第7讲实数及其运算（3.2、3.4）专题讲义 2026--2027学年浙教版七年级数学上册

第3章 实数　第7讲 实数及其运算(3.2、3.4) 第3章 实数 第7讲 实数及其运算(3.2、3.4) 专题讲义 A组 1. 下列实数中，为无理数的是（　　） B. 1.2012001 C. π 2. 化简 的结果是（　　） C. 2 D. -1 3. 关于 的叙述正确的是（　　） A. 在数轴上不存在表示 的点 B. 表示面积为 8 的正方形的边长 是有理数 4. 下列说法正确的是（　　） 与 互为倒数 B. |-2| 与 2 互为相反数 是无理数 5. 给出下列 5 个结论： ①带根号的数都是无理数； ②分数都是有理数； ③无理数包括正无理数和负无理数；④两个无理数的和、差、积、商仍是无理数； ⑤无理数都是无限小数。其中正确的为（　　） A. ①②⑤ B. ①②③ C. ②④⑤ D. ②③⑤ 6. 比较大小：，。(填“＞”“＜”或“＝”) 7. 大于 且小于 π 的所有整数和是＿＿＿。 8. 定义新运算“△”：，则 3△(4△6)=＿＿＿。 9. 已知 m 与 n 互为相反数，c 与 d 互为倒数，a 是 的整数部分，则 的值是＿＿＿。 10. 如图，直径为单位 1 的硬币从 1 处沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达点 A，则点 A 表示的数是＿＿＿。 11. 把下列各数的序号填在相应的数集内： ①1； ②； ③0；④π； ⑤0.25； ⑥。 (1)整数集合｛＿＿＿｝； (2)分数集合｛＿＿＿｝； (3)无理数集合｛＿＿＿｝。 12. 计算下列各式： ； ； ； 。 13. 先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③。 (1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想 的结果，并验证。 (2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出第 n 个等式 (n 为正整数)。 B组 14. 若 x+y=0，则下列各式中不一定成立的是（　　） 15. 若有理数 a,b 满足 ，则 a+b 的值为（　　） B. 4 C. 3 16. 如图，若数轴上的点 A,B,C,D 表示数 -1,1,2,3，则表示数 的点应在（　　） A. A,O 之间 B. B,C 之间 C. C,D 之间 D. O,B 之间 17. (1)如图 1 为 6×6 的网格，你能在网格中画出面积为 20 的正方形吗？这个正方形边长为多少？你能在数轴上作出无理数 吗？ (2)如图 2 为 5×5 的网格，阴影部分是一个正方形。 ①阴影部分的面积是＿＿＿，边长是＿＿＿； ②a 为阴影正方形边长的小数部分，b 为 的整数部分，求 a+b 的值。 18. 一个数值转换器，如图所示。 (1)当输入的 x 值为 16 时，则输出的 y 值为＿＿＿。 (2)是否存在输入的 x 值后 (x 为非负数)，始终输不出 y 值？如果存在，请直接写出所有满足要求的 x 值；如果不存在，请说明理由。 (3)若输入一个两位数 x，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则 x=＿＿＿。(写出一个即可)；若输出的 y 是 ，写出两个满足要求的 x 值：＿＿＿。 19. 如图，把图 1 中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，将所得的 4 个直角三角形拼在一起，就得到如图 2 的大正方形。 【问题发现】若大正方形的面积为 ，则小正方形的面积是，边长为＿＿＿ cm。 【知识迁移】某兴趣小组想将图 1 中的一个小正方形纸片，沿与边平行的方向剪裁出面积为 ，且长宽之比为 3∶2 的长方形纸片。兴趣小组能否剪裁出符合要求的长方形纸片？请说明理由。 【拓展延伸】如图 3 是由 5 个边长为 1 的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度；若不能，请说明理由。 C组 20. 如果 ，那么 a+b 的值为（　　） 21. 对于任意实数 x，x 均能写成其整数部分 [x] 与小数部分 {x} 的和，即 x=[x]+{x}，其中 [x] 称为 x 的整数部分，表示不超过 x 的最大整数，{x} 称为 x 的小数部分。如 7.12=[7.12]+{7.12}=7+0.12，[7.12]=7，{7.12}=0.12，则下列结论正确的有 ①[]=3； ②若 [x]=4，[y]=2 则 [x+y] 所有可能的值为 6 和 7； ③[x+y]≤[x]+[y]。（　　） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 0 个 22. 下面是小李探索 的近似数的过程： 因为面积为 107 的正方形边长是 ，且 ，所以设 ，其中 0<x<1，画出如图示意图，因为图中 S_{正方形}，S_{正方形}=107，所以 ，当 较小时，省略 ，得 20x+100≈107，得到 x≈0.35，即 。 仿照上述方法， 的近似值为＿＿＿。 23. 如图，在 4×4 的小正方形组成的图形中有一个阴影部分 (阴影部分也是正方形)，若每个小正方形的边长为 1，点 A 表示的数为 1。 (1)图中正方形 ABCD 的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为 x，小数部分为 y，求 的值。 (3)若正方形 ABCD 从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点 B 滚到与点 P 重合时，记为第一次翻滚，如图所示，点 C 翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推，请直接回答： ①点 P 表示的数为多少？ ②若正方形 ABCD 从当前状态沿数轴正方向翻滚，经过 2025 次翻滚后与数轴上的点 Q 重合，点 Q 表示的数为多少？ 24. 阅读下列材料：为什么 不是有理数？ 假设 是有理数，那么存在两个互质的正整数 m,n，使得 ，于是有 。因为 是偶数，所以 也是偶数。所以 n 是偶数。设 n=2t (t 是正整数)，则 ，所以 。所以 m 也是偶数。所以 m,n 都是偶数，不是互质数，与假设矛盾。所以假设错误， 不是有理数。 请用类似的方法证明 不是有理数。 参考答案 A组 1. C 2. B 3. B 4. A 5. D 6. < < 7. 5 8. 4 9. -1 10. 1-π 11. (1)①③ (2)②⑤ (3)④⑥ 12. (1)原式。 (2)原式。 (3)原式。 (4)原式。 13. ，验证： 。 (n 为正整数)。 B组 14. D 15. B 16. D 17. (1)如图 1，边长为 ，数轴如图 2。 (2)①阴影部分面积为 ，因为阴影部分是一个正方形，所以边长为 。故答案为 13；。 ②因为 ，所以 。因为 ，所以 b=3，所以 。 18. (1)当输入是 16 时，取算术平方根是 4，4 是有理数，再把 4 输入，4 的算术平方根是 2，2 是有理数，再把 2 输入，2 取算术平方根是 ， 是无理数，所以输出 y 是 。故答案为 。 (2)存在，当 x=0 或 1 时，始终输不出 y 值。 (3)(答案不唯一)25　9,81 19. 【问题发现】小正方形的面积为 32÷2=16 ()，所以小正方形的边长为 4cm。故答案为 16；4。 【知识迁移】设长和宽分别为 3x,2x，由题意得 3x·2x=12，整理得 ，因为 x 为正数，所以 ，所以长方形的长为 ，即裁剪后的长方形的长大于小正方形的边长，所以不能裁出符合要求的长方形纸片。 【拓展延伸】能把它剪开并拼成一个大正方形，裁剪示意图如图，因为原图形的面积是 5，所以裁剪后的正方形面积也是 5，所以大正方形边长为 。 C组 20. D 21. B 22. 8.75 【解析】因为 ，，而 64<76<81，所以 ，即 ，所以设 ，其中 0<x<1，同原题图，因为 S_{正方形}，S_{正方形}=76，所以 ，当 较小时，省略 ，得 16x+64≈76，得到 x≈0.75，所以 。故答案为 8.75。 23. (1)正方形 ABCD 的面积为 ；所以正方形 ABCD 的边长为 ；因为 ，所以 ，所以这个值在 3 与 4 之间。 (2)由(1)可知，x=3，，所以 。 (3)①因为点 A 表示的数为 1，正方形 ABCD 的边长为 ，所以点 P 表示的数为 。 ②因为正方形的边长为 ，第一次翻滚后点 P 表示的数为 ；第二次翻滚后点 C 对应的数为 。依题意，经过 2025 次翻滚后与数轴上的点 Q 重合，则点 Q 表示的数为 。 24. 假设 是有理数，那么存在两个互质的正整数 m,n，使得 ，于是有 。因为 是 3 的倍数，所以 也是 3 的倍数，所以 n 是 3 的倍数。设 n=3t (t 是正整数)，则 ，即 ，所以 ，所以 m 也是 3 的倍数。所以 m,n 都是 3 的倍数，不互质，与假设矛盾，所以假设错误，故 不是有理数。 第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $