D． 【答案】A 【解析】 (−2)2026 是 2026 个 −2 相乘，负因数个数为偶数，结果为正，等于 22026． 把 22026 看成 2×22025（即 2025 个 2 再多乘一个 2）． ∴ 原式＝2×22025×()2025＝2×(2×)×(2×)×…×(2×)（共 2025 对）＝2×12025＝2． 故选 A。 7．阅读材料：对任意有理数 a，用 [a] 表示不大于 a 的最大整数，如 [3.7]＝3，[−2.1]＝−3．则 [−2.1]＋[3.7]−[−5] 的值为（　　） A．5　　B．−3　　C．7　　D．−5 【答案】A 【解析】 不大于 −2.1 的最大整数是 −3，故 [−2.1]＝−3； 不大于 3.7 的最大整数是 3，故 [3.7]＝3； 不大于 −5 的最大整数是 −5 本身，故 [−5]＝−5． ∴ 原式＝−3＋3−(−5)＝−3＋3＋5＝5．故选 A。 8．观察下列等式：1×2×3×4＋1＝25＝52；2×3×4×5＋1＝121＝112；3×4×5×6＋1＝361＝192；…按此规律，6×7×8×9＋1 等于（　　） A．552　　B．542　　C．532　　D．562 【答案】A 【解析】 观察每个等式中「底数」与四个连续整数的关系： 1×2×3×4＋1＝52，其中底数 5＝2×3−1（中间两数之积减 1）； 2×3×4×5＋1＝112，其中 11＝3×4−1；3×4×5×6＋1＝192，其中 19＝4×5−1． 归纳规律：四个连续整数的乘积加 1，等于「中间两个数之积减 1」的平方． ∴ 6×7×8×9＋1＝(7×8−1)2＝552． 验证：6×7×8×9＝3024，3024＋1＝3025，而 552＝3025，规律成立．故选 A。 9．下列说法：①若 a＋b＝0，则 a、b 一定异号；②若 ab＞0 且 a＋b＞0，则 a＞0 且 b＞0；③(−10)3÷102＝−10；④若 abc＜0（a、b、c 均不为 0），则 a、b、c 中负数有 1 个或 3 个．其中正确的个数是（　　） A．1 个　　B．2 个　　C．3 个　　D．4 个 【答案】C 【解析】 ①错：a＋b＝0 时 a、b 互为相反数，也可能 a＝b＝0，不一定异号． ②对：ab＞0 说明 a、b 同号；又 a＋b＞0，若同为负则和为负，矛盾，故只能同为正． ③对：(−10)3＝−1000，102＝100，−1000÷100＝−10． ④对：abc＜0 说明积为负，负因数个数为奇数，即 1 个或 3 个． 正确的有②③④，共 3 个．故选 C。 10．对任意有理数 a、b，定义运算 a★b：当 a≥b 时，a★b＝a2−b2；当 a＜b 时，a★b＝b−a．则 (2★(−3))＋((−3)★2)2 的值为（　　） A．20　　B．−20　　C．0　　D．25 【答案】A 【解析】 计算 2★(−3)：∵ 2≥−3，用第一段定义，2★(−3)＝22−(−3)2＝4−9＝−5． 计算 (−3)★2：∵ −3＜2，用第二段定义，(−3)★2＝2−(−3)＝5． ∴ 原式＝−5＋52＝−5＋25＝20．故选 A。 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．定义一种新运算：a▲b＝a＋b−ab．则 2▲3▲4＝＿＿＿． 【答案】7 【解析】 按从左到右的顺序依次计算： 2▲3＝2＋3−2×3＝5−6＝−1； (−1)▲4＝(−1)＋4−(−1)×4＝3＋4＝7． ∴ 2▲3▲4＝7。 12．计算 (−1)×(−1)×(−1)×…×(−1)×(−1)＝＿＿＿． 【答案】− 【解析】 每个因数：−1＝−(1−)＝−． ∴ 原式＝(−)×(−)×…×(−)×(−)． 负因数共 2025 个，个数为奇数，积为负． 各因数绝对值连乘时，分子 2025×2024×…×2×1 与分母中 2025×2024×…×2 依次约去，只剩一个分母 2026，故绝对值为 ． ∴ 原式＝−。 13．观察一列数：−，，−，，…，按此规律，第 2026 个数是＿＿＿． 【答案】 【解析】 每个分数的分母比分子大 1：第 n 个数为 ±． 第 1、3、5、…（奇数序号）个为负，第 2、4、6、…（偶数序号）个为正，即第 n 个数可表示为 (−1)n×． 当 n＝2026 时，(−1)2026＝1（−1 的偶次幂为 1）． ∴ 第 2026 个数是 。 14．阅读材料：因为 ＝×(1−)，所以 ＋＝×(1−)＋×(−)＝×(1−)＝．仿照此方法，计算 ＋＋＋…＋＝＿＿＿． 【答案】 【解析】 由材料可知：＝×(−)． ∴ 原式＝×(1−)＋×(−)＋…＋×(−) ＝×(1−)＝×＝。 15．已知 a2＝16，b2＝9，且 a＜b，则 a−b 的值为＿＿＿． 【答案】−7 或 −1 【解析】 由乘方意义：a＝4 或 a＝−4；b＝3 或 b＝−3． ∵ a＜b，若 a＝4，则需 b＞4，但 b 只能取 3 或 −3，都不满足，∴ a＝−4． 当 b＝3 时，a−b＝−4−3＝−7；当 b＝−3 时，a−b＝−4−(−3)＝−1． ∴ a−b 的值为 −7 或 −1。 16．阅读材料：定义 n!＝1×2×3×…×n（读作 n 的阶乘），例如 4!＝1×2×3×4＝24．则 1!＋2!＋3!＋…＋2026! 的个位数字是＿＿＿． 【答案】3 【解析】 依次计算：1!＝1，2!＝2，3!＝6，4!＝24，5!＝120． 从 5! 开始，每个阶乘中都含有因数 2 和 5，乘积的个位数字一定是 0，所以 5!，6!，7!，…，2026! 的个位数字全为 0． ∴ 整个和的个位数字只由前四项决定：1＋2＋6＋24＝33，个位数字为 3． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分） 17．（6 分）规定一种运算程序：输入一个有理数 x，先计算 (−2)x＋4；若结果大于 −8，则将结果重新输入程序再算一次；若结果不大于 −8，则输出该结果．当输入 x＝3 时，求输出的结果（要求写出每一步的计算过程）． 【答案】−12 【解析】 第 1 次计算：(−2)×3＋4＝−6＋4＝−2． ∵ −2＞−8，∴ 将 −2 重新输入，第 2 次计算：(−2)×(−2)＋4＝4＋4＝8． ∵ 8＞−8，∴ 将 8 重新输入，第 3 次计算：(−2)×8＋4＝−16＋4＝−12． ∵ −12≤−8，∴ 输出结果为 −12． 18．（6 分）观察下列等式：3×5＝15，42−1＝15；5×7＝35，62−1＝35；7×9＝63，82−1＝63；… （1）仿照上例，再写出一个具有相同规律的等式； （2）利用上述规律计算 99×101； （3）利用上述规律计算 999×1001． 【答案】（1）如 9×11＝99，102−1＝99；（2）9999；（3）999999 【解析】 （1）规律：相邻两个奇数之积，等于这两个奇数正中间那个数的平方减 1． 如：9×11＝99，而 102−1＝100−1＝99，∴ 9×11＝102−1（答案不唯一，符合规律即可）． （2）99 与 101 正中间的数是 100，∴ 99×101＝1002−1＝10000−1＝9999． （3）999 与 1001 正中间的数是 1000，∴ 999×1001＝10002−1＝1000000−1＝999999． 19．（6 分）某市出租车收费标准：3 km 以内（含 3 km）收费 10 元；超过 3 km 的部分，每千米收费 2.4 元（超过部分不足 1 km 的按 1 km 计算）．小明乘出租车行驶了 7.2 km，他应付车费多少元？ 【答案】22 元 【解析】 7.2 km 分成两部分：3 km 以内（含 3 km）和超过 3 km 的部分． 超过部分长 7.2−3＝4.2（km），不足 1 km 按 1 km 计算，4.2 km 按 5 km 计算． 应付车费＝10＋2.4×5＝10＋12＝22（元）． ∴ 小明应付车费 22 元。 20．（6 分）某商品原价为 100 元，第一次降价 10%，第二次又降价 10%． （1）两次降价后的售价是多少元？ （2）小明认为：「第一次降 10%，第二次又降 10%，两次共降价 20%，所以售价应为 100×(1−20%)＝80 元」．你认为小明的说法对吗？若不对，两次降价后实际相当于一次性降价百分之几？ 【答案】（1）81 元；（2）小明的说法不对，实际相当于一次性降价 19% 【解析】 （1）第一次降价后：100×(1−10%)＝100×0.9＝90（元）； 第二次降价后：90×(1−10%)＝90×0.9＝81（元）． ∴ 两次降价后的售价是 81 元． （2）小明的说法不对．第二次降价是在 90 元的基础上降的，不是在原价 100 元的基础上降的． 实际共降价 100−81＝19（元），相当于一次性降价 19%． 21．（6 分）阅读材料：相传古印度国王要奖赏国际象棋的发明者，发明者说：「请在棋盘的第 1 格放 1 粒麦粒，第 2 格放 2 粒，第 3 格放 4 粒，第 4 格放 8 粒……以后每格都是前一格的 2 倍．」 （1）棋盘第 10 格应放多少粒麦粒？ （2）求前 10 格放麦粒的总数．（提示：记 S＝1＋2＋4＋…＋29，则 2S＝2＋4＋…＋29＋210，比较两式可得 S＝210−1） 【答案】（1）512 粒；（2）1023 粒 【解析】 （1）第 1 格放 20＝1 粒，每格是前一格的 2 倍，故第 10 格放 29＝512（粒）． （2）设 S＝1＋2＋4＋…＋29． 则 2S＝2＋4＋8＋…＋29＋210． 两式相减：2S−S＝(2＋4＋…＋210)−(1＋2＋…＋29)＝210−1， ∴ S＝210−1＝1024−1＝1023（粒）． ∴ 前 10 格共放麦粒 1023 粒。 22．（7 分）已知一列数 a1＝1，a2＝2，从第 3 个数起，每个数都等于它前面相邻两个数之差，即 a3＝a2−a1，a4＝a3−a2，… （1）直接写出 a3，a4，a5，a6，a7，a8 的值； （2）这列数按一定规律循环出现，求出这个周期，并求 a2026 的值． 【答案】（1）a3＝1，a4＝−1，a5＝−2，a6＝−1，a7＝1，a8＝2；（2）周期为 6，a2026＝−1 【解析】 （1）a3＝a2−a1＝2−1＝1； a4＝a3−a2＝1−2＝−1； a5＝a4−a3＝−1−1＝−2； a6＝a5−a4＝−2−(−1)＝−2＋1＝−1； a7＝a6−a5＝−1−(−2)＝−1＋2＝1； a8＝a7−a6＝1−(−1)＝2． （2）这列数为 1，2，1，−1，−2，−1，1，2，…，从 a7 起重复出现 a1 到 a6 的值，周期为 6． 2026÷6＝337 余 4，∴ a2026 与 a4 相同，即 a2026＝−1． 23．（7 分）定义新运算：a⊙b＝ab＋a＋b． （1）计算 2⊙3 与 3⊙2，你发现什么结论？ （2）计算 (2⊙3)⊙4 与 2⊙(3⊙4)，结果相等吗？ （3）换两个不同的数再试一试，猜想新运算 ⊙ 满足什么运算律（用文字表述结论）． 【答案】（1）2⊙3＝3⊙2＝11，交换因数位置结果不变；（2）相等，都等于 59；（3）猜想：⊙ 满足交换律与结合律 【解析】 （1）2⊙3＝2×3＋2＋3＝11；3⊙2＝3×2＋3＋2＝11． 结论：a⊙b＝b⊙a，交换两个数的位置，结果不变（交换律成立）． （2）2⊙3＝11，(2⊙3)⊙4＝11⊙4＝11×4＋11＋4＝44＋15＝59； 3⊙4＝3×4＋3＋4＝19，2⊙(3⊙4)＝2⊙19＝2×19＋2＋19＝38＋21＝59． 两种算法结果相等，都等于 59． （3）例如取 1⊙5＝1×5＋1＋5＝11，5⊙1＝11，交换律仍成立； (1⊙5)⊙2＝11⊙2＝22＋11＋2＝35，1⊙(5⊙2)＝1⊙17＝17＋1＋17＝35，结合律仍成立． 猜想：新运算 ⊙ 满足交换律和结合律，即 a⊙b＝b⊙a；(a⊙b)⊙c＝a⊙(b⊙c)． 24．（8 分）定义新运算：a◎b＝a2−2ab＋b2．例如 (−3)◎1＝(−3)2−2×(−3)×1＋12＝9＋6＋1＝16．又知：a◎b 的结果恰好等于 (a−b)×(a−b)． （1）计算 2◎(−1)； （2）小明说：「不论 a、b 取什么值，a◎b 的结果都不会是负数」．他的说法对吗？请说明理由； （3）当 a、b 满足什么关系时，a◎b＝0？ （4）利用以上结论，直接写出 (2◎(−1))◎3 的值． 【答案】（1）9；（2）对，理由见解析；（3）a＝b 时；（4）36 【解析】 （1）2◎(−1)＝22−2×2×(−1)＋(−1)2＝4＋4＋1＝9． （2）对．由材料知 a◎b＝(a−b)×(a−b)，即 a◎b 就是数 (a−b) 的平方（2 个相同因数相乘）． 由乘方的意义：任何有理数的平方都是正数或 0（同号相乘得正，0 乘 0 得 0），不会是负数． ∴ 小明的说法正确． （3）要使 a◎b＝0，需 (a−b) 的平方为 0，只有 (a−b)＝0，即 a＝b． ∴ 当 a＝b 时，a◎b＝0． （4）由（1）知 2◎(−1)＝9，∴ (2◎(−1))◎3＝9◎3＝92−2×9×3＋32＝81−54＋9＝36． 学科网（北京）股份有限公司 $