2.1.1倾斜角与斜率7题型分类讲义（讲+练）--2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦“倾斜角与斜率”核心知识点，先明确倾斜角定义（x轴正向与直线向上方向的角，范围0°≤α<180°），再引入斜率概念（k=tanα），梳理斜率与倾斜角对应关系（0°时k=0，锐角时k>0，90°时不存在，钝角时k<0），并给出过两点的斜率公式，构建从概念到计算的学习支架。 该资料以7题型分类为特色，涵盖求倾斜角、斜率、由斜率或倾斜角求参等，结合三点共线、斜率几何意义求最值等实例，通过分层训练培养学生用数学眼光观察几何关系，用数学思维推理斜率与倾斜角转化，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺。

2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 2.1.1倾斜角与斜率7题型分类 1．直线的倾斜角： (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (3)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率： 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα. (2)斜率与倾斜角的对应关系： 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式： 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. （一） 直线的倾斜角 1、直线的倾斜角： (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2、直线倾斜角的概念和范围： (1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． (2)注意倾斜角的范围． 题型1：求直线的倾斜角 1．（2026高二·重庆·阶段检测）直线经过点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（2026高二·上海徐汇·期末）直线的倾斜角的大小为____________． 3．（2026高二·吉林四平·期末）直线 的倾斜角为（    ） A． B． C．不存在 D． 4．（2026高二·上海·随堂练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与垂直，垂足为A，、与x轴的交点分别为B、C，，则直线的倾斜角为________．    5．（2026高二·江西·期中）倾斜角为钝角的直线l一定经过（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第二、三象限 6．（2026高二·全国·课后作业）如图，直线与轴正向之间的夹角为，则直线的倾斜角为（    ）    A． B． C． D．不确定 （二） 直线的斜率 1、直线的斜率： (1)倾斜角求斜率： 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα. (2)两点求斜率： 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝. 2、求直线的斜率： (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的． (2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关． 题型2：求直线的斜率 7．（2026高二·四川宜宾·期末）直线的斜率为（   ） A．不存在 B．0 C．3 D．1 8．（2026高二·浙江衢州·期中）已知直线的倾斜角为，则“”是“直线的斜率为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2026高二·江苏淮安·期中）经过、两点的直线的斜率为_________． 10．（2026高二·江苏连云港·期末）过两点和的直线的斜率为（    ） A． B．1 C． D． 11．（2026高三·广东湛江·阶段检测）直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为___________. 12．（2026·宁夏吴忠·模拟预测）已知经过两点的直线的一个方向向量为，那么（    ） A． B． C．1 D．2 题型3：由直线的斜率或倾斜角求参 13．（2026高二·贵州毕节·期中）直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 14．（2026高二·全国·专题练习）过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 15．（2026高二·浙江杭州·期中）若过点的直线的斜率为，则（   ） A． B． C． D． 16．（2026高二·山东菏泽·期末）已知经过两点的直线的方向向量为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 17．（2026高二·湖南长沙·期末）已知斜率为的直线经过点，，则（   ） A． B． C．1 D．0 （三） 倾斜角与斜率的关系 1、直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)． 2、直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大． 题型4：倾斜角与斜率的关系 18．（2026高二·安徽淮北·期末）直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（2026高二·辽宁朝阳·期中）已知直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（2026高二·天津红桥·阶段检测）若直线的斜率为，倾斜角为，而，则的取值范围是__________． （四） 直线斜率的应用 1、三点共线问题 （1）对于给定坐标的三点，要判断三点是否共线，先判断任意两点连线的斜率是否存在． ①若都不存在，则三点共线； ②若斜率存在，则任意两点连线的斜率相等时，三点才共线． （2）若三点共线，则任意两点连线的斜率不一定相等(也可能都不存在)．解决这类问题时，首先对斜率是否存在做出判断，必要时分情况进行讨论，然后下结论． 2、利用直线斜率的几何意义求最值应重视两点, （1）直线的斜率反映了直线的倾斜程度，且k＝tanα＝，（x1，y1）和（x2，y2）是直线上横坐标不相等的两点； （2）在求形如的式子的最值时，可以将看作动点P（x，y）与定点Q（x0，y0）所确定的直线的斜率，数形结合求出最值或取值范围. 题型5：三点共线问题 21．（2026高二·全国·课后作业）已知三点在同一条直线上，则实数的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．12 22．（2026高二·河北邢台·阶段检测）已知三点，则“三点共线”是“或”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 23．（2026高二·安徽六安·阶段检测）已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是________. 题型6：利用直线斜率的几何意义求最值 24．（2026高二·广东揭阳·阶段检测）已知、，点在线段上，则的取值范围为________. 25．（2026·湖南衡阳·模拟预测）点在函数的图象上，当，则的取值范围为______. 26．（2026高二·河南安阳·专题练习）已知实数满足，则的最大值为______． 27．（2026高二·广东广州·期中）已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是_________． 题型7：直线与线段的相交关系求斜率的范围 28．（2026高二·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 29．（2026高二·广东潮州·阶段检测）已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．（2026高二·上海·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 31．（2026高二·天津·期中）已知直线经过点，且与以，为端点的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为___________． 32．（2026高二·江苏苏州·阶段检测）设，且，点，过点的直线l与线段始终有交点，则直线l的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 33．（2026高二·江苏徐州·期中）已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 34．（2026高二·江西抚州·期末）已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（    ） A． B． C． D． 1．【多选】（2026高二·陕西西安·阶段检测）若直线，，的斜率分别为，，，且，则，，的部分图象可能为（   ） A．  B．   C．  D．   2．（2026高二·安徽阜阳·阶段检测）若图中直线，，的斜率分别为，，，则（    ）    A． B． C． D． 3．（2026高二·江西赣州·阶段检测）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．0 4．（2026高二·云南保山·期末）已知直线的倾斜角为，则“直线的斜率”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C．D．或 6．（2026高三·全国·专题练习）如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 7．（2026高二·贵州六盘水·阶段检测）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（2026高二·江西南昌·期末）已知直线经过点，其中，则的倾斜角为（    ） A． B． C．0 D． 9．（2026高二·山东烟台·期中）已知过坐标原点的直线经过点，直线的倾斜角是直线的2倍，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 10．（2026高二·北京海淀·期末）已知直线过第一象限的点和，直线的倾斜角为135°，则的最大值为（   ） A．9 B．4 C．3 D． 11．（2026高二·江苏淮安·阶段检测）下列三点在同一直线上的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 12．【多选】（2026高二·陕西渭南·阶段检测）下列说法正确的是：（   ） A．斜率随倾斜角增大而增大 B．在上斜率随倾斜角增大而增大 C．在上，斜率随倾斜角增大而减小 D．在上，斜率随倾斜角增大而增大 13．【多选】（2026高二·山东泰安·阶段检测）若两直线，的斜率存在，其倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列四个结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．（2026高二·广东深圳·阶段检测）已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为______． 15．（2026高二·全国·暑假作业）经过两点，的直线的斜率为_________，倾斜角为_________. 16．（2026高三·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________． 17．（2026高二·湖北武汉·阶段检测）已知点，，经过点作直线，若直线与线段没有公共点，则直线的斜率的取值范围是__________. 18．（2026高二·陕西西安·阶段检测）过点作直线l，若l与连接，两点的线段总有公共点，则l的斜率的取值范围为______. 19．（2026高三·山东临沂·阶段检测）已知在平面直角坐标系中，点．若直线与线段相交，则的取值范围为______． 20．（2026高二·四川乐山·阶段检测）已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行？ (2)直线的倾斜角为？ (3)直线的倾斜角为锐角？ 21．（2026高二·江苏盐城·阶段检测）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 22．（2026高三·全国·一轮复习）已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 2.1.1倾斜角与斜率7题型分类 1．直线的倾斜角： (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (3)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率： 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα. (2)斜率与倾斜角的对应关系： 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式： 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. （一） 直线的倾斜角 1、直线的倾斜角： (1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2、直线倾斜角的概念和范围： (1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． (2)注意倾斜角的范围． 题型1：求直线的倾斜角 1．（2026高二·重庆·阶段检测）直线经过点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知直线经过点， ， 设直线的倾斜角为，则， ． 2．（2026高二·上海徐汇·期末）直线的倾斜角的大小为____________． 【答案】 【分析】根据直线与倾斜角的关系可求解. 【详解】将直线方程整理得，可知该直线为垂直于轴的直线， 因此该直线的倾斜角大小为. 3．（2026高二·吉林四平·期末）直线 的倾斜角为（    ） A． B． C．不存在 D． 【答案】D 【分析】直接判断直线的倾斜角即可. 【详解】直线即，是一条与轴垂直的直线， 所以直线的倾斜角为． 故选：D． 4．（2026高二·上海·随堂练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与垂直，垂足为A，、与x轴的交点分别为B、C，，则直线的倾斜角为________．    【答案】 【分析】根据内角和定理得出直线的倾斜角. 【详解】直线的倾斜角为． 故答案为：. 5．（2026高二·江西·期中）倾斜角为钝角的直线l一定经过（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第二、三象限 【答案】B 【分析】根据直线倾斜角的概念并结合一次函数性质判断即可. 【详解】因为直线的倾斜角为钝角，所以斜率为负， 由一次函数性质得直线l一定经过第二、四象限. 故选：B. 6．（2026高二·全国·课后作业）如图，直线与轴正向之间的夹角为，则直线的倾斜角为（    ）    A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】由倾斜角的定义求解即可. 【详解】根据倾斜角的定义可得，该直线的倾斜角为， 故选：B （二） 直线的斜率 1、直线的斜率： (1)倾斜角求斜率： 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα. (2)两点求斜率： 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝. 2、求直线的斜率： (1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的． (2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关． 题型2：求直线的斜率 7．（2026高二·四川宜宾·期末）直线的斜率为（   ） A．不存在 B．0 C．3 D．1 【答案】B 【详解】的倾斜角为，斜率,故 8．（2026高二·浙江衢州·期中）已知直线的倾斜角为，则“”是“直线的斜率为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，利用直线的斜率与倾斜角的关系，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】直线的倾斜角为，可得，由，可得或， 则直线的斜率为或，所以充分性不成立； 反之：若直线的斜率为，可得，所以，所以必要性成立， 所以直线的倾斜角为，则“”是“直线的斜率为”的必要不充分条件. 故选：B. 9．（2026高二·江苏淮安·期中）经过、两点的直线的斜率为_________． 【答案】 【分析】根据斜率公式，直接求解. 【详解】因为、，所以. 故答案为： 10．（2026高二·江苏连云港·期末）过两点和的直线的斜率为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用两点间的斜率公式计算即可 【详解】由 所以直线的斜率为： 故选：D. 11．（2026高三·广东湛江·阶段检测）直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则的斜率为___________. 【答案】 【分析】根据已知两点求斜率，以及直线斜率计算即可. 【详解】因为直线经过两点 所以直线的斜率为 所以直线的倾斜角为 又因为直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，所以直线的倾斜角为， 所以的斜率为 故答案为：. 12．（2026·宁夏吴忠·模拟预测）已知经过两点的直线的一个方向向量为，那么（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据直线的方向向量与斜率的关系求解. 【详解】直线的斜率为，又因为直线的一个方向向量为，所以该直线的斜率也为，故. 故选：C. 题型3：由直线的斜率或倾斜角求参 13．（2026高二·贵州毕节·期中）直线经过、两点，且倾斜角是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线的倾斜角为，所以 直线的斜率； 又直线经过、两点，可得，且， 整理得， 解得，经检验符合题意. 14．（2026高二·全国·专题练习）过点，的直线的斜率为1，那么m的值为（    ） A．1或4 B．4 C．1或3 D．1 【答案】D 【详解】因为直线过点，，且斜率为1， 所以，解得． 15．（2026高二·浙江杭州·期中）若过点的直线的斜率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点，可得直线的斜率为， 因为直线的斜率为，所以，解得. 16．（2026高二·山东菏泽·期末）已知经过两点的直线的方向向量为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】应用两点得出直线斜率，再根据方向向量得出斜率，最后列式求参数. 【详解】经过两点的直线斜率为， 又因为直线的方向向量为，则直线斜率为， 所以，即. 故选：C. 17．（2026高二·湖南长沙·期末）已知斜率为的直线经过点，，则（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】应用斜率的两点式列方程求参数值. 【详解】由题设，可得. 故选：B （三） 倾斜角与斜率的关系 1、直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)． 2、直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度．当0°≤α＜90°时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90°＜α＜180°时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大． 题型4：倾斜角与斜率的关系 18．（2026高二·安徽淮北·期末）直线的斜率的取值范围是，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，又斜率的取值范围是，所以，当时，，当时，，又，所以根据正切函数的图象可得，. 19．（2026高二·辽宁朝阳·期中）已知直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知斜率的取值范围，通过正切函数性质来确定倾斜角的取值范围. 【详解】直线的斜率，为倾斜角，， 已知，即， 当时，； 当时，. 综上当时，. 故选：C 20．（2026高二·天津红桥·阶段检测）若直线的斜率为，倾斜角为，而，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由直线倾斜角的范围再结合正切函数的单调性即可求出的取值范围. 【详解】当时，，所以； 当时，，即； 所以的取值范围是. （四） 直线斜率的应用 1、三点共线问题 （1）对于给定坐标的三点，要判断三点是否共线，先判断任意两点连线的斜率是否存在． ①若都不存在，则三点共线； ②若斜率存在，则任意两点连线的斜率相等时，三点才共线． （2）若三点共线，则任意两点连线的斜率不一定相等(也可能都不存在)．解决这类问题时，首先对斜率是否存在做出判断，必要时分情况进行讨论，然后下结论． 2、利用直线斜率的几何意义求最值应重视两点, （1）直线的斜率反映了直线的倾斜程度，且k＝tanα＝，（x1，y1）和（x2，y2）是直线上横坐标不相等的两点； （2）在求形如的式子的最值时，可以将看作动点P（x，y）与定点Q（x0，y0）所确定的直线的斜率，数形结合求出最值或取值范围. 题型5：三点共线问题 21．（2026高二·全国·课后作业）已知三点在同一条直线上，则实数的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】D 【分析】由三点中任意两点的直线斜率相等列式求解即可． 【详解】由题意，三点中任意两点的直线斜率相等，得，解得． 故答案为：D. 22．（2026高二·河北邢台·阶段检测）已知三点，则“三点共线”是“或”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求出三点共线时的所有值，再根据必要不充分条件的判断即可得到答案. 【详解】当时，三点均在直线上； 当时，，而直线的斜率不存在，显然三点不在一条直线上； 当时，若三点共线，则，即，解得或． 综上，若三点共线，则或或， 故“三点共线”是“－4或”的必要不充分条件． 故选：C. 23．（2026高二·安徽六安·阶段检测）已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是________. 【答案】 【分析】由线段，，不能构成三角形知三点共线，由求得的值. 【详解】因为线段，，不能构成三角形，所以三点共线， 显然直线的斜率存在，故，即，解得， 故答案为：4 题型6：利用直线斜率的几何意义求最值 24．（2026高二·广东揭阳·阶段检测）已知、，点在线段上，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据直线与倾斜角的关系，再结合数形结合可得. 【详解】由直线的斜率公式可得：；.    将看成线段上一点与定点连线的斜率， 结合图形，要使直线经过点，且与线段有交点， 的斜率需满足或. 故答案为： 25．（2026·湖南衡阳·模拟预测）点在函数的图象上，当，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】把转化为与点所成直线的斜率，作出函数在部分图象上的动点，结合斜率公式，即可求解. 【详解】由表示与点所成直线的斜率， 又由是在部分图象上的动点， 如图所示：可得，则， 所以，即的取值范围为. 故答案为：.    26．（2026高二·河南安阳·专题练习）已知实数满足，则的最大值为______． 【答案】8 【分析】根据斜率的两点式确定目标式的几何意义，再应用数形结合求目标式的最大值. 【详解】由的几何意义是图象上的点与点连线的斜率． 如图所示，直线的倾斜角始终为锐角，结合正切函数在上单调递增， 当直线过点时斜率最大，将代入，得最大值为8． 故答案为：8 27．（2026高二·广东广州·期中）已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】将的范围转化为线段上的点与构成的直线的斜率的范围，然后求斜率即可. 【详解】 方程，令，则，令，则， 设点，， 所以可以表示线段上的点与构成的直线的斜率， ，， 所以的取值范围为. 故答案为：. 题型7：直线与线段的相交关系求斜率的范围 28．（2026高二·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用斜率公式，分别求得直线和直线的斜率，结合图象，即可求解. 【详解】由，得直线的斜率分别为，， 而过点的直线与线段有交点，如图， 所以直线l斜率的取值范围为. 29．（2026高二·广东潮州·阶段检测）已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图象分析过点与线段有公共点的情况，求出过线段端点的斜率，从而得出斜率的取值范围． 【详解】如下图所示，    若过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率或， ，， 直线的斜率或， 直线斜率的取值范围是，故C正确． 故选：C． 30．（2026高二·上海·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，则直线斜率的取值范围是_________ ． 【答案】 【详解】点，点，可得，， 如下图示，所以. 31．（2026高二·天津·期中）已知直线经过点，且与以，为端点的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为___________． 【答案】 【分析】作出图形，根据直线上两点分别求出直线的斜率，进而求得两直线的倾斜角，结合图形，即得答案. 【详解】    如图，先求出直线的斜率分别为：， 则可得直线的倾斜角分别为， 由图知，要使直线与线段没有公共点，需使直线的倾斜角满足， 即直线的倾斜角的取值范围为. 故答案为：. 32．（2026高二·江苏苏州·阶段检测）设，且，点，过点的直线l与线段始终有交点，则直线l的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用斜率公式，分别求得，结合题意，得到且，进而求得直线l的倾斜角的取值范围，得到答案. 【详解】由点过点的直线l与线段始终有交点， 如图所示，可得， 设直线l的倾斜角为，可得且， 又因为，且，所以或， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 故选：D. 33．（2026高二·江苏徐州·期中）已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】由题意，作图，利用已知两点坐标计算斜率，可得答案. 【详解】    由，则直线的斜率， 由，则直线的斜率， 由图可知，，解得. 故选：A. 34．（2026高二·江西抚州·期末）已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图象，求出的斜率，再结合图象即可得解. 【详解】如图所示， ， 因为为的边上一动点， 所以直线斜率的变化范围是. 故选：D. 1．【多选】（2026高二·陕西西安·阶段检测）若直线，，的斜率分别为，，，且，则，，的部分图象可能为（   ） A．  B．   C．  D．   【答案】AB 【分析】根据倾斜角与斜率的关系判断即可. 【详解】设直线，，的倾斜角分别为， 对于：，所以，故正确； 对于：，所以，故正确； 对于：，所以，故错误； 对于：，所以，故错误. 故选：. 2．（2026高二·安徽阜阳·阶段检测）若图中直线，，的斜率分别为，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】设直线、、的倾斜角分别为，，， 由已知为钝角，为锐角， 所以，即． 综上， 故选：D． 3．（2026高二·江西赣州·阶段检测）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】由题意，直线为垂直于轴的直线， 根据直线倾斜角的定义，可判断其倾斜角为. 4．（2026高二·云南保山·期末）已知直线的倾斜角为，则“直线的斜率”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由直线的斜率，得，则或， 又，解得或； 反之当时，，则直线的斜率， 所以“直线的斜率”是“”的必要不充分条件. 5．（2026高三·全国·一轮复习）过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C．D．或 【答案】B 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可求解. 【详解】当时，直线的斜率不存在，此时； 当时，直线的斜率，即，解得； 当时，直线的斜率，即，解得； 综上可得实数的取值范围是. 6．（2026高三·全国·专题练习）如果直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】由点和，得， 所以直线的一个方向向量为，所以直线的斜率， 所以，又，所以或． 7．（2026高二·贵州六盘水·阶段检测）已知，若过点的直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线过点和过点时的斜率，数形结合求解. 【详解】 如图，设，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率， 要使直线与线段（含端点）总有公共点，则直线的斜率需满足或. 所以直线的斜率的取值范围为. 故选：C. 8．（2026高二·江西南昌·期末）已知直线经过点，其中，则的倾斜角为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【分析】计算直线的斜率即可求出直线的倾斜角． 【详解】由于，得， 则直线的斜率为：， 则直线的倾斜角为：0 故选：C 9．（2026高二·山东烟台·期中）已知过坐标原点的直线经过点，直线的倾斜角是直线的2倍，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得直线的倾斜角，从而求得直线的倾斜角，进而求得直线的斜率. 【详解】直线过原点和，所以斜率为，倾斜角为， 所以直线的倾斜角为，斜率为. 故选：A 10．（2026高二·北京海淀·期末）已知直线过第一象限的点和，直线的倾斜角为135°，则的最大值为（   ） A．9 B．4 C．3 D． 【答案】A 【分析】根据斜率公式得出的关系，再利用基本不等式求的最大值. 【详解】因为直线过点和，且倾斜角为135°， 所以，得， 因为点在第一象限，所以， 所以，得，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A 11．（2026高二·江苏淮安·阶段检测）下列三点在同一直线上的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】对于ABD：利用斜率来判断三点是否共线；对于C：根据三点结合直线分析判断. 【详解】对于选项A：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故A错误； 对于选项B：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故B错误； 对于选项C：显然三点在同一直线上，故C正确； 对于选项D：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故D错误； 故选：C. 12．【多选】（2026高二·陕西渭南·阶段检测）下列说法正确的是：（   ） A．斜率随倾斜角增大而增大 B．在上斜率随倾斜角增大而增大 C．在上，斜率随倾斜角增大而减小 D．在上，斜率随倾斜角增大而增大 【答案】BD 【分析】利用正切函数的单调性来判断即可． 【详解】由斜率与倾斜角的关系知， 因为正切函数在区间上单调递增，但它不是定义域内的增函数， 故A错误，B正确，C错误，D正确； 故选：BD 13．【多选】（2026高二·山东泰安·阶段检测）若两直线，的斜率存在，其倾斜角分别为，，斜率分别为，，则下列四个结论错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据倾斜角和斜率的函数关系，对选项一一分析即可得出答案. 【详解】对于A，取，则，则，故A错误； 对于B，若，即，故B正确； 对于C，若，则直线，的斜率存在且不为， 因为，又因为正切函数在，上单调递增， 所以，故C正确； 对于D，若，则，所以，故D错误; 故选：AD. 14．（2026高二·广东深圳·阶段检测）已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为______． 【答案】 【详解】令直线的倾斜角为，则，而直线绕点逆时针旋转得到直线， 所以直线的倾斜角为，则其斜率为. 15．（2026高二·全国·暑假作业）经过两点，的直线的斜率为_________，倾斜角为_________. 【答案】 【详解】设此直线的倾斜角为，则. 因为，所以. 16．（2026高三·全国·专题练习）已知实数，满足，则的最大值为________，最小值为________． 【答案】 8 【分析】由题可知表示定点和曲线上任一点的连线的斜率，再结合函数图像求解． 【详解】解析：如图，作出的图像（曲线段）， 则表示定点和曲线段上任一点的连线的斜率， 连接，，则．易得，， 所以，，所以， 故的最大值是8，最小值是． 17．（2026高二·湖北武汉·阶段检测）已知点，，经过点作直线，若直线与线段没有公共点，则直线的斜率的取值范围是__________. 【答案】 【分析】数形结合并根据斜率计算公式即可得到答案． 【详解】作出示意图如图所示： 由题意知直线的斜率分别为，． 因为直线与线段没有公共点，所以或， 所以直线的斜率的取值范围是. 故答案为：． 18．（2026高二·陕西西安·阶段检测）过点作直线l，若l与连接，两点的线段总有公共点，则l的斜率的取值范围为______. 【答案】 【分析】应用斜率的两点式求端点处直线的斜率，数形结合确定直线的斜率范围. 【详解】如下图所示，    由，， 结合图可知，直线的斜率范围是. 故答案为： 19．（2026高三·山东临沂·阶段检测）已知在平面直角坐标系中，点．若直线与线段相交，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】考虑直线的斜率不存在和存在两种情况，斜率不存在时易得符合题意，斜率存在时计算出直线的斜率和直线的斜率，结合图象易得直线斜率的取值范围，最终得到结果. 【详解】可化为， 由得，则直线过定点． ①当时，直线与线段相交，满足题意． ②当时，直线的斜率， 因为直线的斜率，直线的斜率， 所以或，解得或． 综上可得的取值范围为． 故答案为：. 20．（2026高二·四川乐山·阶段检测）已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行？ (2)直线的倾斜角为？ (3)直线的倾斜角为锐角？ 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）结合两点斜率公式，根据直线斜率列方程求解即可. （2）结合两点斜率公式和斜率的定义，根据直线斜率列方程求解即可. （3）根据直线的倾斜角为锐角得，利用两点斜率公式列不等式求解即可. 【详解】（1）若直线与轴平行，则直线的斜率，所以； （2）由直线的倾斜角为可知，直线的斜率， 所以，解得； （3）由题意可知，直线的斜率，所以， 即，解得. 21．（2026高二·江苏盐城·阶段检测）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【答案】(1) (2)直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：；直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为．. 【分析】（1）根据斜率不存在时横坐标相等列方程，即可求参数； （2）由倾斜角为锐角、钝角时对应斜率的符号列不等式求参数范围. 【详解】（1）直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； （2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率， 即，解得； 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率， 即，解得或； 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为：； 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为．. 22．（2026高三·全国·一轮复习）已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)，，，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. (2) 【分析】（1）利用斜率公式可得出直线、、的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系可得出这三条直线的倾斜角； （2）数形结合可得出直线斜率的取值范围，再利用直线斜率与倾斜角的关系可得出直线倾斜角的取值范围. 【详解】（1）由斜率公式，得，，， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是， 所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. （2）如图，当直线绕点由逆时针转到时， 直线与线段恒有交点，即在线段上，此时由增大到， 所以的取值范围为， 即直线的倾斜角的取值范围为.    学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $