15.1 图形的轴对称（课外拓展提高）-【学海风暴】2026-2027学年八年级上册数学同步备课（人教版·新教材）江西专用

第十五章 轴对称 15.1图形的轴对称 15.1.1轴对称及其性质 (建议用时：30分钟) 1.(2025一2026赣州信丰期末)下列新能源汽5.如下图，在△ABC中，AB=AC,D,E是BC 车车标中，不是轴对称图形的是 边上的点，连接AD,AE.以△ADE的边AE T 所在直线为对称轴画△ADE的轴对称图形 △ADE,连接D'C,且BD=CD' A B (1)求证：△ABD≌△ACD' >< (2)若∠BAC=120°，求∠DAE的度数， C D 2.（2025一2026赣州于都检测)如 图，在图形上补上一个正方形， 使它成为一个轴对称图形.下列第2题图 补法正确的是 6.如右图，在△ABC中，AB =AC,∠BAC=90°.过点 A作直线AP,点C关于B D 直线AP的对称点为D,连接BD,CD,直线 3.窗格在中国建筑装饰文化史上蕴含着博大精深 BD交直线AP于点E. 的文化韵味.在如图所示的窗格中，可以与图形 (1)依题意补全图形 ①成轴对称的图形是 (填序号). (2)若∠PAC=30°，求∠ABD的度数， 第3题图 第4题图 4.如图，在△ABC中，点D在BC上，∠BAD ∠ABC=40°.将△ABC沿着AD翻折得 到△AED. (1)连接BE,则线段BE的垂直平分线是 (2)∠CDE的度数为 106 八年级数学RJ版 15.1.2线段的垂直平分线 目第1课时线段的垂直平分线的性质与判定（建议用时：30分钟） 1.“直角都相等”与“相等的角是直角”是()7.一题多解法如下图，在Rt△ABC中，∠C= A.互逆命题 B.互逆定理 90°，AD平分∠BAC.若AB=2AC,求证： C.公理 D.假命题 AD=BD. 2.（2025一2026龙南期中)如图，已知AB AC,BC=4cm,△CBD的周长为12cm, AB的垂直平分线MN交AC于点D,则 △ACB的周长为 () A.16 cm B.17 cm C.18 cm D.20 cm 第2题图 第3题图 3.如图，点A和点D都在线段BC的垂直平分 8.如下图，线段AB,BC的垂直平分线11，l2 线上，连接AB,AC,DB,DC.如果∠1=20°， 相交于点O,直线l1交BC于点E,交AB ∠2=50°，那么∠A比∠D 于点F,直线l2交BC于点D.若∠OEB= A.大40° B.小40° 46°，求∠AOC的度数. C.大30 D.小30° 4.命题“等角的补角相等”的逆命题是 5.如图，∠AOB内有一点P.P1,P2分别是点 P关于OA,OB的对称点，P1P,交OA于 点M,交OB于点N.若PP2=5cm,则 △PMN的周长是 cm. 第5题图 第6题图 6.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,BC的 垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连 接CF.若∠A=60°，∠ACF=48°，则 ∠ABC的度数为 44444 上册课外拓展提高 107 目第2课时线段的垂直平分线的作法（建议用时：30分钟） 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点 部，且点P到∠ABC两边的距离相等（保留 作图痕迹，不写作法). A和点C为圆心，以大于2AC的长为半径 作弧，两弧相交于点M和点N,作直线MN 交AB于点D,交AC于点E,连接CD.下列 结论不一定成立的是 ( ) A.AD=CD B.∠A=2∠DCB C.∠ADE=∠DCBD.∠A=∠DCA 5.（2025一2026赣州石城期中)已知图①、图② 都是轴对称图形.请仅用无刻度直尺，按要求 完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）， (1)在图①中，作出该图形的对称轴. 第1题图 第2题图 (2)在图②中，E为OA上一点，在OC上作 2.如图，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定 一点F,使得CF=AE, 正确的是 ) A.AF=BF E BAE-吉AC D 图① 图② C.∠DBF+∠DFB=90 6.（2025一2026上饶期中)如下图，已知△ABC. D.∠BAF=∠EBC (1)尺规作图：作边AC的垂直平分线DE, 3.如下图，在平面直角坐标系xOy中，A(0, 分别交AC,BC于点D,E(保留作图痕迹， 8),B(6,8). 不写作法). (2)已知AB=6cm,CB=8cm,求△ABE ●B 的周长 (1)尺规作图：在第一象限内求作一点P,使 点P同时满足下列两个条件（要求保留作图 痕迹，不必写出作法). ①点P到A,B两点的距离相等； ②点P到两坐标轴的距离相等. (2)(1)中点P的坐标为 4.如下图，已知∠ABC,D为射线BC上一点. 求作一个等腰三角形PBD,使线段BD为 等腰三角形PBD的底边，点P在∠ABC内 111411 108 八年级数学RJ版PF-CP.BD. ·S△ABP：SAp=AB:BC=AP:CP,即Cp=BC· (2).AC=10,∴.PC=10-AP, AP 8 代入(1)中式子，可得0AP=2' .AP=4. 第2课时角的平分线的判定 1.D【解析】如图，设三条公路两两相交于点A,B,C 作△ABC各内角和外角的平分线，可以得到4个交点 P1,P2,P,P,每个交点到三条公路的距离都相等. 故可供选择的地址有4处， P P 2.B【解析】，OM⊥AB,ON⊥BC,OM=ON,.BO平 分∠ABC,∴.∠OBM=∠OBN.∠ABC=30°， ∴.∠ABO=15°. ◆一题多解法 OM⊥AB,ON⊥BC, ∴.∠OMB=∠ONB=90 (OB=OB, 在Rt△OMB和Rt△ONB中， OM=ON, ∴.Rt△OMB≌Rt△ONB(HL), '.∠OBM=∠OBN. ,∠ABC=30°，∴.∠ABO= 2∠ABC=15 1 3.B【解析】：点D到边AB,AC的距离相等， .∠CAD=∠EAD. AC-AE 在△ACD和△AED中，∠CAD=∠EAD, AD=AD, ∴.△ACD≌△AED(SAS), ..CD=DE. .AB=9,AC=3.BC=7,AC=AE. ∴.BE=AB-AE=9-3=6, .△BDE的周长等于DE+BD+BE=CD+BD+ BE=BC+BE=13. 4.35°【解析】如图，过点E作EF⊥AD于点F. :∠C=90°，DE平分∠ADC,且E是BC的中点， 134 八年级数学RJ版 .CE=EB=EF.又：∠B=90°，AE平分∠DAB, ∴∠EAB=∠EAF.又∠CDE=55°，∴.∠CDA= 110°，∴∠DAB=70°，∴.∠EAB=35. 5.证明：(1)，∠ACB=∠DCE,.∠ACB+∠BCD= ∠DCE+∠BCD, ∴.∠ACD=∠BCE. AC=BC. 在△ACD和△BCE中， ∠ACD=∠BCE, CD=CE, ∴.△ACD≌△BCE(SAS). (2)如图，过点C作CM⊥AD于 点M,CN⊥BE于点N. :△ACD≌△BCE, ∴.∠CAM=∠CBN. 在△ACM和△BCN中， ∠AMC=∠BNC=90°， ∠CAM=∠CBN, AC=BC. ∴.△ACM≌△BCN(AAS),∴.CM=CN. 又：CM⊥AD,CN⊥BE,∴.HC平分∠AHE 6.解：(1)证明：CD⊥OM,CE⊥ON, .∠CDA=∠CEB=90. (CA=CB, 在R△CDA和R△CEB中，AD=BE, .Rt△CDA≌Rt△CEB(HL),.CD=CE, .点C在∠MON的平分线上， 即OC平分∠MON. (2)设OD=x. OA=12, ..AD=0A-OD=12-x,..BE=AD=12-x. 在R△OCD和R△OCE中，OC=OC, (CD=CE, ∴.Rt△OCD≌Rt△OCE(HL),∴.OD=OE=x, .BO=OE-BE=x-(12-x）=2x-12. B0=4,.2x-12=4,解得x=8,∴.OD=8 第十五章轴对称 15.1图形的轴对称 15.1.1轴对称及其性质 1.B2.B3.②③④4.(1)AD(2)20° 5.解：(1)证明：由题意，得AD=AD'. (AB=AC, 在△ABD和△ACD'中，BD=CD', AD=AD' .△ABD≌△ACD'(SSS). (2),△ABD≌△ACD',∴∠BAD=∠CAD', .∠BAC=∠DAD'=120° 由轴对称的性质可知，∠DAE=∠D'AE, ∠DAE=号∠DADr=60 6.解：(1)补全图形如图所示. (2)如图，连接AD,过点A作AF ⊥BD于点F. 由轴对称的性质，得∠PAD= ∠PAC=30°，AD=AC. AB=AC,∴.AD=AB. (AB=AD, 在Rt△ABF和Rt△ADF中， AF=AF, .Rt△ABF≌Rt△ADF(HL), ∴.∠ABF=∠ADF :∠BAC=90°，∠PAC=∠PAD=30°， ,.∠BAD=150°， BD=180°-∠BAD) 15.1.2线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线的性质与判定 1.A2.D3.B 4.如果两个角的补角相等，那么这两个角也相等 5.5 6.48°【解析】，BD平分∠ABC,∴.∠FBC=∠ABD. ∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°.，EF垂直平 分BC,∴.BF=CF,∠FCE=∠FBE,.∠ABC= 2∠FCB.∠ACF=48°，∴3∠FCB=120°-48°= 72°，∴.∠FCB=24°，∴∠ABC=48. 7.证明：如图①，取AB中点E,连接DE. .AB=2AC,..AE=AC. :AD平分∠BAC, ∴.∠EAD=∠CAD. 在△AED和△ACD中， 图① (AE=AC. ∠EAD=∠CAD, AD=AD. .△AED≌△ACD(SAS), ∠AED=∠C=90°， ∴.DE为AB的垂直平分线， .'.AD=BD. 一题多解法 如图②，延长AC至点E,使得AC =CE,连接DE,则DC为AE的 垂直平分线，∴AD=DE. ,AD平分∠BAC, ∠BAD=∠DAE. .AB=2AC...AB=AE. 图② 在△BAD和△EAD中， AB-AE, ∠BAD=∠EAD, AD-AD. △BAD≌△EAD(SAS),.BD=ED, ..AD=BD. 8.解：如图，连接BO,并延长BO到 点P. ∠OEB=46°，l2是线段BC的垂 直平分线， .∠DOE=90°-∠OEB=44 线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点O, ∴.AO=OB=OC,∠BFO=∠BDO=90°， ∴.∠DOF+∠ABC=180°. .∠DOF+∠DOE=180°，∴.∠ABC=∠DOE=44°. ,OA=OB=OC,.∠A=∠ABO,∠OBC=∠C. :∠AOP=∠A+∠ABO=2∠ABO,∠COP=∠C+ ∠OBC=2∠OBC,∴.∠AOC=∠AOP+∠COP= 2(∠ABO+∠OBC)=2∠ABC=2×44°=88°. 第2课时线段的垂直平分线的作法 1.B 2.B【解析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB, BE是∠ABC的平分线， .AF=BF,∠BDF=90°，∠ABF=∠EBC, ∴∠ABF=∠BAF,∠DBF+∠DFB=9O°， ∴.∠BAF=∠EBC.由已知条件，不能得到AE= 1 AC. 3.解：(1)如图，点P即为所求. y↑ B 0 (2)(3,3) 4.解：如图，△PBD即为所求. 5.解：(1)如图①，直线1即为所求 图① (2)如图②，点F即为所求 A E 图② 上册详解详析 35Λ 6.解：(1)如图所示，DE即为所求 B 大E (2)如图，连接AE 由作图可得，DE是边AC的垂直平分线，∴.AE=CE ,AB=6cm,CB=8cm,,.△ABE的周长为AB+AE ++BE=AB+BE+CE=AB+BC=6+8=14(cm). 15.2画轴对称的图形 第1课时画轴对称的图形 1.B2.C3.C4.35.K62897 6.6【解析】如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC 成轴对称， C(C') A B(BA (B)A B(A A(A)B B(C 7.4【解析】如图，D1,D,D,D,四点满足题意 D 3 B Ds D D D B D. D 8.解：(1)如图①，△A'B'C'即为所求图形 (2)如图②，直线1即为所求的对称轴： 图① 图② 9.解：(1)如图①，△AB'C即为所求 图① 图② 136 八年级数学RJ版 (2)如图②，点P即为所求 第2课时用坐标表示轴对称 1.B 2.A【解析】，小红同学误将点A的横、纵坐标次序颠 倒，写成A(a,b),∴点A的正确坐标为(b,a).另 学生误将点B的坐标写成关于y轴对称的点的坐标， 为B(一b,一a),∴.点B的正确坐标为(b,一a),.A, B两点原来的位置关系是关于x轴对称， 3.C【解析】，点P(a+1,2-2a)关于x轴的对称点在 第四象限，点P在第一象限：包十>0、解得-1 2-2a>0, <a<1.结合选项，可知C选项符合题意. ◆一题多解法《 点P(a十1,2-2a)关于x轴的对称点的坐标 为(a+1,2a-2),且该点在第四象限， /a+1>0, 解得-1<a<1.结合选项，可知C 2a-2<0. 选项符合题意 4.(1)(5,5)(2)(5,-3) 5.2【解析】：点A(a,b)和点B(c,d)(d≠0)关于y轴 对称，.a十c=0,b=d, 3a+3c+=3(a+c)+ 2b =0十2=2. 6.(4,一3)【解析】如图，过点B作 BC⊥x轴于点C,则C(a-1,0), .∠OCB=90°=∠A. :OB平分∠AOC, 0 ∴.∠COB=∠AOB. 又OB=OB, .△OCB≌△OAB(AAS), .OC=OA=4,.a-1=4, a=5,∴a-2=3,.B(4,3), 点B(4,3)关于x轴的对称点的坐标为(4，一3). 7.解：(1)如图，△A,B,C,即为所求。 (-5,-3) B. 0 (2)如图，△A2BC:即为所求. (3,3)(1,1)(0,5) 8.解：(1)如图，△A1B,C1即为所求.A1(2,1),B,(4,4), C1(3,-2). (2)如图，△A2B,C2即为所求.A2(0,-3),B2(-2, -6),C2(-1,0).