第21章一元二次方程-阅读材料-一元高次方程的求解之路-课件 2026-2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程复习与一元三次方程求解探究，通过复习旧知（一般形式、特殊解法）搭建支架，衔接新知（三次方程历史、特殊类型解法、换元转化为二次方程），构建从特殊到一般的学习脉络。 其亮点在于融合数学史与类比思想，以问题链驱动探究。通过塔尔塔利亚等数学家故事培养创新意识，类比二次方程解法发展推理能力，换元转化模型强化模型意识。课堂小结时间线梳理历程，助力学生形成逻辑思维与历史视野，为教师提供结构化教学资源提升效率。

第21章 一元二次方程 阅读材料 一元高次方程的求解之路 年 级：八年级 学 科：数学（沪教版） 同学们大家好，欢迎来到空中课堂，我是来自上海市延安初级中学的数学朱老师.之前同学们经历了一元二次方程的学习过程. 1 配方 复习旧知 一元二次方程： 因式分解 方程一边能因式分解，另一边为0 求平方根 特殊的一元二次方程 一般的一元二次方程 求平方根 首先让我们一起回顾一元二次方程解法的探究之路.一元二次方程的一般式为ax方加bx加c等于0，a不等于0.当常数项c为0时，可以通过因式分解的方法进行求解，当然因式分解法不只可以求解这个形式的一元二次方程，只要方程一边能因式分解，另一边为0，都可以用因式分解法求解.当一次项系数b为0时，可以通过求平方根的方法进行求解.而这两种方法都只能求解特殊的一元二次方程，那么一般的一元二次方程能够转化为某种特殊的一元二次方程吗？我们通过配方可得，a乘x加2a分之b的和的平方，加4a分之4ac减b方等于0，转化为可用求平方根来解的方程.当b方减4ac大于等于0时，就可以开平方解得x的值，这样我们就得到了一元二次方程的求根公式.可以发现一元二次方程解法的探究经历了从特殊到一般的过程，而一般的情况又要转化为特殊的情况，这就是化归的数学思想. 2 新知探究 16世纪时，意大利数学家塔尔塔利亚（Tartaglia，原名为Niccolo Fontana，约1499—1557）和卡尔达诺（Gerolamo Cardano，1501—1576）等人发现了一元三次方程的求根公式. 1545年，在《大术》（Ars Magna）一书中，卡尔达诺指出了一元三次方程有三个根并给出了一个实数根的表达式. 得到了一元二次方程的一般解法，那么一元三次、四次方程该怎么解呢？让我们先来看一看课本是怎么说的. 3 新知探究 一元三次方程： 阿基米德 公元前3世纪 1494年 帕西奥利 求解三次方程犹如“化圆为方” 其实一元三次方程的求解之旅从公元前3世纪就拉开了序幕，阿基米德就曾研究过这个问题.而1494年意大利数学家帕西奥利在对一元三次方程的求解进行艰苦探索之后，得出了及其悲观的结论，他认为求解三次方程犹如“化圆为方”一样根本不可能解决. 4 新知探究 一元三次方程： 费罗 1515年 1535年 塔尔塔利亚 阿基米德 公元前3世纪 1494年 帕西奥利 卡尔达诺 1545年 直到1515年，意大利数学家费罗找到了x立方加qx加r等于0这样一类缺二次项的三次方程的一般解法，在求解三次方程的道路上，这是一个巨大的里程碑.之后一元三次方程解法的研究进入了百花齐放的时代，1535年，意大利数学家塔尔塔利亚找到了x立方加px方加r等于0这样一类缺一次项的三次方程的一般解法.随后1545年，意大利数学家卡尔达诺在《大术》一书中指出一元三次方程有三个根并给出了一个实数根的表达式. 5 新知探究 一元三次方程： 等号两边同除以a 一元三次方程： 其中， ， ， . 为什么数学家都只研究三次项系数为1的方程？ 问题1 通过了解数学史，我们发现数学家们都只研究三次项系数为1的方程，这是为什么呢？因为一般的一元三次方程都可以通过两边同除以a，转化为三次项系数为1，形如x立方加px方加qx加r等于0的方程. 6 新知探究 如果你来研究一元三次方程的解法，对于以下方程，你会按怎样的顺序研究呢？ 问题2 ① ，② ，③ ，④ ， ⑤ ，⑥ ，⑦ . 一元三次方程： 下面请看这些三次项系数为1的一元三次方程，如果你来研究这些方程的解法，你会按怎样的顺序来研究呢？请同学们类比一元二次方程解法的研究方法，同时借鉴数学家们的研究路径，尝试一下吧. 7 新知探究 我会先研究方程① ② ③ 方程① ② ③都可以通过因式分解降次，转化为一个一元一次方程和一个一元二次方程. 或 或 或 一元三次方程： ① ，② ，③ ，④ ， ⑤ ，⑥ ，⑦ . 如果你来研究一元三次方程的解法，对于以下方程，你会按怎样的顺序研究呢？ 问题2 小莉提出先研究方程①②③的解法.方程①通过提取公因式x方进行因式分解，将方程转化为一个一元二次方程x方等于0和一个一元一次方程x加2等于0，进而求解这两个低次方程即可.同样地，方程②通过提取公因式x进行因式分解，将方程转化为一个一元一次方程x等于0和一个一元二次方程x方减2等于0.而方程③则通过立方和公式进行因式分解，将方程转化为一个一元一次方程x加1等于0和一个一元二次方程x方减x加1等于0.不难发现，这三个一元三次方程都可以通过因式分解降次，转化为一个一元一次方程和一个一元二次方程. 8 新知探究 ① ，② ，③ ，④ ， ⑤ ，⑥ ，⑦ . 对于缺少两项的一元三次方程都可以通过因式分解的方法求解. 方程 ③还可以通过求立方根来解 缺两项的一元三次方程 对于形如 的一元三次方程可以通过求立方根的方法求解. 再观察这三个方程的共同点，可以发现它们都只含两项，也就是缺少另两项，像这样缺少两项的一元三次方程都可以通过因式分解的方法求解.小明提出方程③还可以通过求立方根来求解，只要将常数移到等号右边，求移项后的常数在实数范围内的立方根就能得到方程的实数解.因此对于形如x立方加r等于0的一元三次方程也可以通过求立方根的方法求解. 9 新知探究 ① ，② ，③ ，④ ， ⑤ ，⑥ ，⑦ . 可因式分解的一元三次方程 方程 ⑥和⑤也可以通过因式分解求解 或 或 对于一边能因式分解，另一边为0的一元三次方程可以通过因式分解的方法求解. 小杰又提出方程⑥和⑤也可以通过因式分解的方法求解.方程⑥通过提取公因式x进行因式分解，将方程转化为一个一元一次方程x等于0和一个一元二次方程x方加x减2等于0.而方程⑤的等号左边需要通过拆项分组进行因式分解，将常数3拆分为1加2，x立方加1为一组，-2x方加2为一组，第一组利用立方和公式分解为x加1的和乘x方减x加1，第二组提取公因数-2，再利用平方差公式分解为-2乘x加1的和乘x减1的差，组间再提取公因式x加1的和，最终将方程转化为一个一元一次方程x加1等于0和一个一元二次方程x方减3x加3等于0.因此，能用因式分解的方法求解的一元三次方程不限于形式，只要方程的一边能因式分解，另一边为0即可. 10 新知探究 求立方根 特殊的一元三次方程 特殊的一元二次方程 类比 （缺两项的一元三次方程） 因式分解 方程一边能因式分解，另一边为0. 特殊的一元三次方程 因式分解 方程一边能因式分解，另一边为0 求平方根 同学们，你们也是先研究这些形式的一元三次方程的吗？通过小莉、小明和小杰的思考，可以发现，只要方程一边能因式分解，另一边为0，特别像这样缺少两项的一元三次方程都可以用因式分解的方法求解，而形如x立方加r等于0的一元三次方程还可以用求立方根的方法求解.这与一元二次方程解法的探究如出一辙，都是先从特殊形式的方程开始研究. 11 新知探究 ① ，② ，③ ，④ ， ⑤ ，⑥ ，⑦ . 一元三次方程： 对于方程④，不能用因式分解或者求立方根的方法求解，同学们会怎么做呢？ 问题3 转化为一个次数更低的方程 在研究了这些可用因式分解或者求立方根的方法求解的特殊一元三次方程之后，对于方程④这样不能用以上方法求解的方程，同学们会怎么做呢？从特殊一元三次方程的求解经验来看，它们都是通过一定的方法转化为一元一次或者一元二次方程，那么这个方程是否可以转化为一个次数更低的方程呢？这个问题困扰了数学家们数百年之久. 12 直到1515年，意大利数学家费罗得到了这类一元三次方程的一般解法，我们来听听他是怎么说的. （大家好，我是费罗，下面我跟同学们说一说我是怎么解这个方程的. 首先，我会令x等于u加v进行换元，代入原方程整理后可得，u立方加v立方，加3uv减3的差与u加v的和的乘积，再加4等于0.这时，我观察换元后的方程，由于u和v是两个独立的未知量，要使方程成立，我们可以令3uv减3等于0，此时u立方加v立方就会等于-4.将uv等于1两边同时取三次方，就可以得到u立方乘v立方等于1和u立方加v立方等于-4这样一个二元方程组.由韦达定理可知，这里u立方和v立方可以看作一个一元二次方程t方加4t加1等于0的两根，由一元二次方程的求根公式可得u立方等于-2加根号3，v立方等于-2减根号3.再对这两个数在实数范围内开立方，就可以解得u和v，进而得到方程在实数范围内的一个解.） 13 新知探究 ① ，② ，③ ，④ ， ⑤ ，⑥ ，⑦ . 一元三次方程： 对于方程④，不能用因式分解或者求立方根的方法求解，同学们会怎么做呢？ 问题3 可以发现，方程④是一个缺少二次项的一元三次方程，这类一元三次方程的一般形式可以设为x立方加qx加r等于0. 14 新知探究 设 为使方程成立，设 即 由韦达定理可知， 是一元 得u、v，进而解得x的一个实数根. 意大利数学家费罗 形如 的一元三次方程 二次方程 两根 解得 ， 通过巧妙换元，得到以u、v为未知数的三次方程，再将其转化为以 为两根的一元二次方程. 用费罗的方法求解一般形式的缺二次项的一元三次方程，过程如下.让我们一起再来深入解读费罗的解法，他通过巧妙的换元，得到以u、v为未知数的三次方程，再通过合理的假设，将以u、v为未知数的三次方程转化为以u立方和v立方为两根的一元二次方程，进而解得u、v，得到x的一个实数解.当然，请同学们深入思考，正是因为这种假设，所以费罗的方法解得的x的值只是这个一元三次方程的一个实数解，并不能代表它的解只有这一个. 15 新知探究 ① ，② ，③ ，④ ， ⑤ ，⑥ ，⑦ . 一元三次方程： 得到形如 的一元三次方程一个实数根的一般解法，对求解一般的一元三次方程 有怎样的帮助呢？ 问题4 当然费罗找到了求形如x立方加qx加r等于0的一元三次方程的一个实数根的一般解法，对一元三次方程解法的探究有着非常重大的意义，它对求解像方程⑦这样一般的一元三次方程到底有怎样的帮助呢？ 16 通过换元将一般的一元三次方程转化为不含二次项的形式. 这时两位意大利数学家塔尔塔利亚和卡尔达诺站了出来，他们再次运用换元的方法，将一般的一元三次方程转化为形如x立方加qx加r等于0的一元三次方程，让我们一起来看一看他们的解法.（大家好，我是卡尔达诺，这位是塔尔塔利亚，我们是这样求解这个方程的. 首先，假设当x等于y加k时，可以将原方程转化为形如x立方加qx加r等于0的一元三次方程，代入原方程整理得y立方加3k减6的差乘y方，加3k方减12k加9的和乘y，再加k立方减6k方加9k加2等于0，为了消去二次项，设3k减6等于0，得k等于2，这就是待定系数法.接下来只要设x等于y加2，代入原方程就一定可以得到一个不含二次项的一元三次方程，即y立方减3y加4等于0，正是之前求解过的方程④，再按方程④的解法解得y的值，回代就可以得到原方程的一个实数根.）通过以上的解法可以发现，任何一个一般的一元三次方程都可以通过设x等于y加k进行换元，转化为一个不含二次项的一元三次方程，再进行求解. 17 新知探究 一般的一元三次方程 一般的一元二次方程 类比 配方 一元三次方程： 设 换元 设 换元 那么将一元三次方程通过换元消去二次项，转化为不含二次项的形式与将一元二次方程通过配方转化为可开平方的形式，是否有异曲同工之妙呢？其实我们可以发现一元二次方程在配方之后，如果将x加2a分之b看成一个整体，设为y，那么原方程就转化为一个关于y的，不含一次项的一元二次方程.而x加2a分之b等于y，即x等于y减2a分之b，也就是说配方法也可以理解为将x等于y减2a分之b代入原方程进行换元，从而得到一个关于y的，不含一次项的一元二次方程.如此看来，一元三次方程通过换元消去二次项也是类比一元二次方程通过换元消去一次项. 18 新知探究 之后，卡尔达诺的学生费拉里（Ludovico Ferrari，1522—1565）找到了一元四次方程的求解方法. 自一元四次方程的一般解公式公布之后，数学家们曾非常乐观，以为马上就可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程的一般解公式. 然而，在之后几百年的时间里，人们一直没有找出这样的公式. 经历了一元三次方程解法的探究之旅，同学们是否能感受到它与一元二次方程解法探究的内在联系？然而对于一元高次方程解法的探索仍在继续，在随后的1548年，卡尔达诺的学生费拉里找到了一元四次方程的一般解法.自一元四次方程的一般解公式公布之后，数学家们曾非常乐观，以为马上就可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程的一般解公式.然而，在之后几百年的时间里，人们一直没有找出这样的公式. 19 新知探究 一元高次方程 费拉里 1548年 一元四次方程 阿贝尔 1824年 高于四次的方程 1770年 拉格朗日 推测求五次方程的一般解做不到 1824年 伽罗瓦 建立代数方程可用求根公式求解的判别准则 在1770年，法国数学家拉格朗日整理了三次、四次方程求解方法的共性，推测解五次方程必须先找到一个四次方程，通过分析已有的转化方式，推测这是做不到的，但这只是猜想，并没有严格证明.直到1824年，22岁的挪威学者阿贝尔严格证明了高于四次的一般代数方程不可能有一般形式的代数解.不过，他没有指出哪些特殊的方程存在代数解.这个问题被同时期的法国年轻数学家伽罗瓦所解决，伽罗瓦不仅证明了高于四次的代数方程一般不能用求根公式求解，而且还建立了代数方程是否可用求根公式求解的判别准则.至此，一元高次方程的求解之路终于画上了一个圆满的句号. 20 新知探究 在一元三次方程求根公式与解法的探索过程中，我国的数学家也作出了巨大的贡献. 在1247年成书的数学巨著《数书九章》中，南宋数学家秦九韶（约1208—约1261）发表了一元三次方程与任何高次方程的解法——正负开方术. 而在一元三次方程求根公式与解法的探索过程中，我国的数学家也作出了巨大的贡献. 在1247年成书的数学巨著《数书九章》中，南宋数学家秦九韶发表了一元三次方程与任何高次方程的解法——正负开方术. 21 课堂小结 一元三次方程解法的研究路径 一元二次方程解法的研究路径 类比 从特殊到一般 一元三次方程转化一元二次方程 一元二次方程转化一元一次方程 类比 降次 一元三次方程通过换元消二次项 一元二次方程通过换元消一次项 类比 化归 阿基米德 公元前3世纪 1515年 费罗 塔尔塔利亚 1535年 1545年 卡尔达诺 费拉里 1548年 一元四次方程 1824年 阿贝尔 高于四次的方程 伽罗瓦 1824年 建立代数方程可用求根公式求解的判别准则 至此一元高次方程的求解之旅就接近尾声了.本节课我们了解了数学家们探索一元高次方程解法的心路历程.并以一元三次方程的解法为例，感受它的研究路径与一元二次方程解法的研究路径的共同之处.同学们还像数学家所做的那样，梳理三次方程与二次方程解法的共性，比如都是通过一定的方法降次，转化为次数更低的方程，又比如三次方程通过换元消去二次项，转化为不含二次项的可解方程，二次方程通过换元消去一次项，转化为可开平方的方程.这些都体现了数学理论探索的统一性和扩展性. 22 结束语 数学就像一棵生机勃勃的大树，她的外观枝繁叶茂，其深处却共享着同一套根系和养分输送系统。 数学就像一棵生机勃勃的大树，她的外观枝繁叶茂，其深处却共享着同一套根系和养分输送系统. 23 Lavf58.20.100 Lavf58.20.100 $