21.5 一元二次方程的应用（第2课时）2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第21章 一元二次方程 21.5 一元二次方程的应用 （第2课时）几何与数量关系 年 级：八年级 学 科：数学（上教版） 复习引入 从面积关系想到一元二次方程 长方形两条邻边的和为厘米，面积为平方厘米。 若一条边长为厘米，怎样列方程？ 【答案】。 【解析】 另一条边长为厘米，由长乘宽等于面积列式。 整理为；几何关系转化成了一元二次方程。 新知讲授 列方程解决问题的基本步骤 设未知数 选择所求量或便于表示其他量的量，并写明单位。 表示相关量 把另一条边、外框尺寸或盒子的底边写成含的式子。 建立等量关系 根据面积、周长或乘积等关系列出方程。 检验并作答 不仅要解对方程，还要满足正值、长度限制或整数条件。 新知讲授 靠墙围三边：材料用在哪几条边？ 读清围法 长方形一边靠墙；铁栅栏只围其余三边。 设垂直墙的边 设该边长为米，两条这样的边共用米栅栏。 表示平行墙的边 若栅栏总长为米，则另一边为米。 写出面积 面积为，不要误写成。 新知讲授 靠墙围地还要满足哪些条件？ 两条邻边为正 且，即。 旧墙的长度限制 若旧墙长米，平行墙的边还须满足。 合并可行范围 由两组条件可得。 条件的作用 方程的实数根若不在此范围内，仍然不能作为实际答案。 例题讲解 例2　读清完整问题 情境 某建筑工程队利用一段长米的旧墙，用铁栅栏靠墙围一个所占地面为长方形的建筑垃圾临时堆放点。 问题 如果所使用的铁栅栏总长为米，且只围三边，那么是否可以围出符合下列的要求的长方形堆放点？如果可以，分别求出长方形的两条邻边的长。 三种要求 （1）长方形的面积是平方米； （2）长方形的面积是平方米； （3）长方形的面积是平方米。 例题讲解 例2（1）　面积2000平方米 旧墙长米，用米铁栅栏靠墙围三边。 （1）能否围成长方形面积平方米的堆放点？ 若能，求两条邻边的长。 旧墙80米 【答案】不能。 【解析】 设垂直墙的边为米，得。 整理为，，无实数根。 例题讲解 例2（2）　面积1800平方米 旧墙长米，用米铁栅栏靠墙围三边。 （2）能否围成长方形面积平方米的堆放点？ 若能，求两条邻边的长。 【答案】能；垂直墙的边长米，平行墙的边长米。 【解析】 由，得，所以。 另一边为米，，且两边均为正数。 例题讲解 例2（3）　面积1152平方米 旧墙长米，用米铁栅栏靠墙围三边。 （3）能否围成长方形面积平方米的堆放点？ 若能，求两条邻边的长。 【答案】能；垂直墙的边长米，平行墙的边长米。 【解析】 由，得，解得或。 时另一边为，舍去；时另一边为，符合题意。 例题讲解 例2回看：实数根不等于实际答案 面积为2000时 判别式小于，连实数解都没有，无法围成。 面积为1800时 方程有两个相等实数根；一组尺寸满足墙长限制。 面积为1152时 方程有两个不同实数根；其中一组尺寸超过墙长，须舍去。 两层检查 先看方程是否有实数根，再看是否满足现实限制。 例题讲解 例2归纳：面积建模与墙长检验 方法1 从三边总长表示边长 ① 设垂直墙的边为。 ② 平行墙的边用总长减。 ③ 两邻边相乘等于面积。 方法2 把每个根代回场景 ① 计算对应的另一条边。 ② 检查两边都为正数。 ③ 检查平行边不超过墙长。 例题讲解 例3　剪角折盒的完整问题 制作过程 有一张边长为厘米的正方形硬纸板，在硬纸板的四个角上剪去四个相同的小正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子（图21-5-2）。 面积条件与问题 如果这个长方体盒子的底面面积与一个侧面的面积恰好相等，求剪去的小正方形的边长。 设量和范围 设剪去的小正方形边长为厘米，要能折成盒子，须。 例题讲解 例3　从展开图读出底边与高 边长厘米的正方形纸板，四角各剪去边长的小正方形。 折成无盖盒子，怎样表示底面积与一个侧面积？ 10厘米 剪角后折起 【答案】底面积为；一个侧面积为。 【解析】 底面的每条边都从原长厘米减去两端的厘米。 盒高等于剪角边长；一个侧面是边长为与的长方形。 例题讲解 例3　求剪去的小正方形边长 边长厘米的正方形纸板四角剪去相同小正方形，折成无盖盒。 已知底面积等于一个侧面的面积， 求剪去的小正方形边长。 【答案】厘米。 【解析】 由，得。 解得或；由，取。 例题讲解 例3检验：为什么要舍去x=5？ 看底边 时，底边，无法形成有面积的底面。 看制作过程 纸板被剪成四个小正方形，不能折叠成题目要求的盒子。 检查正确值 时，底边与高都为，底面积等于一个侧面积。 可以怎样简化 因，也可直接约去它，得到。 例题讲解 例3归纳：从剪裁关系到面积关系 方法1 读出变化后的长度 ① 两端各剪，共减。 ② 盒高等于剪角边长。 ③ 分别写底面积与侧面积。 方法2 检查能否形成盒子 ① 剪角边长必须大于。 ② 底面的长和宽都要正。 ③ 舍去导致底面消失的根。 课堂练习 课堂练习1　完整问题与三种要求 原题 用厘米长的铁丝弯折出一个长方形的模型，要使铁丝恰好用完。 问：是否可以折成符合下列要求的长方形？ 如果可以，分别求出长方形的两条邻边的长。 三种面积 （1）长方形的面积是平方厘米； （2）长方形的面积是平方厘米； （3）长方形的面积是平方厘米。 共同关系 设一条边为厘米，由周长得另一条边为厘米。 课堂练习 课堂练习1（1）　面积525平方厘米 用厘米长的铁丝恰好围成一个长方形。 （1）面积能否为平方厘米？ 如果可以，求两条邻边的长。 【答案】可以；两条邻边分别长厘米和厘米。 【解析】 由，得。 因式分解为，两根对应同一组邻边，均符合题意。 课堂练习 课堂练习1（2）　面积625平方厘米 用厘米长的铁丝恰好围成一个长方形。 （2）面积能否为平方厘米？ 如果可以，求两条邻边的长。 【答案】可以；两条邻边都长厘米。 【解析】 由，得。 此时为正方形，周长厘米，面积平方厘米。 课堂练习 课堂练习1（3）　面积700平方厘米 用厘米长的铁丝恰好围成一个长方形。 （3）面积能否为平方厘米？ 如果可以，求两条邻边的长。 【答案】不可以。 【解析】 由，得。 判别式，没有实数根，不能围成。 课堂练习 比较两种围法：同样的长度关系不同 靠墙只围三边 用料为，所以。 铁丝围完整四边 周长为，所以。 共同的面积关系 两种情形都满足，但的表达式不同。 审题关键词 注意只围三边、恰好用完以及旧墙长度。 课堂练习 课堂练习2　图片外镶边框 原题 一张长方形图片的长和宽分别为厘米和厘米，在它四周外围镶上宽度相等的边框。已知边框的面积为平方厘米，求边框的宽度。 长度变化 设边框宽为厘米，外长为，外宽为。 面积关系 边框面积等于外长方形面积减去图片面积。 课堂练习 课堂练习2　建立面积差方程 图片长厘米、宽厘米，四周外围镶等宽边框。 边框面积为平方厘米，求边框宽度。 长25厘米 宽20厘米 【答案】边框宽厘米。 【解析】 设宽为厘米，。 整理得；因，舍去，取。 课堂练习 课堂练习3　两个相邻正奇数 已知两个相邻正奇数的积是， 求这两个数。 【答案】这两个数为和。 【解析】 设较小的数为，另一数为； 由，得。 舍去负根，得；均为正奇数且相邻。 课堂练习 课堂练习归纳：面积差与整数关系 方法1 等宽边框求面积差 ① 外长与外宽都增加。 ② 外面积减去内部面积。 ③ 边框宽度必须为正。 方法2 相邻奇数用相差2 ① 设较小的数为。 ② 另一个数表示为。 ③ 检验正数、整数与奇偶性。 新知讲授 方程解出来以后，还要查什么？ 长度是否为正 长度为会使图形消失；负长度没有实际意义。 是否超出已有范围 靠墙的一边不能长过旧墙；剪角不能使底面长度非正。 数量是否为合适整数 人数、个数通常是正整数；题目给奇偶条件时也要满足。 单位是否对应 方程两边的量要同类；面积单位与长度单位不可混用。 课堂练习 阶段归纳：从题意到答案形成闭环 设 明确未知量代表哪一条边或哪一个数。 列 先表示其他量，再按面积或乘积关系列方程。 解 整理成一元二次方程，选用合适方法求所有根。 验与答 逐个检验实际条件，保留合理结果，写单位并回答原问题。 课堂小结 课堂总结 几何关系 周长表示边长，面积关系列方程。 三类模型 三边围地、剪角折盒、等宽边框。 整数关系 相邻奇数或偶数相差。 实际检验 实数根未必可用；还要检查正值与范围。 针对训练 训练1　选择题 用米栅栏靠墙围三边，垂直墙的边为米。 长方形面积的表达式为（　　）。 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 两条垂直墙的边共用米，平行墙的边为米。 面积等于两条邻边相乘，即。 针对训练 训练2　判断剪裁后的长度 边长厘米的正方形纸板，四角各剪去边长的小正方形。 判断：“折成的盒子底边长为厘米。” 【答案】不正确；底边长为厘米。 【解析】 同一条边的两端各剪去厘米，因此总共减少厘米。 能折成盒子的条件是。 针对训练 方法总结：先数清增加或减少的次数 方法1 三边用料的关系 ① 垂直墙的边有两条。 ② 用总长减去两条边。 ③ 再乘一条垂直墙边求面积。 方法2 剪角后的底边关系 ① 每条边两端都要剪。 ② 底边为原长减去。 ③ 用正长度确定的范围。 针对训练 训练3　填空题 长方形周长为厘米，面积为平方厘米。 它的两条邻边分别长________厘米和________厘米。 【答案】和。 【解析】 设一边为，另一边为，列。 整理得，对应邻边。 针对训练 训练4　等宽边框计算 一张长厘米、宽厘米的照片，四周外加等宽边框。 若边框面积为平方厘米，求边框的宽度。 【答案】厘米。 【解析】 设边框宽厘米，得。 化简为，根为；取正根。 针对训练 方法总结：周长与边框的建模 方法1 周长固定的长方形 ① 先求两条邻边的和。 ② 用这个和减去表示另一边。 ③ 两边相乘等于给定面积。 方法2 图片外围等宽边框 ① 外部尺寸分别增加。 ② 用外面积减去原图面积。 ③ 求根后保留正宽度。 针对训练 训练5　带墙长限制的围地 旧墙长米，用米栅栏靠墙围三边。 要围出面积为平方米的长方形， 求垂直墙与平行墙的边长。 【答案】两条邻边均长米。 【解析】 设垂直墙边为，得，解得或。 时平行边，舍去；时平行边为，可用。 针对训练 训练6　相邻正偶数 两个相邻正偶数的积为。 求这两个数。 【答案】和。 【解析】 设较小的数为，得，即。 舍去负根；符合相邻正偶数条件。 针对训练 方法总结：方程的根还要符合场景 方法1 长度限制要逐根检查 ① 求出根对应的所有边长。 ② 将边长与墙长比较。 ③ 舍去超出条件的方案。 方法2 整数条件要完整检查 ① 先排除非正数。 ② 再检查是否为整数。 ③ 核对奇偶性和相邻关系。 针对训练 训练7　应用：制作长方体收纳盒 一张长厘米、宽厘米的纸板，四角剪去相同小正方形， 折成无盖长方体盒子。若底面积为平方厘米， 求盒子的高。 18厘米 12厘米 【答案】盒子高厘米。 【解析】 设剪角边长为，底面为，且。 整理为；只有符合范围，盒高等于。 针对训练 训练8　应用：花园中的十字小路 长方形花园长米、宽米， 修两条相互垂直、宽度相等的直路， 分别贯通花园的长和宽。 剩余种植面积为平方米。求小路宽度。 20米 14米 路宽 【答案】小路宽米。 【解析】 设路宽为，平移剩余四块可得，且。 整理为，舍去，得到。 针对训练 方法总结：从图形变化读出面积 方法1 剪角折盒的底面积 ① 底长与底宽各减。 ② 底面积等于两底边的乘积。 ③ 用最短原边限制剪角大小。 方法2 十字道路的剩余面积 ① 相交路口不可重复扣除。 ② 平移后长和宽各减。 ③ 求得路宽后代回面积检验。 $