2.1.2两条直线平行和垂直的判定教学设计-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.1.2 　两条直线平行和垂直的判定 教学目标 A. 理解两条直线平行与垂直的条件. B. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直. C 能利用两直线平行或垂直的条件解决问题. 1. 数学抽象：两条直线平行与垂直的条件 2. 逻辑推理：根据斜率判定两条直线平行或垂直 3. 数学运算：利用两直线平行或垂直的条件解决问题 4. 直观想象：直线斜率的几何意义，及平行与垂直的几何直观 重点难点 1. 教学重点：理解两条直线平行或垂直的判断条件 2. 教学难点：会利用斜率判断两条直线平行或垂直 授课类型 新授课 教学过程 一、情境导入 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目. 实际上, 过山车的运动包含了许多数学和物理学原理. 你能感受到过山车中的平行和垂直吗? 两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢? 二、两条直线平行的判定 问题1 当两条直线 l1与 l2平行时，它们的斜率存在且分别记为 k1与 k2，则 k1与k2满足什么关系？ 追问：对于两条不重合的直线 l1,l2,“l1∥l2”是“两条直线斜率相等”的什么条件? 对于斜率分别为k1与 k2的两条直线l1与 l2，有 l1∥l2⇔ k1= k2. 注意点： (1) l1∥l2⇔ k1= k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与 l2不重合 (2 k1= k2⇒ l1∥l2或l1与 l2重合 (斜率存在)． (3) l1∥l2⇒ k1= k2或两条直线的斜率都不存在． 例 1 判断下列各题中的直线l1与 l2是否平行： (1) l1经过点 A(-1，-2)，B(2,1)，l2经过点 M(3,4)，N(-1，-1)； (2) l1的斜率为1，l2经过点 A(1,1)，B(2,2)； (3) l1经过点 A(0,1)，B(1,0)，l2经过点 M(-1，3)，N(2,0)； (4) l1经过点 A(-3,2)，B(-3,10)，l2经过点 M(5，-2) ，N(5,5)。 例2 已知 A(1,2 )，B(-1,0)，C (3,4 )三点，这三点是否在同一条直线上？为什么？ 三、两条直线垂直的判定 问题3 平面中，两条直线l1与 l2的斜率分别为k1与 k2，则两条直线的方向向量分别为 a= (1，k1)，b = (1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ 【知识梳理】 注意点： (1)l1⊥ l2⇔ k1k2= -1 成立的条件是两条直线的斜率都存在． (2) 当直线l1⊥ l2时，有k1k2 = -1 或其中一条直线垂直于 x 轴，另一条直线垂直于 y 轴；而若 k1k2= -1，则一定有 l1⊥ l2。 (3) 当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率． 例3. 试确定m 的值 ，使过 A (m,1），B(-1,m)两点的直线与过P (1,2 )，Q(-5,0)两点的直线. (1) 平行；(2) 垂直。 例4 如图所示, 在平面直角坐标系中, 四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为 O(0,0),P(1,t),Q(1 - 2t,2 + t),R(-2t,2), 其中t > 0. 试判断四边形OPQR的形状. 思路分析: 利用直线方程的系数关系, 或两直线间的斜率关系, 判断两直线的位置关系. 利用两条直线平行或垂直来判断图形形状的步骤 点睛：利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率，特别是含参数的问题，必 须要分类讨论；其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解． 四、课堂小结 1．知识清单： (1) 两直线平行的判定． (2) 两直线垂直的判定． 2．方法归纳：分类讨论、数形结合． 3．常见误区：研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为 0 或斜率不存在的 情况． 学科网（北京）股份有限公司 $